《不等式与不等关系》第2课时教学设计

《不等式与不等关系》第2课时教学设计

授课类型：新授课

【教学目标】

1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式；

2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、解决问题的方法；

3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力.

【教学重点】

掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简单的不等式；

【教学难点】

利用不等式的性质证明简单的不等式。

【教学过程】

1.课题导入

在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。

请同学们回忆初中不等式的的基本性质。

（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；

即若a b a c b c

>⇒±>±

（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；

即若,0

>>⇒>

a b c ac bc

（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。

即若,0

><⇒<

a b c ac bc

2.讲授新课

1、不等式的基本性质：

师：同学们能证明以上的不等式的基本性质吗？

证明：

1）∵(a＋c)－(b＋c)

＝a－b＞0，

∴a＋c＞b＋c

2）()()0

+-+=->，

a c

b

c a b

∴a c b c

+>+．

实际上，我们还有,

>>⇒>，（证明：∵a＞b，b＞c，

a b b c a c

∴a－b＞0，b－c＞0．

根据两个正数的和仍是正数，得

(a －b)＋(b －c)＞0，

即a －c ＞0，

∴a ＞c ．

于是，我们就得到了不等式的基本性质：

（1）,a b b c a c >>⇒>

（2）a b a c b c >⇒+>+

（3）,0a b c ac bc >>⇒>

（4）,0a b c ac bc ><⇒<

2、探索研究

思考，利用上述不等式的性质，证明不等式的下列性质：

（1）,a b c d a c b d >>⇒+>+；

（2）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；

（3）0,,1;n n n n a b n N n a b a b >>∈>⇒>>。

证明：

1）∵a ＞b ，

∴a ＋c ＞b ＋c ． ①

∵c ＞d ，

∴b ＋c ＞b ＋d ． ②

由①、②得 a ＋c ＞b ＋d ．

2）bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭

⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0, 3）反证法）假设n n b a ≤， 则：若n n n n a b a b a b a b

<⇒<=⇒=这都与b a >矛盾， ∴n n b a >．

[范例讲解]：

例1、已知0,0,a b c >><求证

c c a b

>。 证明：以为0a b >>，所以ab>0,

10ab

>。 于是 11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a

> 由c<0 ，得c c a b > 3.随堂练习1

1、课本P82的练习3

2、在以下各题的横线处适当的不等号：

(1)（3＋2）2 ６＋26；

（2）（3－2）2 （6－1）2；

（3）251- 5

61-； (4)当a ＞b ＞0时，log 21a log 21b

答案：(1)＜ （2）＜ （3）＜ （4）＜

[补充例题]

例2、比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小。

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。

解：由题意可知：

（a ＋3）（a －５）－（a ＋2）（a －4）

＝（a 2－2a －1５）－（a 2－2a －８）

＝－７＜0

∴（a ＋3）（a －５）＜（a ＋2）（a －4）

随堂练习2

1、 比较大小：

（1）（x ＋５）（x ＋７）与（x ＋６）2

（2）2256259x x x x ++++与

4.课时小结

本节课学习了不等式的性质，并用不等式的性质证明了一些简单的不等式，还研究了如何比较两个实数（代数式）的大小——作差法，其具体解题步骤可归纳为：

第一步：作差并化简，其目标应是n 个因式之积或完全平方式或常数的形式；

第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论；第三步：得出结论

5.评价设计

课本P83习题3.1[A组]第2、3题；[B组]第1题