波的能量能流

小结 谐振子能量和简谐波能量的差异
谐振子能量
平衡位置处： E p 0 Ek max E 最大位移处： Ek 0 E pmax E
动、势能相互转换，机械能守恒。
简谐波能量
平衡位置处：动、势能同时达到最大 最大位移处：动、势能同时达到最小
机械能不守恒，沿着波动传播的方向，质元不 断地从后面介质获得能量，又传递给前面的介 质，形成能量传递。
为恒量。
势能
dEp T (ds dx)
上式的物理意义就是弹性质元因振动而偏离平 衡位置可具有的弹性势能。
考察∶
因为 ds
dx2 dy2
1 ( dy )2 dx dx
按泰勒级数展开
（1 1 ( y )2 L L ）dx 2 x
略去高阶小量 dEp T (ds dx)
T ( 1 ( dy )2 dx dx) dx
]
dEk
1
2
A2 2 sin2[ (t
x ) ]dx
u
dE p
1 2
A2 2 sin2[ (t
x) u
]dx
dEk
dE p
A2 2 sin2[ (t
x ) ]dx
u
比较单一谐振子的能量
Ek
1m 2
A2 2 sin2 (t
)
Ep
1 2
m
A2 2
cos2 (t
)
E
Ek
Ep
1 2
kA2
同步变化
T 1 ( y )2 dx 2 x
由此式看，长度 dx 的变化 ds dx 正比于 ( y )2 x
dE p
T
1 ( y )2 dx 2 x
y A sin[(t x ) ]
x u
u
而
u T/
即
T u2
∴
dE p
T
1 ( y )2 dx 2 x
1 2
dxA2 2 sin2[ (t
x) u
由 y( x,t) Acos[(t x ) ]
u
ds
dx
x
元段ds的振动速度 所以 动能
v y A sin[(t x ) ]
t
u
dEk
1 2
dxA2 2
sin2[ (t
x) u
]
弦在波动过程中，质元的势能只能是弦被拉伸 时的弹性势能，它可由弹性力的功来度量。
我们假定弦线形变是微小的，因而张力 T 可视
u
p w u S
平均能流： 在一个周期内能流的平均值。
P wuS wuS 单位：瓦特
平均能流密度（波强）：单位时间，通过垂直于波
传播方向的单位面积的平
I
P S
wu
1 2
A2
2u
均能量。 单位：瓦特/平方米
sin 2
[ (t
x) u
]dV
能量密度： 单位体积介质中所具有的波的能量。
w dE dV
2 A2 sin2 [ (t x ) ]
u
平均能量密度： 一个周期内能量密度的平均值。
w 1
t T
wdt
Tt
1 A2 2
2
三、波的能流和能流密度
u
S
能流: 单位时间内通过介质中
某一垂直截面的能量。
二、弹性体中波的能量和能量密度
在 x 处取一体积元 dV 质量为dm dV
体积元内媒质质元动能为
dEk
1 2
A2 2 sin2 [ (t
x ) ]dV
u
体积元内媒质质点的弹性势能为
dE p
1 2
A2 2
sin2 [ (t
x ) ]dV
u
体积元内媒质质点的总能量为：
dE
dEk
dE p
A2 2
振动曲线与 波形图： y T
c x x0
oa b
d
t
振动曲线
u
y
c t t0
oa b
d
x
波形图
6-3 波的能量、能流
波是振动状态的传播过程，在此过程中伴随着 振动能量的传播。
下面以弦线上传播的横波为例讨论波的能量
一、弦线上波的能量
先研究元段ds具有的能量
y
动能
dEk
1 dm v2 2
1 2
dxv 2
周期性变化
交替变化 相位差π/ 2 总能量守恒
若将一软绳（弹性媒质）划分为多个小单元（体积元） 上 下
形变最小 振速 v 最小
t 时刻波形 未起振的体积元
抖 动
形变最大
振速 v 最大
பைடு நூலகம்
各体积元产生不同程度的弹性形变， 具有弹性势能 Ep
各体积元以变化的振动速率 v 上下振动，具有振动动能 Ek
波形顶端形变最小，故此处弹性势能最小。同时，因该处 质元已达偏离平衡位置最大点，速度最小，故动能最小；而在 平衡点，波形斜率最大，故势能最大，同时，过平衡点时动能 也是最大的。