信号与系统第二章习题课2

（2）
特征根为 ，所以设 ，
由冲击函数匹配法求得
所以
（3）
所以得出
18.证明如下公式：
（1）
（2）
（3）
证明：
（1）
（2）
（3）根据离散时间付立叶变换来证明；
，令 得到
。
根据采样信号付立叶变换来证明；
，令抽样序列为Leabharlann Baidu，则
，令 得
非线性。
（2） ，则 ，
是线性的。
（3） ，则 ，
激励由 时刻加入，所以有
而 ，所以是时不变的。
11．对10题中的系统，其中 。
（1）不利用冲激响应 ，求该系统的阶跃响应 。
（2）根据 求冲激响应 。
解：
(1) （ ）
设 ，将 代入方程得出 ，又由 得出 ，
所以，
(2)
12．设系统为 ，求系统的冲激响应 。
第二章习题
1.(b)
由微分算子
所以
即
2.求汽车底盘的位移量 和路面不平度 之间的微分方程
解：弹簧和减震器的位移量为：
弹簧的弹力为：
减震器的阻力：
汽车底盘的惯性力：
根据达朗贝尔原理得到： ，将上述表达式代入得到
，化简得到
3．求下列微分方程的齐次解形式。
（2） ；
解：特征方程
所以齐次解形式为
4.（2）
，
解：
10．设一个连续时间系统的输入 与输出 之间的关系如下：
其中， 为不等于0的常数。（下面的线性和时不变含义是指第一章意义上的线性和时不变含义）。
（1）证明：如果 ，则系统是非线性的。
（2）证明：如果 ，则系统是线性的。
（3）证明：如果 ，则系统是时不变的。
证明：微分方程为常系数微分方程：
（1） ，则 ，
解：将 代入方程得 ，设 ，代入方程得
所以
13．图2-4所示系统是由几个“子系统”组成，各子系统的冲激响应分别为： （积分器）； （单位延时）； （倒相器）。试求总系统的冲激响应 。
解：
14．求下列两组卷积，并注意相互间的区别。
（1） ，求 ；
（2） ，求 。
解：
（1）
（2）
15．设 ，证明 ， ，并求出A值。
①当 ， 是一重根，设 代入方程得
②当 时， 不是特征根，设 ，代入方程得
所以 ，解得 ，
5．已知： ， ， ， ，求初始条件 。
解：将 带入方程中得
，利用 匹配法求解
代入方程得到
6．已知电路图2-3， 开关从1到2，求 。
解：
，代入参数得
7．已知系统满足微分方程 , , , ，求零输入响应 。
解：应先由 , 求 , 。
将 带入方程中得
，利用 匹配法求解
代入方程得到
求零输入响应：
特征方程：
设 ，得到
8．已知 ， ，求零状态响应 。
解：将 带入方程中得
，利用 匹配法求解
代入方程得到
特征方程：
设： ，其中
9．二阶连续LTI系统对 =1， =0起始状态的零输入响应为 ；对 =0， =1起始状态的零输入响应为 ；系统对激励 的零状态响应 ，求系统在 起始状态下，对激励 的完全响应。
证明：
由于 ，所以有
16．求下列各函数 与 的卷积 。
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
解：（1）当 时，
（2）
（3）
当 时, ；
当 时, ；
其它情况下为0；
综上可得
（4）
17．试求下列各值，其中 为微分算子，系统起始状态为零。
（1） ；（2） ；（3） 。
解：
（1）令 ，设 ，代入方程得
所以