范德蒙行列式几点应用

第2讲 范德蒙德行列式的几点应用

我们知道，n 阶范德蒙德行列式

()21

1

11212

22

121111n n n i j j i n n n

n n

x x x x x x V x x x x x --<-=

=-∏

≤≤，

当这些i x 两两互异时，0n V ≠．这个事实有助于我们理解不少结果．

例1 证明一个n 次多项式之多有n 个互异根．

证 设()2012n n f x a a x a x a x =++++ 有1n +个互异的零点121,,,n x x x + ，则有

()20120n i i i n i f x a a x a x a x =++++= ，1 1i n +≤≤．

即

2011121202222220112

10,

0,

0.

n n n

n n n n n n n a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a +++⎧++++=⎪++++=⎪⎨

⎪⎪++++=⎩

这个关于01,,,n a a a 的齐次线性方程组的系数行列式

()2

1112222

11

21

11

11

01n

n i j j i n n

n n n x x x x x x x x x x x <++++=-≠∏

≤≤， 因此0120n a a a a ===== ．这个矛盾表明()f x 至多有n 个互异根．

例2 设12,,,n a a a 是n 个两两互异的数．证明对任意n 个数12,,,n b b b ，存在惟一的次数小于n 的多项式()L x ：

()1

n

j i i j i

i j

x a L x b a a =≠-=-∑∏

，

使得()i i L a b =，1 i n ≤≤．

证 从定义容易看出()L x 的次数小于n ，且()i i L a b =，故只需证明唯一性即可． 设()2

1

0121n n f x c c x c x c x

--=++++ 满足

()i i f a b =，1 i n ≤≤，

即

210111211121

0212221221012

1,,

.

n n n n n n n n n n c a c a c a c b c a c a c a c b c a c a c a c b ------⎧++++=⎪++++=⎪⎨

⎪⎪++++=⎩

这个关于0121,,,,n c c c c - 的线性方程组的系数行列式

()21

111212

22

1211101n n i j j i n n n

n n

a a a a a a a a a a a --<-=-≠∏ ≤≤，

故0121,,,,n c c c c - 是唯一的，必须()()f x L x =． 这个例子就是有名的拉格朗日插值公式．

例3 设()()()121,,,n f x f x f x - 是1n -个复系数多项式，满足

()()()121211|n n n n n n x x f x xf x x f x ---++++++ ，

证明()()()1211110n f f f -==== ．

证 设()()()()()

21

1211n n n n n n f x xf x x f x p x x x ---+++=+++ ，取22cos

sin i n n

ππ

ω=+，分别以21,,,n x ωωω-= 代入，可得

()()()()()()

()()()()()()21212221211211211110,

1110, 1110.n n n n n n n n f f f f f f f f f ωωωω

ωω--------⎧+++=⎪+++=⎪⎨

⎪⎪+++=⎩

这个关于()()()1211,1,,1n f f f - 的齐次线性方程组的系数行列式

()

(

)()

2222

12111

01n n n n n ωωωωωω-----≠

，

因此()()()1211110n f f f -==== ．

例4 设n 是奇数，()()()121,,,n f x f x f x - 是1n -个复系数多项式，满足

()()()123221211|n n n n n n n n x x x f x xf x x f x -------+-++++ ，

证明()()()1211110n f f f --=-==-= ．

证 注意到当n 是奇数时，

()()123111n n n n x x x x x ---+=+-+-+ ，

可按照例3的思路完成证明．

例5 设A 是个n 阶矩阵，证明A 的属于不同特征值的特征向量线性无关．

证 设12,,,r λλλ 是A 的两两不同的r 个特征值，非零向量12,,,r ααα 适合

i i i A αλα=，

1 i r ≤≤， 假设

11220r r x x x ααα+++= ，

那么有

()11220j r r A x x x ααα+++= ，1 1j r -≤≤．

即

()1110r r r

j

j

j i i i i i i i i i i A x x A x ααλα===⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭∑∑∑，

注意到

()

0j i

r r

λ⨯≠，

必须11220r r x x x ααα==== ，于是120r x x x ==== ，这证明了12,,,r ααα 线性无关．

例6 计算行列式

()

()()()

()

()()()()

111212122211121111

n n n n n n n x x x x x x D x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ---=

，

其中()1

1k

k k k nk x x a x

a ϕ-=+++ ．

解 注意到下面的等式：