中考数学专题复习 数学思想方法

数学思想方法

数学思想方法是把知识转化为能力的桥梁，是解题规律的总结，是达到以点带面、触类旁通、摆脱题海的有效之路.因此我们应抓住临近中考的这段时间，去研究、归纳、熟悉那些常用的解题方法与技巧，从而为夺取中考高分搭起灵感和智慧的平台.

初中数学中的主要数学思想有整体思想、化归思想、分类讨论思想、数形结合思想、方程和函数思想等.由于我们前面各种思想方法均有渗透，故本专题只是侧重如下几个思想方法予以强化.

类型之一整体思想

例1 (2014·内江)已知1

a

+

1

2b

=3，则代数式

254

436

a a

b b

ab a b

-+

--

的值为 .

【思路点拨】要求分式的值，必须要知道分式中所有字母的取值，从条件看无法解决；观察分式的结构发现分子与分母都是m(a+2b)+n(ab)的形式，所以从条件中找出(a+2b)与ab之间的关系，即可解决问题.

【解答】∵1

a

+

1

2b

=3，

∴

2

2

a b

ab

+

=3，即a+2b=6ab.

∴254

436

a a

b b

ab a b

-+

--

=

225

324

a b ab

a b ab

+-

-++

（）

（）

=

125

184

ab ab

ab ab

-

-+

=

7

14

ab

ab

-

=-

1

2

.

方法归纳：整体思想就是在解决问题时，不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对整体的把握和运用达到解决问题的目的.

1.(2014·安徽)已知x2-2x-3=0，则2x2-4x的值为( )

A.-6

B.6

C.-2或6

D.-2或30

2.(2014·乐山)若a=2,a-2b=3,则2a2-4ab的值为 .

3.(2014·宿迁)已知实数a，b满足ab=3，a-b=2，则a2b-ab2的值是 .

4.(2014·菏泽)已知x2-4x+1＝0，求

()

21

4

x

x

-

-

-

6

x

x

+

的值.

类型之二分类思想

例2 (2013·襄阳)在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是 .

【思路点拨】从图中看有两个直角，这两个直角都有可能是原直角三角形的直角,分两种情况将原图补充完整，即可求出原直角三角形的斜边长.

【解答】如图1，以点B为直角顶点，BD为斜边上的中线，在Rt△ABD中，可得BD13

∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是213；

如图2，以点A为直角顶点，AC为斜边上的中线，在Rt△ABC中，可得AC＝32.

∴原直角三角形纸片的斜边EF的长是62.

故填213或62.

方法归纳：在几何问题中，当图形的形状不完整时，需要根据图形的已知边角及图形特征进行分类画出图形，特别注意涉及等腰三角形与直角三角形的边和角的分类讨论.

1.(2014·凉山)已知⊙O的直径CD=10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8 cm，则AC的长为()

A.25cm

B.45cm

C.25cm或45cm

D.23cm或43cm

2.(2014·凉山)已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 .

3.已知点D与点A(8，0)，B(0，6)，C(3，-3)是一平行四边形的顶点，则D点的坐标为 .

4.(2014·株洲调研)已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为 .

5.射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2 cm，QM=4 cm.动点P从点Q出发，

沿射线QN以每秒1 cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，3 cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上)，请写出t可取的一切值 (单位：秒).

6.(2013·呼和浩特)在平面直角坐标系中，已知点A(4，0)、B(-6，0)，点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为 .

7.(2014·襄阳)在□ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，5□ABCD的周长等于 .

类型之三转化思想

例3 (2014·滨州)如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点D在⊙O上，AD=CD,∠ADC=120°.

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积.

【思路点拨】(1)因为D 点在圆上，连接OD ，证明OD 与CD 垂直即可；

(2)连接OD ，将图中不规则的阴影部分面积转化为三角形与扇形的面积之差. 【解答】(1)证明：连接OD.

∵AD=CD ，∠ADC=120°，∴∠A=∠C=30°. ∵OA=OD,∴∠ODA=∠A=30°， ∴∠ODC=120°-30°=90°， ∴OD ⊥CD.

又∵点D 在⊙O 上,∴CD 是⊙O 的切线. (2)∵∠ODC=90°,OD=2，∠C=30°，

∴OC=4，CD=22

42-=23，

∴S △COD =

12OD ·CD=1

2

×2×23=23， S 扇形OCB =2602360π⨯⨯=2

3

π，

∴S 阴影=S △OCD -S 扇形OCB =23-

2

3

π. 方法归纳：化归意识是指在解决问题的过程中，对问题进行转化，将“未知”转化为“已知”、将“陌生”转化为“熟知”、将“复杂”转化为“简单”的解题方法，其核心就是将有待解决的问题转化为已有明确解决的问题，以便利用已有的结论来解决问题.

1.(2014·泰安)如图，半径为2 cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为( ) A.(

2π-1)cm 2 B.(2π+1)cm 2 C.1 cm 2 D. 2

π cm 2

2.(2013·潍坊)对于实数x,我们规定[x]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]=1，[3]=3,[-2.5]=-

3.若[4

10

x +]=5，则x 的取值可以是( )

A.40

B.45

C.51

D.56

3.(2014·菏泽调考)将4个数a 、b 、c 、d 排成两行、两列，两边各加一条竖线段记成

a b c d

，定义

a b c d

=ad-bc ，

上述记号就叫做二阶行列式，若

11x x +- 11

x

x -+=8，则x= .