西南交通大学振动力学_第 4 章 连续系统的振动(I)

(4.8)
式中A、B、φ、ω为4个待定常数，除需振动的初始条件外 ，还需端点条件确定。
对两端固定弦，边界条件为
y(0, t ) 0, y (l , t ) 0
代入（4.8）得
B0 p sin l 0 c
(4.9)
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2016年1月10日 《振动力学》
连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
y( x, t ) An sin
n 1
n x sin(nt n ) c
(4.13a)
或
n y( x, t ) sin x(Cn sin nt Dn cos nt ) c n 1

(4.13b)
式中An、ϕn或Cn、Dn根据初始条件来决定。
设初始条件为
y( x,0) f1 ( x),
(4.1)
10
连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
令yi-1=yi-yi-1,yi=yi+1-yi,代入式（4.1）得
mi yi (T0 yi ) xi (i 1, 2,..., n )
两边同除以xi，得
mi yi yi T0 ( ) xi xi xi (i 1, 2,..., n )
该微段的运动方程为
2 y dm 2 T0 sin( dx) T0 sin t x (a)
对微幅振动，有
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
因=y/x，得
2 y 2 y T0 2 A 2 x t
2016年1月10日 《振动力学》
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连续系统的振动/弦、杆的振动
教学内容
弦、杆的的振动
弦的横向振动
弦的横向振动方程
弦的自由振动
弦的强迫振动
杆的纵向振动
杆的纵向振动方程
杆的纵向自由振动 杆的纵向强迫振动
杆的扭转振动
杆的扭转振动方程
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d 2T 2 T 0 2 dt 2 2 d Y Y 0 dx 2 c 2
T (t ) A1 sin(t ) Y ( x) A2 sin
(4.6a) (4.6b)
式（4.6a）和式（4.6b）的解分别为
(4.7a)

c
x A3 cos
式（4.9）为弦振动的特征方程，也就是频率方程，由于对 应于正弦函数为零的固有频率ω值应有无限多个，即 n l n c 所以
n
cn n l l T0 A (n 1, 2,) (4.10)
为此，对应于无限多阶的固有频率ωn，就有无限多阶的主振
动，代入（4.8）得
n yn ( x, t ) An sin来自x sin(nt n ) c
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
（4）系统的固有频率 中，当n=1时，1
l T0 A
n n l
T0 (n 1, 2,) A
，称为基频。较高次的频率ωn( n
=2,3,4,…) 是基频的整数倍，ωn与ρ、T0、l有关。可知：
琴弦紧一些，可调高音调，松一些可调低音调。
整理得
c 2 d 2Y ( x) 1 d 2T 2 Y ( x) dx T (t ) dt 2
(4.5)
方程中含x和t两个变量，这种方法称为分离变量法。
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
因两边分别为x和t 的函数，两边必为同一常数，设为-ω2， 得
2016年1月10日 《振动力学》
y( x, t ) t
t 0
f 2 ( x)
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
代入式（4.13b），有
c n 1 n f 2 ( x) Cn pn sin x c n 1 f1 ( x) Dn sin
4.1.1 弦横向振动方程 两端固定，张力T0 ，单位体积质量ρ，横截面积A，长 度l，如图4.2。 开始受干扰（冲击力或位移），干扰消失后，弦将在
Oxy平面内发生横向自由振动。
图4.2
2016年1月10日 《振动力学》 7
连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
(1)离散化方法 将弦任意分割为n+1段，如图4.3（a）。
铁道出版社，2011年）的前四章为基础编写。
2016年 年1 1 月 10 日 2016 月 10 日
• 感谢研究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作
《振动力学》 中国力学学会学术大会‘ 2005’
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连续系统的振动
教学内容
弦、杆的的振动 梁的横向的振动 薄板的振动 连续系统固有特性的近似解法
(4.14)
在求解弦的自由振动微分方程的过程中，要注意以下几
点：
（1）方程（4.7b）的解必须满足初始条件和边界条件。
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
初始条件和边界条件称为定解条件，只有初始条件，没有边 界条件的定解问题称为初值问题（或柯西问题）；没有初始
4.3（b）所示。
图4.3
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
质点mi的横向振动方程为
mi yi T0 sin i T0 sin i
(a)
式中αi 、 βi分别为质点mi上两相邻弦段的张力T0与x轴的夹 角。
对微振动，sin αi ≈ tan αi,sin βi ≈ tan βi,且

c
x
(4.7b)
（4.7b）称为振型函数，表明弦按固有频率作简谐振动的
振动形态，即为主振型。
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代入得
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
y ( x, t ) A1 ( A2 sin
x A3 cos x)sin(t ) c c ( A sin x B cos x)sin(t ) c c

n
x
(a)
把f1(x)、f2(x)按傅里叶级数展开，有
f1 ( x) an sin

式中
x c n 1 n f 2 ( x) bn sin x c n 1
2 l n f ( x ) sin xdx 1 0 l l 2 l n bn f 2 ( x) sin xdx l 0 l an
条件，只有边界条件的定解问题称为边值问题，两者皆有称
为混合问题。 （2）特征方程（频率方程）由边界条件获得，解由 无限多的特征值组成的。 （3）特征函数族
Yn ( x) An sin n x l (n 1, 2,)
中的An是未定振幅，故Yn(x)仅描述了振型的形状。
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
设（4.3）的解为
y( x, t ) Y ( x)T (t )
(4.4)
式中,Y(x)为弦的振型,而T(t)为弦的振动方式，式（4.4） 代入（4.3）得
2 d 2T 2 d Y ( x) Y ( x) 2 c T (t ) 2 dt dx
将每段的质量对半聚缩到两端。各质量点质量为
mi(i=1,2,…,n)，且mi= ρ A.Δxi。
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使连续系统简化为一个n自由度的离散系统振动问题。
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
用yi表示各质点mi偏离平衡位置的横向位移，设各质点
mi作微振动。考查3个相邻质点mi-1、mi和mi+1，mi受力如图
2016年1月10日 《振动力学》
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
4.1.2
弦横向自由振动 将（4.2）简写为
2 2 y ( x, t ) 2 y ( x, t ) c 2 t x 2
(4.3)
式中c2=T0/ρA, c为波沿弦长度方向传播速度.
式（4.3）一般称为一维波动方程。
第4章 连续系统的振动（I)
李映辉
西南交通大学
2015.09
声 明
• 本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。 • 不可用于任何商业目的。
• 本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平教授和
太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教 授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利 益，作者在此致歉。 • 本课件以高淑英、沈火明编著的《振动力学》（中国
tan i yi yi 1 y yi 1 y y , tan i i i 1 i xi 1 xi xi (b)
代入整理得
mi yi T0 (
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yi 1 yi y yi 1 ) T0 ( i ) xi xi 1
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图4.5
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
3.弦的横向强迫振动的微分方程及其解 两端固定，长l的弦上，作用横向分布力q(x,t)，弦线 作强迫振动，如图4.6所示。设张力T0，单位体积质量和横 截面积A皆为常量,强迫振动方程为
2 2 y 1 2 y c q ( x, t ) 2 2 t x A
为主振型，即
(4.11)
式中 An sin
n
c 2016年1月10日
《振动力学》
x
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
Yn ( x) An sin
n
c
x An sin
n x l
(n 1, 2,)
(4.12)
通常称Y(x)为特征函数。为此Yn(x)为一特征函数族，主振 型也应是一函数族。 通常，弦的自由振动为无限多阶主振动的叠加，
n
(b)
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
由式（a）、（b），得
Dn an ，
弦的自由振动响应为

Cn pn bn
2 l n y ( x, t ) f1 ( x) sin xdx cosn t 0 l n 1 l 2 l n n f ( x ) sin xdx sin t x n sin 0 2 nc l c
令xi0, 离散系统趋近连续系统。
2 y 2 y T0 2 A 2 x t
为弦横向自由振动方程。 2016年1月10日
《振动力学》
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
（2）连续化方法 在离左边固定端x处取微段dx[图4.4a]，x点的横向位移 y=y(x,t)，其质量为dm=ρAdx。微段受力如图
(4.15)
2016年1月10日 《振动力学》
图4.6
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
式中c2=
T0/ρA ，振型函数为
n yn ( x) An sin x l
振动方式Hn（t）为未知的时间函数，振型函数必须满足边 界条件。因此，令
yn ( x, t ) Yn ( x) H n (t )
也必须满足边界条件，同时式（4.13）的解也应满足边界条
件，设方程（4.15）的解为
2016年1月10日 《振动力学》
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
n y ( x, t ) An sin l n 1

x H n (t )
2
(4.16)
式（4.16）代入式（4.15），得
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
4.1
弦、杆的振动 弦、绳索构件：
悬索桥的索[图4.1(a)]、斜拉桥的斜拉索[图4.1(b)] 、
悬索屋顶结构[图4.1(c)] 、高压输电线[图4.1(d)]、小提 琴、胡琴等琴弦。
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
杆的扭转自由和强迫振动
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连续系统的振动/弦、杆的振动/弦的横向振动
连续系统：具有分布质量和分布弹性的系统。如柔索或 弦、梁、板等。
连续系统的运动状态可用时间和坐标的连续函数来描述
y=f(x,t)
基本假设如下：
（1）材料是均匀连续的，且各向同性； （2）线弹性，即服从胡克定律； （3）小变形。
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