(完整)11年川大高等代数及答案

四川大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试题

一、（本题满分20分）

1. (5分)设V 是数域F 上的线性空间，V s ∈ααα,,,21Λ.令}{1F k k W i s

i i i ∈=∑=α.证明：W

是V 的子空间（称为由s ααα,,,21Λ生成的子空间）. 证明：取W ∈βα,且∑==s

i i i k 1

αα，∑==s

i i i k 1

ββ

∑∑∑===+=+=+s i i i i s

i i i s

i i i k k k 1

1

1

)(βαβαβα，则W ∈+βα ①

∑∑====s

i i i s i i i k k k k k 1

1

)(ααα，则W k ∈α ②

由①、②，得W 是V 的子空间

2. （15分）设)(2F M 是数域F 上的2阶方阵组成的线性空间，设V 是由如下的4个矩阵生成的)(2F M 的子空间：

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=02411A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=30152A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=41233A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=54924A ， （1）求V dim 并写出V 的一个基.

（2）设映射f ：F f →为：)()(A tr A f =，其中)(A tr 表示矩阵A 的迹. 求f ker dim 并写出f ker 的一个基.

解：（1）取)(2F M 的一个基11E 、12E 、21E 、22E ，V F M →)(2在这个基下对应的矩阵是B

有),,,(),,,(432122211211A A A A B E E E E =，则⎥

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=

54304102

921423

5

1

B

⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----00003618005430235

1

54300510011021023515430

4102921423

5

1

则3dim =V ，故V 的一个基为1A 、2A 、3A

（2）取矩阵C ，使得0)(=C f ，根据题意，有02211=+c c 由332211A x A x A x C ++=，有方程048321=++-x x x

此方程的基础解系由2个线性无关的向量构成，即)'1,0,7(、)'8,7,0(- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==413264)'1,0,7)(,,(3211A A A C ，⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=-=1182311)'8,7,0)(,,(3212A A A C 则有2ker dim =f ，故f ker 的一个基为1C 、2C 二、（本题满分20分）设F ，K 都是数域且K F ⊆.

1.(5分)设s ααα,,,21Λ是F 上的n 维列向量.证明：s ααα,,,21Λ在F 上线性相关当且仅当s ααα,,,21Λ在K 上线性相关.

证明：取s ααα,,,21Λ的极大无关组为F r ∈γγγ,,,21Λ 必要性：

s ααα,,,21Λ在F 上线性相关，则方程i r X αγγγ=),,,(21Λ有解（s i ,,2,1Λ=）

有K X ∈，则方程i r X αγγγ=),,,(21Λ在K 上有解 故s ααα,,,21Λ在K 上线性相关 充分性：

s ααα,,,21Λ在K 上线性相关，则方程i r X αγγγ=),,,(21Λ在K 上有解

在K 上有),,,,(),,,(2121i r r r r αγγγγγγΛΛ=

由F i r ∈αγγγ,,,,21Λ，则在F 上也有),,,,(),,,(2121i r r r r αγγγγγγΛΛ= 故方程i r X αγγγ=),,,(21Λ在F 上有解 故s ααα,,,21Λ在F 上线性相关

2.（5分）设A ，B 为F 上的n 阶方阵.证明：A ，B 在F 上相似当且仅当A ，B 在K 上相似.

证明：必要性：

由A ，B 在F 上相似，存在可逆矩阵)(F M P n ∈，使得B AP P =-1 又)(K M P n ∈，则A ，B 在K 上相似 充分性：

由A ，B 在K 上相似，则在K 上A ，B 有相同的行列式因子)(λk D （n k ,,2,1Λ=） 由A ，)(F M B n ∈，有)(λk D 属于F

则在F 上A ，B 也有相同的行列式因子)(λk D 故A ，B 在F 上相似

3.（5分）设F 上的n 次多项式)(x f 在K 上有n 个根n x x x ,,,21Λ. 证明：∏≤<≤-112

)(j i j i x x 属于F .

证明：令011

1)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ （F a a a n n ∈-01,,,Λ）

由根与系数的关系，有

n n x x x a +++=--Λ211、n n n x x x x x x a 121212--+++=Λ、……

由∏≤<≤-112

)(j i j i x x 为对称多项式，则可由01,,,a a a n n Λ-表示

故∏≤<≤-112

)(j i j i x x 属于F

4.(5分)证明：关于数的加法和乘法K 是F 上的线性空间. 证明：取K 上的元素α、β，数a 、F b ∈ 由K F ⊆， αββα+=+，有αβ+为K 上的元素

βαβαβαb b a a b a +++=++))((，βαβαb b a a +++为K 上的元素

则关于数的加法和乘法K 是F 上的线性空间

三、(本题满分20分)给定任意的可逆矩阵A .请说出4种求1-A 的方法（使用计算机程序的方法除外），并简要说明理由. 解：法1：通过初等变换

由行变，有()()1

-→A E E A M M ；由列变，有⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A E E A ΛΛ

法2：通过伴随矩阵

由E A AA =*，有⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡=

=-nn n n n n A A A A A A A A A A A A A Λ

M M

M ΛΛ

21222121211111*1