第8章信号处理中常用的正交变换.

或者新基底上的向量。
（4） 投 影 的 结 果 能 否 减 少分 量 的 相 关 性 、 能 否 出现 能 量 集 中 ， 取决于基函数。
正 交 变 换 的 种 类: 非 正 弦 类 正 交 变 换 正 弦 类 正 交 变 换 K L变 换
非正弦类正交变换： Walsh Hadam ard变 换(WHT )，Haar变 换(HRT )及 斜 变 换(SLT)
补充内容：EMD/HHT
希尔伯特空间中的正交变换
赋范线性空间 内积空间 完备的内积空间（希尔伯特空间）
若X为 希 尔 伯 特 空 间 ， 信 号1，2， ，N 线 性 独 立 ， 则 可 成 为 一个 基
N
x nn n1
若1，2， ，N 线 性 独 立, 且 是 两 两 正 交 的 ， 则 称为 正 交 基 。
设X、Y为 两 个Hilbert空 间 ，x, y分 别 是 其 中 的 信 号 ， 对算 子A有 y Ax
则 称A为 一 个 变 换 。
若A为 线 性 的 ， 则 称 为 线 性变 换 。 若 Ax, Ax x, x y, y ,则 称 为正交变换。
正 交 变 换A具 有 下 列 性 质 ：
2 cos105
16
离散正弦变换(DST)
离 散 正 弦 变 换(DST) :
2 N 1
nk
X s (k)
x(n) sin ,
N 1 n1
N 1
k 1,2, , N ;
X (n)
2 N 1
nk
N
1
k 1
X s (k) sin
N
, 1
n 1,2, , N ;
核 函 数Sk,n
（1）A1 AT ; AA1 AAT I;
(2)对N维 离 散 信 号xNM , 存 在 正 交 变 换A,
0
Ax( Ax)T AxxT AT AxxT A1
1
N
i为 特 征 值 ，Ai为 特 征 向 量 。
(3)正 交 变 换 的 结 果 ， 可 以看 成 向 量 在 标 准 正 交 基底 上 的 投 影 ，
9)
sin(8 / 9) sin(16 / 9) sin(64 / 9)
图象压缩与恢复
Y WXW T Y W1 XW2T
(a) Lena的原图
2 e
1 N
N
(xi
i 1
xi)2
PSNR 10lg 2552
峰值信噪比
2 e
比特每像素:bpp
(b) bpp=0.95，PSNR=30.60的恢复图
正弦类正交变换 傅 里 叶 变 换(DFT )， 离 散 余 弦 变 换(DCT ),离 散 正 弦 变 换(DST)， 离 散Hartley变 换(DHT)及 离 散W变 换 （DWT )
K L变 换 ： 统 计 意 义 上 的 最佳 正 交 变 换
K L变换：统计意义上的最佳正交变换
背 景 问 题1： 对N维 离 散 信 号xNM ,如 何 正 交 变 换, 使 变 换 结 果 的 相 关 矩 阵 对 角 化,或 者 变 换 后N个 信 号 互 不 相 关
X c (0)
x(n) N n0
2 N 1
(2n 1)k
Xc (k)
x(n) cos N n0
2N
, k 1,2, , N 1;
N 1
或 合 写 为 ：X c (k) x(n)Ck,n n0
N 1
2
(2n 1)k
x(n) g(k) cos
, k, n 1,2, , N 1;
n0
N
x'1,i x'2,iHale Waihona Puke Baidu x'm,i
x'1,N m1
x'2,
N
m 1
x'm,
N
m
1
xˆ j
1
min{m,min{ j, N
j 1}}
x'k ,l
k l 1 j
j 1, , N
有趣发现:相位不变。
阶次与截止频率？
离散余弦变换(DCT)
离 散 余 弦 变 换(DCT ) :
1 N 1
2N
1/ 2 k 0
gk
1
k0
Xc CN x;
x
C
T N
X
c
,
C
N
为
正
交
矩
阵
离 散 余 弦 变 换(DCT )的 变 换 矩 阵:
1
C8
1
8
2 cos 16
7
2 cos
16
c0
c1
c7
1
3
2 cos 16
2 cos 21
16
1
5
2 cos
16
2 cos35
16
1
15
2 cos 16
2 sin nk ,
N 1 N 1
n, k 1,2, , N ;
X s SN x;
x
S
T N
X
s
,
SN
为
正
交
矩
阵
离 散 正 弦 变 换 的 变 换 矩阵 :
sin( / 9) sin(2 / 9) sin(8 / 9)
S8
2 sin(2 / 9)
9
sin(4 / 9)
sin(16
/
0
Ax( Ax)T AxxT AT AxxT A1
1
N
i为 特 征 值 ，Ai为 特 征 向 量 。
背 景 问 题2： 如 何 变 换 ， 使 变 换 后的 结 果 中 较 小 分 量 丢 掉后 ， 信 号 损 失 的 能 量 最 小— 降 维 和 降 噪 中 的 应 用(PCA)。
x AT y xˆ AT yˆ
特征值分解
PCA用于信号降噪
x1 x2
x2
x3
x3 x4
xm
xm1
xm 2
x j j 1, , N
xi xi1 xim1
xN m1
xN
m
2
xN
x'1,1 x'1,2
x'2,1
x'2,2
x'm,1
x'm,2
x'1,3 x'2,3 x'm,3
第8章 信号处理中常用的正交变换
8.1 希尔伯特空间中的正交变换 8.2 K-L变换 8.3* 离散余弦变换(DCT)与离散正弦变换(DST) 8.4* 离散Hartley变换(DHT) 8.5* 离散W变换(DWT) 及正弦类变换 8.6* DCT、DST及DWT快速算法简述 8.7* 图象压缩简介 8.8* 重叠正交变换 8.9 与本章内容有关的MATLAB文件
(c) house的原图 (d) bpp=1.59，PSNR=35.21的恢复图
与本章内容有关的Matlab文件
dct.m; idct.m; dct2.m;idct2.m;
补充内容：EMD/HHT
Empirical Mode Decomposition/ Hilbert-Huang变换 1998年由Norden E. Huang提出，一种可用于非线性、非 平稳信号的自适应的分解方法，把复杂的数据分解成有限 的、少量的本征模态函数IMF（Intrinsic Mode Function ），它的特点是不依赖于基函数的选取，为数据 驱动。