从一道高考题浅析高中数学应用题的教学

数学应用问题读题能力的培养数学组：陈勇
摘要：在近几年的中考题中，大批贴近社会实际、贴近学生生活、体现时代要求的新型应用题如雨后春笋般涌现出来，而学
生在解决实际应用题方面存在一定的不足。

学生如何才能
有效地解实际应用题呢？笔者认为，加强读题能力的培养
是解题的关键，并在教学实践中摸索出了一些行之有效的
方法。

数学是一门源于生活，又高于生活，但最终服务于生活的学科。

它以高度的抽象性、严密的逻辑性以及广泛的应用性，渗透于科学技术及实际生产、生活的各个领域。

而把数学知识用来解决现实生活中的问题则是学习数学的最高境界，于是中考中出现大量的应用问题便是理所当然的事情。

但学生在解决应用问题时仍然存在一定的困难：有的学生上课听得懂,可课外自己动手解决问题时却不知如何下手；有的学生遇到不会做的实际应用问题时，只要教师对题目稍作分析,学生便茅塞顿开……由此可知许多学生并不是存在数学知识的缺陷，而在于不懂得如何分析题目，更不懂得如何才能把数学知识与实际问题有机地结合在一起，以致于无从下手。

我认为解应用题困难的一部分原因在于不懂得审题，在学生中存在“数学阅读能力的缺陷”。

因此，要提高解决数学应用问题的水平，就应注重学生数学阅读能力的培养。

与纯数学问题相比，数学应用题的文字叙述更加个
性化，更贴近生活，但其中的实际情景设置、语言表达形式、信息存储方式、数量关系都不同于常规训练中的例题。

这对习惯于解常规题的学生而言无疑是一种挑战。

面对一大堆“非数学”形式的语言描述，学生反而会感觉手足无措，头脑中一片茫然，从而放弃。

如何把这些令学生头痛的应用题变成学生喜闻乐见的形式呢？我认为读题时分可按以下几个步骤进行：
第一步：分清主次，去粗存精。

一道紧扣时代脉搏的应用题所包含的情景、数量关系等就像一篇内容丰富的短文，文字多是实际应用问题的一大特点，而很多学生一看到大量的文字叙述时，心中便望而却步，退避三舍，其实应用题的很多文字是介绍背景的，与解题没有多大关系，因此，要想解这类实际应用题，首先要克服心理障碍，然后进行粗略地阅读，使自己对题目有一个初步的认识与评价，了解题目的情节梗概，并有目的地对题目做出分析、理清框架，分清主次。

具体而言，当学生面对数学应用题时，应积极思考以下几方面的问题：
⑴题目所涉及的情景是什么？
⑵已知条件有哪些？实际问题是什么？
⑶题目情景中哪些是次要信息？哪些是重要信息？
⑷阅读的同时养成“圈点勾画”和“作批注”的习惯。

学生自
己选用特定的符号删减掉那些次要条件，保留并突出重要条
件，如在句子下用“”标出重点句，用“…”标出关键
词，用“？”标明不明白处或异议处……“圈点勾画”能提
高对题目的理解、记忆，充分发挥学生的思维潜能，能极大
地激发学生解题兴趣。

对重点的字、词、句学生也可作批注，
记下闪过脑际的想法、见解、疑惑等。

通过作批注，学生手
脑并用，有利于培养学生一边阅读、一边思索的好习惯，从
而将阅读进一步引向深入。

第二步：重点攻击，扫除障碍。

近几年的实际应用题具有强烈的时代特征：如经济中的利润、利率；人与环境的关系；生产、生活中的最优化问题等，其中，必然出现一些令学生感到模棱两可的词语甚至并不熟悉的术语、生活俗语等。

在完成第一步的基础上，就应像分析短文一样达到对重点字、词、句的理解，即重点攻击、扫除题中障碍，对重点、有疑问的术语进行细细推敲，慢吞细嚼，阅读时不只是停留在文字上的理解，还要懂得挖掘其内涵和外延，而对陌生术语要克服畏惧心理，应纵观全文看是否有注释或诠释，考题通常会即时定义术语的内涵和外延，对解题中关键的术语进行解释，学生就得有针对性地掌握其定义对象的本质属性和使用范围，达到重点攻破，而有些题中的一些陌生术语没有注释，只起一个“障眼法”的作用，出题者的本意是扰乱学生视线，因此，学生也没有必要耿耿于怀，绞尽脑汁想理解其意，其实这些没有注释的术语往往不影响解题，所以，学生想进一步深入应用题的时侯不要妄图“全线爆破”，而应选择“重点攻破”。

要想很好地完成这一步，可从两方面入手：一方面，教师在教学中不仅要加强基本定义、基本概念的教学而且也应加大对关键词语的讲解力度，如：比…多（少、快、慢）、增加到（了）、上升、下降、盈、亏、涨、跌、赚、赔、年利、月利、折扣、不足、不到、不大于、不小于、不超过等，把这些词讲清、讲透；另一方面，学生平时要注意走出校门，多接触社会，了解生产和生活的实际情况，多看报刊杂志，在实践中丰富自己，只有这样才能充分了解应用题
的实际背景，理解题意，从而解决问题。

第三步：理清图象、表格信息。

数学的图象、表格是信息的良好载体，它能直观、形象、简洁明了地表达数据间的关系，能突出考查学生的分析能力、观察能力，因此，在各级考试中，试题常以“图文并茂”的形式出现，即既有文字又有图象或表格。

而有的学生在阅读图象、表格时存在一定的困难，我认为对学生阅读图象、表格能力的培养，除了平时教学中加强基本概念（特别是坐标系）的教学外，还要在方法上加以指导，培养学生养成“横看竖看、左思右想”的习惯。

如遇到函数图象时，首先，学生要明确横轴、纵轴各表示什么数学量？单位是什么？其次，根据图象形状，结合数学知识,分析图象所展示的数学特性和规律：定义域、值域、单调性、对称性、特殊点（交点、边界点、最值点）等，并注意把函数与方程、不等式联系起来进行分析。

最后，学生要对同种类型的图象信息题进行收集、整理，要善于比较、总结，发现其异同，找出其规律，做到融会贯通，从而提高综合分析能力。

第四步：数据重组，建立模型。

完成以上三个环节后，学生就对应用题从文字上达到了整体加局部理解，但是这不同于一般的文章，它归根到底是一道数学题，评价的标准是求解它，这就要求学生在正式做题前能用自己的语言进行复述，即用数学的语言将题目的情景、已知、未知、求解在大脑中进行再现，将问题简单化，尽量将问题转化成一个比较熟悉而又简单的数学问题，并将问题中的数量关系用字母符号表示出来，需要的时候，可画出简单的示意图、列表、试算，并运用实验、联想、逻辑推理等方法发现问题中的数量关系，并把这些数量关系用掌握的数学知识符号表示出来，使之条理化、系统化，题目也变得形象化、直观化，并进一步找出符合题意的数学模型，是函数型还
是方程型或是不等式型或皆而有之，为建立数学模型奠定基础。

此时，以“非数学”形式的语言描述的应用问题就转化成一个比较熟悉而且易解的纯数学问题了。

当然，在应用问题阅读能力的培养过程中还需注意以下两方面：首先，教师在教学中，要以身作则。

在教学过程中要做到用语规范、科学、准确、简明；分析讲解习题要起一个良好的示范作用，有目的、有计划地渗透数学语言阅读的意识，做到润物细无声。

其次，学生的阅读能力是以口头表达或书面表达的形式呈现在教师面前。

因此，培养学生数学阅读能力的同时也要注重培养数学语言的表达能力，主要体现在要注意加强对学生解题规范性的训练。

总之，要提高学生解应用题的能力，数学语言阅读能力的培养至关重要，这种培养是一个复杂、艰巨、慢长的过程，需要从新生年级一点一滴地培养。

从一道高考题浅析高中数学应用题的教学
东莞中学数学科吴强
摘要：高中数学应用题教学的关键在于现实问
题“数学化”的过程，而教学的核心则在于现实问
题“模型化”的过程；其一般策略包括审题、建模、求解、验证和回答五个基本环节。

在高中数学应用
题的教学过程中，教师必须克服学生的畏难情绪，
树立学生顽强的探索精神。

关键词：高中数学应用题的教学现实问题
纯数学大众数学
正文：数学新教材增加了“研究性课题”这一教
学内容，这无疑说明今后高中数学教材会更加注重
数学的广泛应用性，也昭示我国数学大众化已迈出
了可喜的一大步，同时也意味高中数学教学策略要
做相应的调整，即不仅要引导学生掌握纯数学，也
要引导学生学会“数学”地思考现实问题并能够解决一些生活中具体的、比较热点的实际问题。

信息飞速发展的今天，解决实际问题已不可避免地成为人们生存竞争的必备能力之一。

众所周知，数学的应用非常广泛，正如著名数学家华罗庚所说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。

”因此数学教学不仅要提高学生的数学思维素质，而且更要提高学生用数学的观点去思考、分析和解决实际问题的能力，要达到这一目的，教师在平时的教学过程中应恰当地渗透数学应用题的教学。

一、发现问题
笔者曾用下面2000年全国高考广东卷第21题渗透在数学应用题的教学中。

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。

⑴写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式()；
P=写出图二表示的种植成本与时间的函数关f
t
系式()；
g
Q=
t
⑵认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/kg
2
10，时间单位：天)
图一图二
在该题教学之后，我用下列表格式的问卷对准高三（高二升高三）两个班103人做过一个调查统计(允许一人选多项)。

从上表可以发现，对学生来说，解高中数学应用题难在如何将现实问题转化为已学过的数学知识，即把现实问题“数学化”。

这就说明高中数学应用题教学的核心在于如何引导学生去“数学”地思考实际问题并把现实问题转化为纯数学问题的过程。

针对出现的这一问题，笔者有过一段时间的思考，认为除了与学生分析清楚实际问题与纯数学问题的必然联系和区别中的辨证统一之外，更重要的是应该使学生掌握解决高中数学应用题的有关方法，也就是要有一定的思考方向。

二、高中数学应用题教学的目标定位
数学应用题从小学一年级(甚至幼儿教材)中已开始出现，但小学数学应用题是已经“数学化”了的实际问题，而高中数学应用题是对有些因素“理想化”了的现实问题，它需要提炼、分析而达到“数学化”的程度。

1、大众的数学需要数学应用题的教学。

数学应用题取材的广泛性和现实性体现了数学来源于现实生活，又服务于现实生活，从而赋于数学“大众化”及“生活化”的特点，这样“活”的数学对于激发
学生浓厚的学习兴趣必然有极大的推动力。

有了学习的源动力，提高学生的学习质量就有了基础保证。

2、解决问题是人们学习的宗旨。

如果学生能够“数学”地思考并解决许多现实问题，不但可以培养学生的数学思维能力，更重要的是可以培养学生善于应用数学知识思考和解决问题的能力。

学生善于学习，提高学生的学习质量就有了素质保证。

三、高中数学应用题教学的一般策略
笔者通过对数学应用题的教学，概括出高中数学应
1、审题：即在读题的过程中，教师引导学生提炼出已知、未知并尽可能寻找出已知与未知的内在关系，将题目给定的信息经过分析、综合后，让学生尝试自己复述，学生在不经意中把现实问题“数学化”。

学生通过“审题”可以大致地知道用哪些已学过的数学知识解决问题，解题有了一个比较明确的方向。

这一过程也是培养学生“数学”地思考问题的最关键环节，也是大众数学的直接体现。

2、建模：将已“数学化”了的实际问题，通过教师启发诱导，使学生运用已学过的数学知识，将文字叙述的现实问题转化成用数学符号表示的式子(比如得到函数式子、数列关系式、不等式关系式等等)，同时必须要求学生联系实际，确定变量的取值
范围，为后面的回答问题奠定基础，这一过程成为“建模”。

建模后，现实问题被转化为学生的一些经验知识，此时教学步入了学生比较熟悉的纯数学范畴；到这个阶段，学生开始对“问题解决”有了初步的方向与成功体验，以下的教学就可由学生自己完成，让学生发挥其主体意识，增加学生解高中数学应用题的自信心。

这一过程是高中数学应用题教学的核心和难点，突破这一点，教学往往可收到事半功倍的效果。

如上述西红柿问题就是分段函数与二次函数模型，而且其中的自变量t因函数分段要特别注意它的范围。

3、求解：求解就是对已经“模型化”了的纯数学问题得到结果的过程，也就是纯数学问题“结果化”的过程。

这一过程学生较为熟悉，但重要的是要提高学生运用运算技巧和应用数学思想方法的能力，培养学生顽强的求知精神。

如上述西红柿问题就要求学生能综合运用待定系数法、配方法或利用导数求最值及分类讨论的数学思想方法。

4、验证：纯数学下的结果并不一定符合客观现实，如现实中往往要取整，取最值等等，这是纯数学与应用数学最不一致的地方，也是数学“生活化”的直接体现。

如上述西红柿问题就要在两个值中取更大的一个。

5、回答：高中数学应用题一般不同于小学的应用题有明确的最后一个问句，因而高中数学应用题的回答要学生根据题意用简练、明确的语言概括出来，给出一个清楚的结论。

四、高中数学应用题教学的几点思考
通过教学，笔者发现学生对解高中数学应用题的困难主要表现为两个方面：一为进不去，即有畏难心理或找不到切入口；二为出不来，即得不到结果。

1、重视题意的提炼，克服学生的畏难情绪。

受冗长文字叙述的影响，学生往往心存畏难情绪而不愿作深入的思考，当然也就找不到解题的切入口。

为此在高中数学应用题的教学中，审题环节很重要，
一者经提炼浓缩后的应用题较短，适应学生“求简”的口味；二者也使现实问题富有“数学味”，符合学生的日常数学认识观。

2、保证学生学习兴趣的完整性。

持久、稳定的学习兴趣是提高学习质量的必要条件之一，反映兴趣的外部表现形式是学生能够以饱满的情绪始终如一地参与、思考、讨论。

从而，教师在教学过程应不断地保证学生在每一个环节都有“成功”的体验，并给出相应的新的目标，培养学生孜孜以求的探索精神。

3、注重培养学生的运算能力。

现实应用题的运算量很难像教材中编定的运算题一样具有针对性和简洁性，因而大多数学生怕应用题的运算。

怕复杂、怕繁琐是人的基本心态，只有具备“不怕虎”的精神才能具有“深入虎穴”的决心和信心。

有的教师碰到运算就直截了当地给出答案，也是造成学生运算能力差的根源之一，这样的做法直接助长了学生的懒惰心理，造成了学生思维的断层。

教师在教学中应当不断地提高学生合理运用运算技巧、运算方法的能力，使学生的运算思维达到一个高境界的层面，从而树立起学生顽强的运算毅力并致顽强的学习毅力。

主要参考文献：
1、何小亚黄启林. 高中数学题解题门径. 广东
人民出版社. 1997
2、何小亚. 数学应用题教学的实践与思考. 数学
通报. 2000.4
3、吴新华. 关于大众数学意义下的高考试题. 数
学通报. 2000.3
4、2000年普通高等学校招生全国同一考试(广东
卷)。