直升机空气动力学-叶素理论
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a*
第二章 垂直飞行时的叶素理论 12
马赫数对阻力特性的影响 M 数接近 1 时，翼型前缘产生 激波，阻力突增。阻力发散马赫 数 MDD 因迎角增大而下降。
马赫数对力矩特性的影响 力矩发散马赫数的确定：
Cm Cm0 ? M 2MD 0.02
M
第二章 垂直飞行时的叶素理论 13
讨论一 翼型的适用范围有限
=
1 4 KPs Cx7
KP 为型阻功率修正系数。常用的矩形桨叶，KP ≈1。
对梯形桨叶， KP 值随根梢比而变化：
根梢比 ηye 1 2 3
4
修正系数 KP 1.0 0.94 0.91 0.88
空气压缩性（马赫数）对型阻功率也有影响，须另行
修正。
第二章 垂直飞行时的叶素理论 23
垂直上升消耗的有效功率系数:
Re 对升力线斜率影响不大，对最大 升力系数影响显著， Re 越大 C ymax 越大。
雷诺数影响翼型摩擦阻力。一般是 型阻随雷诺数增大而减小。
第二章 垂直飞行时的叶素理论 11
2-5马赫数的影响
Cy
马赫数 M= V/a ，
体现气流压缩性的影响。
M 越大，压缩性的影响越显著。
马赫数对升力特性的影响 M数越大， 翼型最大升力系数越小， 但升力曲线斜率稍增。
第二章 垂直飞行时的叶素理论 4
1-2 角度关系 安装角 翼弦与构造旋转平面的夹角（桨距角）
来流角 b * 相对气流与构造旋转平面的夹角
迎角 a * 相对气流与翼弦的夹角
b* =
arctan V0 + v1 ? Wr
V0 + v1 Wr
a* = j - b*
讨论：不可只按桨距大小推测升力或功率的大小， 须关注上升率及下降率对迎角的影响。
Cy
a¥ = Cya 换0.（1 1/ 度） 5.731（1／弧度）
阻力特性曲线 主要取自实验数据
a*
第二章 垂直飞行时的叶素理论 7
极曲线 - 翼型升力系数与阻力系数的关系
图上的五个特征点：
• 型阻系数最小值 Cx min
• 最有利状态点 (Cy / Cx )max
ห้องสมุดไป่ตู้
• 最经济状态点
(C
3/ y
2
第二章 垂直飞行时的叶素理论 25
儒氏条件建立了桨叶宽度与安装角的关系。
由 Cybr = Cy7b7 (0.7) = 常数 在矩形桨叶条件下，
有 Cy = a? a = 0.7Cy7 / r
已知 a * = f - b*
由此得矩形桨叶儒氏旋翼安装角
j
=
a* + b* =
0.7Cy7 + V0 + v1
第二章 垂直飞行时的叶素理论 5
第二节 桨叶翼型的空气动力特性
2-1 旋翼桨叶的常用翼型
几何特征：
由上、下弧线坐标给定
相对厚度 最大厚度位置 弯度 前缘半径 后缘角
第二章 垂直飞行时的叶素理论 6
2-2 升力、阻力特性曲线
升力特性曲线（失速前）
Cy = a? a
a * 气动迎角 a¥ 升力线斜率
cos b* » 1
从而有：
sin b* 换b*
V0 + v1 Wr
W籛 r
dT = dY cos b* - dX sin b*
dT ? dY
dQ = dX cos b* + dY sin b* 简化为 dQ ? dX
dX 谆b* dY ?b*
dY
旋翼的拉力和功率为：
R
T » k k ò dY
0
蝌R
迎角不能太大－－受限于气流分离（失速） 速度不能太大－－受限于阻力和力矩突增
物理实质：气流粘性和可压缩性起作用 分别以 Re 和 Ma来表征
讨论二 探寻、创造新翼型
C y max 大 MDD 大 力矩小且变化平缓 动态特性好：
第二章 垂直飞行时的叶素理论 14
桨叶运转转中，迎角和相对速度不断变 化。希望翼型的动态特性回线范围小。
若使
=
Cm0 +
¶ Cm ¶ Cy
?Cy
x ?Cy
x=
(-
¶ Cm ) = ¶ Cy
xF
则 CmF = Cm0 = 常数
xxFF
Xp
翼弦上距前缘 xF 的点称为翼型焦点，绕焦点的力矩不随升
力变化，总等于零升力矩。
第二章 垂直飞行时的叶素理论 9
焦点位置是固定的，它不因迎角变化而移动。 常用翼型在低速下，
拉力 和功率公式。
第二章 垂直飞行时的叶素理论 3
1-1 叶素的气动环境
叶素坐标系oxyz oz 桨叶的变距轴线 ox 旋转前进方向 oy 在翼型平面内垂直于XOZ
叶素的相对气流速度 w
垂直上升相对速度 V0 ，向下 旋转相对速度 Wr ，向后
当地诱导速度 v1 ，向下 W=
(Wr)2 + (V0 + v1)2
ò mkyx = s
r1 r0
C
y
r
2V0dr
=
CTV0
诱导功率系数:
ò mki = s
r1 r0
Cy
r
2v*dr
=
JCT v1
式中 J 为计及诱导速度不均布的修正系数。 旋翼总的需用功率为三部分之和:
1 m K = 4 KPs Cx7 + CTV0 + JCT v1
第二章 垂直飞行时的叶素理论 24
dT = dY cos b* - dX sin b* dQ = dX cos b* + dY sin b*
由dT 和dQ 可得
叶素的基元扭矩dM 和
消耗的基元功率dP ：
dM = dQ?r (dX cos b* + dY sin b*)r
dP = dQ譝r = (dX cos b* + dY sin b*)rW
Cm0 ? 0.01 xF » 0.25
翼型气动合力的作用点称为压力中心
位置为
xp = -
Cm = Cy
- Cm0 + Cy
xF
xp
是随迎角变化的。
讨论：桨叶的变距轴线为何一般安置在焦点处
第二章 垂直飞行时的叶素理论 10
2-4 雷诺数的影响
翼型雷诺数
Re = Vb / g
Re 体现气流粘性对空气动力的影响， 雷诺数越大，粘性的影响越小。
第二章 垂直飞行时的叶素理论 15
第三节 旋翼的空气动力特性 3-1 旋翼拉力和功率公式
作用在叶素dr段的升力和阻力为：
dY =
1 2
C
y
r
W
2bdr
dX
=
1 2
Cxr
W
2bdr
dX 与 dY 的合力为 dR。 dR 沿旋翼转轴和构造平面分解 dT 和 dQ，分别称为
基元拉力和基元旋转阻力:
第二章 垂直飞行时的叶素理论 16
蝌 ? mk = s
1
0 Cxr 3dr + s
r1 r0
C
y
r
2
?V0
dr
s
r1 r0
C
y
r
2
?v*dr
式中 第一项为型阻功率系数， 第二项为有效功率系数， 第三项为诱导功率系数。
第二章 垂直飞行时的叶素理论 22
型阻功率系数：
蝌 mKx = s
1
0 Cxr 3dr = s
1
0 KPCx7r 3dr
积分并计入全部桨叶，得 旋翼总拉力和功率为：
蝌r1
R
T = k r0 dY cos b* - k 0 dX sin b*
蝌R
r1
P = k dX cos b*rW+ k dY sin b*rW
0
r0
第二章 垂直飞行时的叶素理论 17
简化：
1）积分限由r0、r1改为由0到R，采用叶端损失系数κ来修正 2）除桨叶根部外，一般飞行状态下 β*<10o，近似地：
线性扭转的常用矩形桨叶，KT 约为0.96。
一般直升机的CT 值多在0.01~0.02之间。
把上式变一下，得：
CT s
=
k 3
KT Cy7
C T /σ表示单位桨叶面积的拉力系数，也称做桨叶载荷。
第二章 垂直飞行时的叶素理论 21
3-3 旋翼功率系数的简化式
采用导出拉力系数的同样方法，得出旋翼功率系数 的简化式。对于矩形桨叶，b 为常数，用实度表示，
第四节、儒可夫斯基旋翼 儒氏旋翼定义：诱导速度沿桨盘均匀分布的旋翼。 此种旋翼诱导功率最小，J =1。
为此，须桨叶速度环量沿半径不变（称为
儒氏条件）： Cybr = Cy7b7(0.7) = 常数
此时，拉力系数为：
ò k K
CT = p
1
Cyr 2bdr
0
=
kk
1
p
(C
ybr
)
? 2
0.7 ks Cy7 2
/
Cx
)max
• 最大升力系数 Cy max
• 零升阻力系数 Cx0
第二章 垂直飞行时的叶素理论 8
2-3 对前缘的力矩特性曲线：
Cm
=
Cm0 +
¶ Cm ¶ Cy
?C y
Cy
若升力合力作用点在 X p
有 Cm = - xp ?Cy ， xp = xp / b
对任一点 X Cmx = - Cy (xp - x ) = Cm + x ?Cy
叶素理论建立了旋翼几何特性、运动特性与其空气 动力的关系。可用于旋翼设计。
但不能确定各叶素处的诱导速度。
b*
=
V0 r
+
v* r
2）假定翼型升力系数沿桨叶为常数，等于Cy7，
则得：
1 CT = 3 k s Cy7
第二章 垂直飞行时的叶素理论 20
实际上，Cy 沿桨叶径向是变化的，用 Cy7 来代表 会
得到偏大的拉力。可用拉力修正系数来处理：
CT
=
1 3
KT
k
s
Cy
7
式中，KT 表示拉力沿桨叶分布不均匀的影响。
第二章 垂直飞行时的叶素理论 19
3-2 旋翼拉力系数的简化式
1 ) 矩形桨叶 b 为常数，定义旋翼实度 s = kbR / pR2 = kb / pR
蝌1
1
CT = k s 0 Cyr 2dr = k s 0 a¥ (j - b*)r 2dr
j = j 0 + D j ?r j 7 + D j (r - 0.7)
j = j 7 + D j (r - 0.7)
第二章 垂直飞行时的叶素理论 27
小结
由翼型的气动特性、相对速度和安装角，得到叶 素的空气动力，积分得出旋翼的拉力和扭矩（或功 率）。无量纲化后得拉力系数和功率（扭矩）系数
1 CT = 3 k s Cy7
1 m K = 4 KPs Cx7 + CTV0 + JCT v1
a¥ r
r
桨叶安装角、来流角、迎角
沿径向的变化如双曲线型
第二章 垂直飞行时的叶素理论 26
讨论： 儒氏旋翼诱导功率最小，气动性能最好。
但是，对于不同的飞行状态（如上升率V0不同)，最
佳扭转规律不同。例如在悬停状态下，安装角应是
j = 0.7Cy7 + v1 a¥ r r
因而，通常采用线性扭转， 通用性较好，又便于制造
第二章 垂直飞行时的叶素理论 1
第二章 垂直飞行时的叶素理论
1、叶素理论的基本概念 2、桨叶翼型的空气动力特性 3、旋翼的空气动力特性
第二章 垂直飞行时的叶素理论 2
第一节 叶素理论的基本概念
• 桨叶由连续布置的无限多个桨叶微段（即叶素）组成 • 分析叶素的运动、受力情况，建立叶素的几何特性、
运动特性和空气动力特性之间的关系 • 对叶素的空气动力沿桨叶和方位角积分，得到旋翼的
P 蛔k dX rW + k k 0 dY 鬃b* rW
第二章 垂直飞行时的叶素理论 18
写成无因次形式：
ò k k
CT = p
1
0 Cyr 2bdr
蝌 k
mK ? p
1
0 Cxr 3bdr
kk p
1
0 Cyr 3b*bdr
式中：
r = r/R
b = b/R
V0 = V0 / WR W = W / WR ? r
第二章 垂直飞行时的叶素理论 12
马赫数对阻力特性的影响 M 数接近 1 时，翼型前缘产生 激波，阻力突增。阻力发散马赫 数 MDD 因迎角增大而下降。
马赫数对力矩特性的影响 力矩发散马赫数的确定：
Cm Cm0 ? M 2MD 0.02
M
第二章 垂直飞行时的叶素理论 13
讨论一 翼型的适用范围有限
=
1 4 KPs Cx7
KP 为型阻功率修正系数。常用的矩形桨叶，KP ≈1。
对梯形桨叶， KP 值随根梢比而变化：
根梢比 ηye 1 2 3
4
修正系数 KP 1.0 0.94 0.91 0.88
空气压缩性（马赫数）对型阻功率也有影响，须另行
修正。
第二章 垂直飞行时的叶素理论 23
垂直上升消耗的有效功率系数:
Re 对升力线斜率影响不大，对最大 升力系数影响显著， Re 越大 C ymax 越大。
雷诺数影响翼型摩擦阻力。一般是 型阻随雷诺数增大而减小。
第二章 垂直飞行时的叶素理论 11
2-5马赫数的影响
Cy
马赫数 M= V/a ，
体现气流压缩性的影响。
M 越大，压缩性的影响越显著。
马赫数对升力特性的影响 M数越大， 翼型最大升力系数越小， 但升力曲线斜率稍增。
第二章 垂直飞行时的叶素理论 4
1-2 角度关系 安装角 翼弦与构造旋转平面的夹角（桨距角）
来流角 b * 相对气流与构造旋转平面的夹角
迎角 a * 相对气流与翼弦的夹角
b* =
arctan V0 + v1 ? Wr
V0 + v1 Wr
a* = j - b*
讨论：不可只按桨距大小推测升力或功率的大小， 须关注上升率及下降率对迎角的影响。
Cy
a¥ = Cya 换0.（1 1/ 度） 5.731（1／弧度）
阻力特性曲线 主要取自实验数据
a*
第二章 垂直飞行时的叶素理论 7
极曲线 - 翼型升力系数与阻力系数的关系
图上的五个特征点：
• 型阻系数最小值 Cx min
• 最有利状态点 (Cy / Cx )max
ห้องสมุดไป่ตู้
• 最经济状态点
(C
3/ y
2
第二章 垂直飞行时的叶素理论 25
儒氏条件建立了桨叶宽度与安装角的关系。
由 Cybr = Cy7b7 (0.7) = 常数 在矩形桨叶条件下，
有 Cy = a? a = 0.7Cy7 / r
已知 a * = f - b*
由此得矩形桨叶儒氏旋翼安装角
j
=
a* + b* =
0.7Cy7 + V0 + v1
第二章 垂直飞行时的叶素理论 5
第二节 桨叶翼型的空气动力特性
2-1 旋翼桨叶的常用翼型
几何特征：
由上、下弧线坐标给定
相对厚度 最大厚度位置 弯度 前缘半径 后缘角
第二章 垂直飞行时的叶素理论 6
2-2 升力、阻力特性曲线
升力特性曲线（失速前）
Cy = a? a
a * 气动迎角 a¥ 升力线斜率
cos b* » 1
从而有：
sin b* 换b*
V0 + v1 Wr
W籛 r
dT = dY cos b* - dX sin b*
dT ? dY
dQ = dX cos b* + dY sin b* 简化为 dQ ? dX
dX 谆b* dY ?b*
dY
旋翼的拉力和功率为：
R
T » k k ò dY
0
蝌R
迎角不能太大－－受限于气流分离（失速） 速度不能太大－－受限于阻力和力矩突增
物理实质：气流粘性和可压缩性起作用 分别以 Re 和 Ma来表征
讨论二 探寻、创造新翼型
C y max 大 MDD 大 力矩小且变化平缓 动态特性好：
第二章 垂直飞行时的叶素理论 14
桨叶运转转中，迎角和相对速度不断变 化。希望翼型的动态特性回线范围小。
若使
=
Cm0 +
¶ Cm ¶ Cy
?Cy
x ?Cy
x=
(-
¶ Cm ) = ¶ Cy
xF
则 CmF = Cm0 = 常数
xxFF
Xp
翼弦上距前缘 xF 的点称为翼型焦点，绕焦点的力矩不随升
力变化，总等于零升力矩。
第二章 垂直飞行时的叶素理论 9
焦点位置是固定的，它不因迎角变化而移动。 常用翼型在低速下，
拉力 和功率公式。
第二章 垂直飞行时的叶素理论 3
1-1 叶素的气动环境
叶素坐标系oxyz oz 桨叶的变距轴线 ox 旋转前进方向 oy 在翼型平面内垂直于XOZ
叶素的相对气流速度 w
垂直上升相对速度 V0 ，向下 旋转相对速度 Wr ，向后
当地诱导速度 v1 ，向下 W=
(Wr)2 + (V0 + v1)2
ò mkyx = s
r1 r0
C
y
r
2V0dr
=
CTV0
诱导功率系数:
ò mki = s
r1 r0
Cy
r
2v*dr
=
JCT v1
式中 J 为计及诱导速度不均布的修正系数。 旋翼总的需用功率为三部分之和:
1 m K = 4 KPs Cx7 + CTV0 + JCT v1
第二章 垂直飞行时的叶素理论 24
dT = dY cos b* - dX sin b* dQ = dX cos b* + dY sin b*
由dT 和dQ 可得
叶素的基元扭矩dM 和
消耗的基元功率dP ：
dM = dQ?r (dX cos b* + dY sin b*)r
dP = dQ譝r = (dX cos b* + dY sin b*)rW
Cm0 ? 0.01 xF » 0.25
翼型气动合力的作用点称为压力中心
位置为
xp = -
Cm = Cy
- Cm0 + Cy
xF
xp
是随迎角变化的。
讨论：桨叶的变距轴线为何一般安置在焦点处
第二章 垂直飞行时的叶素理论 10
2-4 雷诺数的影响
翼型雷诺数
Re = Vb / g
Re 体现气流粘性对空气动力的影响， 雷诺数越大，粘性的影响越小。
第二章 垂直飞行时的叶素理论 15
第三节 旋翼的空气动力特性 3-1 旋翼拉力和功率公式
作用在叶素dr段的升力和阻力为：
dY =
1 2
C
y
r
W
2bdr
dX
=
1 2
Cxr
W
2bdr
dX 与 dY 的合力为 dR。 dR 沿旋翼转轴和构造平面分解 dT 和 dQ，分别称为
基元拉力和基元旋转阻力:
第二章 垂直飞行时的叶素理论 16
蝌 ? mk = s
1
0 Cxr 3dr + s
r1 r0
C
y
r
2
?V0
dr
s
r1 r0
C
y
r
2
?v*dr
式中 第一项为型阻功率系数， 第二项为有效功率系数， 第三项为诱导功率系数。
第二章 垂直飞行时的叶素理论 22
型阻功率系数：
蝌 mKx = s
1
0 Cxr 3dr = s
1
0 KPCx7r 3dr
积分并计入全部桨叶，得 旋翼总拉力和功率为：
蝌r1
R
T = k r0 dY cos b* - k 0 dX sin b*
蝌R
r1
P = k dX cos b*rW+ k dY sin b*rW
0
r0
第二章 垂直飞行时的叶素理论 17
简化：
1）积分限由r0、r1改为由0到R，采用叶端损失系数κ来修正 2）除桨叶根部外，一般飞行状态下 β*<10o，近似地：
线性扭转的常用矩形桨叶，KT 约为0.96。
一般直升机的CT 值多在0.01~0.02之间。
把上式变一下，得：
CT s
=
k 3
KT Cy7
C T /σ表示单位桨叶面积的拉力系数，也称做桨叶载荷。
第二章 垂直飞行时的叶素理论 21
3-3 旋翼功率系数的简化式
采用导出拉力系数的同样方法，得出旋翼功率系数 的简化式。对于矩形桨叶，b 为常数，用实度表示，
第四节、儒可夫斯基旋翼 儒氏旋翼定义：诱导速度沿桨盘均匀分布的旋翼。 此种旋翼诱导功率最小，J =1。
为此，须桨叶速度环量沿半径不变（称为
儒氏条件）： Cybr = Cy7b7(0.7) = 常数
此时，拉力系数为：
ò k K
CT = p
1
Cyr 2bdr
0
=
kk
1
p
(C
ybr
)
? 2
0.7 ks Cy7 2
/
Cx
)max
• 最大升力系数 Cy max
• 零升阻力系数 Cx0
第二章 垂直飞行时的叶素理论 8
2-3 对前缘的力矩特性曲线：
Cm
=
Cm0 +
¶ Cm ¶ Cy
?C y
Cy
若升力合力作用点在 X p
有 Cm = - xp ?Cy ， xp = xp / b
对任一点 X Cmx = - Cy (xp - x ) = Cm + x ?Cy
叶素理论建立了旋翼几何特性、运动特性与其空气 动力的关系。可用于旋翼设计。
但不能确定各叶素处的诱导速度。
b*
=
V0 r
+
v* r
2）假定翼型升力系数沿桨叶为常数，等于Cy7，
则得：
1 CT = 3 k s Cy7
第二章 垂直飞行时的叶素理论 20
实际上，Cy 沿桨叶径向是变化的，用 Cy7 来代表 会
得到偏大的拉力。可用拉力修正系数来处理：
CT
=
1 3
KT
k
s
Cy
7
式中，KT 表示拉力沿桨叶分布不均匀的影响。
第二章 垂直飞行时的叶素理论 19
3-2 旋翼拉力系数的简化式
1 ) 矩形桨叶 b 为常数，定义旋翼实度 s = kbR / pR2 = kb / pR
蝌1
1
CT = k s 0 Cyr 2dr = k s 0 a¥ (j - b*)r 2dr
j = j 0 + D j ?r j 7 + D j (r - 0.7)
j = j 7 + D j (r - 0.7)
第二章 垂直飞行时的叶素理论 27
小结
由翼型的气动特性、相对速度和安装角，得到叶 素的空气动力，积分得出旋翼的拉力和扭矩（或功 率）。无量纲化后得拉力系数和功率（扭矩）系数
1 CT = 3 k s Cy7
1 m K = 4 KPs Cx7 + CTV0 + JCT v1
a¥ r
r
桨叶安装角、来流角、迎角
沿径向的变化如双曲线型
第二章 垂直飞行时的叶素理论 26
讨论： 儒氏旋翼诱导功率最小，气动性能最好。
但是，对于不同的飞行状态（如上升率V0不同)，最
佳扭转规律不同。例如在悬停状态下，安装角应是
j = 0.7Cy7 + v1 a¥ r r
因而，通常采用线性扭转， 通用性较好，又便于制造
第二章 垂直飞行时的叶素理论 1
第二章 垂直飞行时的叶素理论
1、叶素理论的基本概念 2、桨叶翼型的空气动力特性 3、旋翼的空气动力特性
第二章 垂直飞行时的叶素理论 2
第一节 叶素理论的基本概念
• 桨叶由连续布置的无限多个桨叶微段（即叶素）组成 • 分析叶素的运动、受力情况，建立叶素的几何特性、
运动特性和空气动力特性之间的关系 • 对叶素的空气动力沿桨叶和方位角积分，得到旋翼的
P 蛔k dX rW + k k 0 dY 鬃b* rW
第二章 垂直飞行时的叶素理论 18
写成无因次形式：
ò k k
CT = p
1
0 Cyr 2bdr
蝌 k
mK ? p
1
0 Cxr 3bdr
kk p
1
0 Cyr 3b*bdr
式中：
r = r/R
b = b/R
V0 = V0 / WR W = W / WR ? r