最新届高考数学一轮复习讲义：第六章62等差数列及其前n项和
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当 n＝1 时，a1＝2 不适合 an，
2 故 an＝2n－32－22n－72
n＝1 nwenku.baidu.com2.
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等差数列的基本量的计算
例 2 设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列{an}的 前 n 项和为 Sn，满足 S5S6＋15＝0. (1)若 S5＝5，求 S6 及 a1； (2)求 d 的取值范围．
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解 方法一 ∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋102×9d＝15×20＋15×2 14d，∴d＝－53. ∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋635.
∴a13＝0，即当 n≤12 时，an>0，n≥14 时，an<0，
∴当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值，且最大值为 S13＝S12＝12×20
(1)由 S5S6＋15＝0 与 S5＝5 可构建关于 a1，d 的方程组． (2)由 S5S6＋15＝0 可化为关于 a1 的一元二次方程，因为{an} 存在，所以关于 a1 的一元二次方程有解．
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解 (1)由题意知 S6＝－S155＝－3，a6＝S6－S5＝－8. 所以5aa1＋1＋51d0＝d＝－58，. 解得 a1＝7，所以 S6＝－3，a1＝7. (2)方法一 ∵S5S6＋15＝0， ∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即 2a12＋9da1＋10d2＋1＝0. 因为关于 a1 的一元二次方程有解，所以 Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0， 解得 d≤－2 2或 d≥2 2.
∴S1n是以S11即12为首项，以 2 为公差的等差数列．
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方法二 ∵当 n≥2 时，S1n－Sn1－1＝2SSn－n1－＋1 1－Sn1－1 ＝2SSnn－－11＝2， ∴S1n是以S11即12为首项，以 2 为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知S1n＝12＋(n－1)×2＝2n－32， ∴Sn＝2n1－32， ∴当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n1－32－2n1－72 ＝2n－32－22n－72；
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变式训练 2
(2011·福建)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1) 求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值．
解 (1)设等差数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d. 由 a1＝1，a3＝－3，可得 1＋2d＝－3，解得 d＝－2. 从而 an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知 an＝3－2n， 所以 Sn＝n[1＋23－2n]＝2n－n2. 由 Sk＝－35，可得 2k－k2＝－35， 即 k2－2k－35＝0，解得 k＝7 或 k＝－5. 又 k∈N*，故 k＝7.
3．等差中项 如果 A＝a＋2 b，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．
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变式训练 1
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn＝2SSn－n－1＋1 1 (n≥2)，a1
＝2. (1)求证：S1n是等差数列； (2)求 an 的表达式． (1)证明 方法一 由 Sn＝2SSn－n－ 1＋1 1， 得S1n＝2SSn－n－1＋1 1＝Sn1－1＋2， ∴S1n－Sn1－1＝2，
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方法二 ∵S5S6＋15＝0， ∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
即 2a12＋9da1＋10d2＋1＝0. 故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以 d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤－2 2或 d≥2 2.
探究提高
(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an， d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解 决问题． (2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用， 而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常 用方法．
2013届高考数学一轮复习讲 义：第六章62等差数列及其前
n项和
要点梳理
忆一忆知识要点
1．等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的 差都等于同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这
个常数叫做等差数列的 公差 ，通常用字母 d 表示．
2．等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公 式是 an＝a1＋(n－1)d .
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等差数列的前n项和及综
合应用
例 3 (1)在等差数列{an}中，已知 a1＝20，前 n 项和为 Sn，且 S10＝S15，求当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求出它的最 大值； (2)已知数列{an}的通项公式是 an＝4n－25，求数列{|an|}的前 n 项和．
(1)由 a1＝20 及 S10＝S15 可求得 d，进而求得通项，由通项得到此 数列前多少项为正，或利用 Sn 是关于 n 的二次函数，利用二次函 数求最值的方法求解．(2)利用等差数列的性质，判断出数列从第 几项开始变号．
＋12×2 11×－53＝130.
方法二 同方法一求得 d＝－53.
∴Sn＝20n＋nn2－1·－53＝－56n2＋1265n＝－56n－2252＋3
125 24 .
∵n∈N*，∴当 n＝12 或 13 时，Sn 有最大值，且最大值为 S12＝
S13＝130.
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方法三 同方法一得d＝－53.
又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴当n＝12或13时，Sn有最大值． 且最大值为S12＝S13＝130.
(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，
∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.
所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．
令aann＝ ＋1＝4n4－n2＋5<10－，25≥0，
① ②
由①得n<614；由②得n≥514，所以n＝6.
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即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从 第7项起以后各项构成公差为4的等差数列， 而|a7|＝a7＝4×7－24＝3. 设{|an|}的前n项和为Tn，则 Tn＝2616n＋＋3nn－n2－61＋×n－－642nn－≤76×4 n≥7 ＝－ 2n22－n2＋ 23n23＋n13n2≤n6≥，7.
当 n＝1 时，a1＝2 不适合 an，
2 故 an＝2n－32－22n－72
n＝1 nwenku.baidu.com2.
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等差数列的基本量的计算
例 2 设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列{an}的 前 n 项和为 Sn，满足 S5S6＋15＝0. (1)若 S5＝5，求 S6 及 a1； (2)求 d 的取值范围．
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解 方法一 ∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋102×9d＝15×20＋15×2 14d，∴d＝－53. ∴an＝20＋(n－1)×－53＝－53n＋635.
∴a13＝0，即当 n≤12 时，an>0，n≥14 时，an<0，
∴当 n＝12 或 13 时，Sn 取得最大值，且最大值为 S13＝S12＝12×20
(1)由 S5S6＋15＝0 与 S5＝5 可构建关于 a1，d 的方程组． (2)由 S5S6＋15＝0 可化为关于 a1 的一元二次方程，因为{an} 存在，所以关于 a1 的一元二次方程有解．
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解 (1)由题意知 S6＝－S155＝－3，a6＝S6－S5＝－8. 所以5aa1＋1＋51d0＝d＝－58，. 解得 a1＝7，所以 S6＝－3，a1＝7. (2)方法一 ∵S5S6＋15＝0， ∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0， 即 2a12＋9da1＋10d2＋1＝0. 因为关于 a1 的一元二次方程有解，所以 Δ＝81d2－8(10d2＋1)＝d2－8≥0， 解得 d≤－2 2或 d≥2 2.
∴S1n是以S11即12为首项，以 2 为公差的等差数列．
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方法二 ∵当 n≥2 时，S1n－Sn1－1＝2SSn－n1－＋1 1－Sn1－1 ＝2SSnn－－11＝2， ∴S1n是以S11即12为首项，以 2 为公差的等差数列．
(2)解 由(1)知S1n＝12＋(n－1)×2＝2n－32， ∴Sn＝2n1－32， ∴当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n1－32－2n1－72 ＝2n－32－22n－72；
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变式训练 2
(2011·福建)已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1) 求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值．
解 (1)设等差数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d. 由 a1＝1，a3＝－3，可得 1＋2d＝－3，解得 d＝－2. 从而 an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知 an＝3－2n， 所以 Sn＝n[1＋23－2n]＝2n－n2. 由 Sk＝－35，可得 2k－k2＝－35， 即 k2－2k－35＝0，解得 k＝7 或 k＝－5. 又 k∈N*，故 k＝7.
3．等差中项 如果 A＝a＋2 b，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．
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变式训练 1
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn＝2SSn－n－1＋1 1 (n≥2)，a1
＝2. (1)求证：S1n是等差数列； (2)求 an 的表达式． (1)证明 方法一 由 Sn＝2SSn－n－ 1＋1 1， 得S1n＝2SSn－n－1＋1 1＝Sn1－1＋2， ∴S1n－Sn1－1＝2，
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方法二 ∵S5S6＋15＝0， ∴(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，
即 2a12＋9da1＋10d2＋1＝0. 故(4a1＋9d)2＝d2－8.所以 d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤－2 2或 d≥2 2.
探究提高
(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an， d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解 决问题． (2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用， 而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常 用方法．
2013届高考数学一轮复习讲 义：第六章62等差数列及其前
n项和
要点梳理
忆一忆知识要点
1．等差数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的 差都等于同一个常数 ，那么这个数列就叫做等差数列，这
个常数叫做等差数列的 公差 ，通常用字母 d 表示．
2．等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公 式是 an＝a1＋(n－1)d .
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等差数列的前n项和及综
合应用
例 3 (1)在等差数列{an}中，已知 a1＝20，前 n 项和为 Sn，且 S10＝S15，求当 n 取何值时，Sn 取得最大值，并求出它的最 大值； (2)已知数列{an}的通项公式是 an＝4n－25，求数列{|an|}的前 n 项和．
(1)由 a1＝20 及 S10＝S15 可求得 d，进而求得通项，由通项得到此 数列前多少项为正，或利用 Sn 是关于 n 的二次函数，利用二次函 数求最值的方法求解．(2)利用等差数列的性质，判断出数列从第 几项开始变号．
＋12×2 11×－53＝130.
方法二 同方法一求得 d＝－53.
∴Sn＝20n＋nn2－1·－53＝－56n2＋1265n＝－56n－2252＋3
125 24 .
∵n∈N*，∴当 n＝12 或 13 时，Sn 有最大值，且最大值为 S12＝
S13＝130.
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方法三 同方法一得d＝－53.
又由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0. ∴5a13＝0，即a13＝0. ∴当n＝12或13时，Sn有最大值． 且最大值为S12＝S13＝130.
(2)∵an＝4n－25，an＋1＝4(n＋1)－25，
∴an＋1－an＝4＝d，又a1＝4×1－25＝－21.
所以数列{an}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列．
令aann＝ ＋1＝4n4－n2＋5<10－，25≥0，
① ②
由①得n<614；由②得n≥514，所以n＝6.
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即数列{|an|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从 第7项起以后各项构成公差为4的等差数列， 而|a7|＝a7＝4×7－24＝3. 设{|an|}的前n项和为Tn，则 Tn＝2616n＋＋3nn－n2－61＋×n－－642nn－≤76×4 n≥7 ＝－ 2n22－n2＋ 23n23＋n13n2≤n6≥，7.