排队系统分析(全)-运筹学

——因为是均值。
（2）Ws与Wq
逗留时间WS 服从参数为 的负指数分布，而负指数 分布的均值等于其参数的倒数，故平均逗留时间 1 Ws 平均等待时间等于平均逗留时间减去平均服务时间，即 Wq Ws 1

（3）上述4个指标之间的关系——里特公式
Ls Ws Lq Wq
第三节
M/M/1 排队模型
一、标准的M/M/1模型（M/M/1/
1.问题的一般提法
/ ）
设：泊松输入/负指服务/单服务台/系统无限制/顾客源无限制 求：（1）系统状态概率Pn； （2）系统运行指标Ls，Lq，Ws，Wq。
献血排队
2. 系统状态概率
（1）利用状态转移图列出平衡方程

0 1

2
X：顾客到达时间间隔的分布 Y：服务时间的分布 Z：服务台个数 A：系统容量 B：顾客源数量 C：服务规则
二. 排队模型的表示
（M / M / 1 / / / FCFS）表示：
到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分布，1 个服务台，系统容量也无限，顾客源无限，先到先服务。 （M / M / C /
Ls Lq
Ws Wq 1

一般的系统中需将到达率λ修改为有效到达率λe
例1 某修理店只有一个修理工人，来修理的顾 客到达数服从泊松分布，平均每小时4人；修理时间 服从负指数分布，平均需6分钟。 求：（1）修理店空闲的概率； （2）店内有3个顾客的概率； （3）店内至少有1个顾客的概率； （4）店内顾客的平均数； （5）顾客在店内的平均逗留时间；
假若 T 表示某种电子元件的寿命，则当元件已使用了t0 时 间后估计它还能再使用时间的概率，与它全新时估计用 时间的概率一样，即它对已使用了的 t0 时间无记忆。说 明这种元件是高度耐磨损的。
二. 服务的规律
主要是采用系统对顾客服务时间v的分步。主要 讨论服务时间 v 服从负指数分布的情形，即
e t , t 0 fv ( t ) t0 0,

(如电话呼唤)
m (如车间里待修理的机器)
1.
输入过程
（3）到达规律： 到达方式：成批还是单个
指到达间隔时间T 的分布
分为
• 定长
• 负指数
D
M Ek
• k阶爱尔朗
2. 排队规则
排队规则是指顾客到达系统后排队等 候服务的方式和规则。可分为三种类型： （1）损失制
指顾客到达时若所有服务设施均被占用，则顾 客自动离去。
三.排队问题的求解
2 . 逗留时间和等待时间
逗留时间： 一个顾客在系统中的停留时间，记为W，其均值记为Ws。 等待时间： 一个顾客在系统中排队等待的时间，记其均值为Wq 。
第二节
到达的规律
到达与服务的规律
到达间隔（时间） 描述顾客到达规律可从两方面 到达数（数量）
现实中有许多服务系统，其顾客的到达具有下述特征： （1）无后效性：不相交的时间区间内到达顾客数相互独立； （2）平稳性：增量与时间起点无关；
（3）混合制
是损失制和等待制的混合。允许排队但不允 许队列无限长；或允许等待但不允许等待时间无 限长。 • 系统容量有限制：码头的泊位
• 等待时间有限制：医院的专家号 排队论所研究的排队系统中，顾客到来的时刻 (输 入过程)和服务时间长短都是随机的，或二者至少 有一个是随机的情况，因此排队论又称随机服务 系统理论(Random Service System Theory)
本例可看做一个标准的M/M/1系统， 2 列/h, 1 列/min=3 列/h,
20
2 3
2
编组系统中列车的平均数
Ls

1

3 1 2
2 3
列车的平均停留时间
Ws Ls


2 1 2
等待编组的列车平均数
Lq Ls 2 2 4 3 3
服务机构
修理技工 发放零件的管理员 交换台 医生 码头(泊位) 交通警或红绿灯 餐位的服务员
排队系统的特征
输入过程是指顾客到达排队系统的过程，对 此我们主要讨论两方面内容：
一.排队系统的组成与构成
1.
输入过程
输入过程是指顾客到达排队系统的过程，对 此我们主要讨论两方面内容： （1）顾客源：分为 • 无限 • 有限
（6）等待服务的顾客平均数；
（7）平均等待修理时间； （8）必须在店内消耗15分钟以上的概率。
解：
此为标准的 M/M/1模型，
4人 / 小时，
1 人 / 分钟 10人 / 小时， 6 2 。 5
3 (1) P0 1 ; 5 2 3 (2) P3 3 (1 ) ( )3 ( ) 0.0384; 5 5 2 (3) 1 P0 ; 5 4 2 (4) Ls (人） ; 6 3
每天由于列车站外等待而造成的费用损失：
2 24Ws (1 P0 P P ) a 24 2 1 2 a 14.2a 3
3
二.系统容量有限的M/M/1模型（M/M/1/ N/ ）
1.与（M/M/1/ / ）的区别
(1) 系统状态 n 0， 1， ，N ;
N //
LCFS）表示：
到达间隔为负指数分布，服务时间也为负指数分布， C个服务台，系统容量为N，顾客源无限，后到先服务。
若只讨论先到先服务的情况，可略去第6项。
三.排队问题的求解
描述系统运行状态的指标： 1. 队长和排队长
队长：系统中的顾客数；其概率分布称状态概率，记为Pn， 表示系统中有n个顾客的概率；队长的平均值记为Ls。 排队长：系统中正在排队等待的顾客数，记其均值为Lq。
λ, 当 n N (2) 进入系统的速率 0, 当n N
医院排队视频 幼儿园入园视频
故平均到达率 e (1 PN ) 0PN (1 PN )
注：由于系统稳态时应达到统计平衡，即进入速率应等于 离去速率，故 (1 PN ) (1- P0 ) 。
2. 状态转移图

0 1

2 ... n-1

n

n+1 ... N-1

N





由此列出平衡方程： P0 P1 Pn1 Pn1 ( ) Pn , n 1,, N - 1 P P N N-1
第五章
第一节 第二节 第三节 第四节
排队系统分析
排队的基本概念 到达与服务的规律 M/M/1排队模型 M/M/C及其他排队模型
（Queuing Systems Analysis）
打电话
网上定火车票
计算机内存使用 打印文件
第一节
排队的基本概念
一.排队系统的发展
1909 A.K. Erlang 电话线数 1960：计算机的应用 1975 Kleinrock 定义：到达超过资源占用 如今： 计算机，电信，土木，机械，管理 系统的最优设计与最优控制
3.服务机构
对服务机构的研究内容主要有服务设 施（称为服务台）的数量和服务的规律。 1 （1）服务台个数 C 1 (并列多台)
（2）服务规律：指服务时间 v 的分布 分为 • 定长 D M
• 负指数
• k阶爱尔朗
• 一般分布 G
Ek
二. 排队模型的表示
火车站排队.flv
1953,1971（X/Y/Z/A/B/C）
平均对每位顾客的服务时间为 参数 的含义——服务率 注：负指数分布的一般化——爱尔朗分布，可用于描 述由道程序组成的 k 个服务台的服务时间的分布。
1

第五章
第一节
排队系统分析
排队的基本概念
（Queuing Systems Analysis）
第二节
第三节
到达与服务的规律
M/M/1排队模型
第四节
M/M/C及其他排队模型
（3）稀有性：瞬时内只可能有1个顾客到达。
到达的规律
称具有上述特征的输入为泊松流，其在 t 时段内到达 n个顾客的概率为
( t ) n t Pn (t ) e , n 0,1, n! 即参数为 t 的泊松分布。 ; 0

讨论： λ的含义？ 单位时间到达系统的平均顾客数，即到达率。
矛盾
顾客排队等待时间 服务设施规模
第一节
排队的基本概念
一.排队系统的组成
服 务 机 构
顾 客 源
到达
队列
离去
第一节
排队的基本概念
现实世界中形形色色的排队系统
到达的顾客
不能运转的机器 修理技工 电话呼唤 病人 驶入港口的货船 来到路口的汽车 进入餐馆的顾客
要求服务内容
修理 领取修配零件 通话 就诊 装货或卸货 通过路口 就餐
P0 1 P ( ) n (1 ), n 1 n
（2）由平衡方程解得状态概率
记
，称为服务强度，规定 1，则
P0 1 n Pn P0
系统运行指标 （1）Ls与Lq
Ls 表示系统中的平均顾客数，由期望定义， Ls nPn
负指数分布满足无后效性
证：由条件概率公式得
P T t0 t T t 0 P T t0 t T t 0 P T t0 P T t0 t e t0 e t P T t P T t0 e
例2考虑一个铁路列车编组站，设待编列车到达 时间间隔服从负指数分布，平均每小时到达２列； 编组站的编组时间也服从负指数分布，平均每20 分钟可编一组。该编组站内共有2股车道，当均 被占用时，再来的列车只能停在站外或前方站。 (1) 求该编组系统中列车的平均数，每一列车的 平均停留时间和等待编组的列车平均数。 (2) 如果列车因站内的2股车道均被占用而停在 站外或前方站时，每列车的费用为每小时a元， 求每天由此而造成的平均费用损失。
1 Ls (小时） ; 6 2 2 4 (6) Lq Ls (人） ; 3 5 15 (5) Ws
(7) Wq Ws 1
1


1 1 1 (小时） ; 6 10 15
1 (10 4) 1 1 1 4 (8) P(W ) 1 P(W ) 1 F ( ) e e 1.5 0.223。 4 4 4
n n (1 )
n 0

n 0


1


（1）Ls与Lq
Lq ( n 1) Pn nPn Pn Ls (1 P0 )
n 1 n 0 n 1



Ls
问题：为什么Ls Lq 1(而不是 1）呢？
现实中的例子： •程控电话交换系统 •知识竞赛的抢答环节
2. 排队规则
（2）等待制
指顾客到达时若所有服务设施均被占用，则留下 来等待，直至被服务完离去。 等待的服务规则又可分为：
• 先到先服务（FCFS）
• 后到先服务（LCFS）
• 带有优先权的服务（PS）
• 随机服务（SIRO)
2. 排队规则
t0 t
进一步：负指数分布的密度函数为:
e t , t 0 f T (t ) t 0 0, 1 参数 即其均值的倒数。因此， 的含义是平均间隔时间，
这与
为单位时间到达系统的平均顾客数的含义一致。
服从负指数分布的情形：
高度耐磨损的电子元器件

...
n-1 n

n+1 ...




由此列出平衡方程：
P0 P1 Pn1 Pn1 ( ) Pn , n 1
（2）由平衡方程解得状态概率
由平衡方程： 可解得状态概率：
P0 P1 Pn1 Pn1 ( ) Pn , n 1
问题：当顾客按泊松流到达时，其到达的间隔时间T 是服从什么分布呢？
因为到达为泊松流，所以 t 时段内没有来顾客的概率为
பைடு நூலகம்P0 t
t
0!
0
e
t
e
t
所以，t 时段内有顾客到来（即间隔 T t ）的概率为 1 e t t0 FT (t ) P(T t ) t0 0 到达数为泊松流 到达间隔服从负指数分布（同参数）