(完整版)概率论与数理统计教程(魏宗舒)第七章答案

. 第七章 假设检验

7.1 设总体，其中参数，为未知，试指出下面统计假设中哪2(,)N ξμσ~μ2σ些是简单假设，哪些是复合假设：

（1）； （2）；0:0,1H μσ==0:0,1H μσ=> （3）； （4）；0:3,1H μσ<=0:03H μ<< （5）.

0:0H μ=解：（1）是简单假设，其余位复合假设

7.2 设取自正态总体，其中参数未知，是子样均值，如1225,,,ξξξ (,9)N μμx 对检验问题取检验的拒绝域：

0010:,:H H μμμμ=≠，试决定常数，使检验的显著性水平为0.05

12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥ c 解：因为，故(,9)N ξμ~9

(,

)25

N ξμ~在成立的条件下，

0H 000

53(||)(||53521(0.05

3c

P c P c ξμξμ-≥=-≥⎡

⎤=-Φ=⎢⎥⎣

⎦，所以=1.176。55(

0.975,1.9633

c c

Φ==c 7.3

设子样取自正态总体，已知，对假设检验1225,,,ξξξ 20(,)N μσ2

σ，取临界域，

0010:,:H H μμμμ=>12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=> （1）求此检验犯第一类错误概率为时，犯第二类错误的概率，并讨论它

αβ们之间的关系；

（2）设=0.05，=0.004，=0.05，n=9，求=0.65时不犯第二类错误

0μ2

0σαμ的概率。

解：（1）在成立的条件下，，此时

0H 2

00(,

n

N σξμ~

s

i n

000()P c P αξ=≥=≥，由此式解出1αμ-=010

c αμμ-=

+在成立的条件下，，此时

1H 2

0(,

)n

N σξμ~1011()(P c P αβξμ-=<=<=Φ=Φ=Φ-

由此可知，当增加时，减小，从而减小；反之当减少时，则增

α1αμ-βαβ加。

（2）不犯第二类错误的概率为

10

0.9511(0.650.51(3)0.2

1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ-

=-Φ-=Φ=7.6 设一个单一观测的子样取自分布密度函数为的母体，对考虑统ξ()f x ()f x 计假设：

0011101

201

:():()00

x x x H f x H f x ≤≤≤≤⎧⎧==⎨

⎨

⎩⎩他他他他

试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足，并求其最小2min αβ+=值。

解 设检验函数为

（c 为检验的拒绝域）

1()0x c

x φ∈⎧=⎨

⎩他他

0101011

1

00

1

2()2()

()2[1()]()2[1()]

()2(12())

2(14)()P x c P x c P x c P x c E x E x x dx x x dx x x dx

αβφφφφφ+=∈+∈=∈+-∈=+-=+-=+-⎰⎰⎰要使，当时，2min αβ+=140x -≥()0

x φ= 当时，140x -<()1

x φ=所以检验函数应取，此时，。

114

()1

04

x x x φ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩10722(14)8x dx αβ+=+-=⎰7.7 设某产品指标服从正态分布，它的根方差已知为150小时。今由一批产

σ品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时?

解 总体，对假设，，采用U 检验法，在为真时，

2(,150)N ξμ~0:1600H μ=0H

检验统计量

1.2578

u =

=临界值1/20.975 1.96

u u α-==，故接受。

1/2||u u α-<0H 7.8 某电器零件的平均电阻一直保持在2.64，根方差保持在0.06，改变

ΩΩ加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为2.62，根方差不变，问新工艺

Ω对此零件的电阻有无显著差异？去显著性水平=0.01。

α解 设改变工艺后电器的电阻为随机变量，则未知，，ξE ξμ=2(0.06)D ξ=假设为 ，统计量

0: 2.64H μ=

A

3.33u =

=-由于，故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显著差异。

1-/20.995 2.10||u u u α==<7.9（1）假设新旧安眠药的睡眠时间都服从正态分布，旧安眠剂的睡眠时间

,新安眠剂的睡眠时间，为检验假设

2(20.81.8)N ξ:，2()N ημσ:，01:23.8:23.8

H H μμ=<从母体取得的容量为7的子样观察值计算得

η 24.2x =*2 5.27n

s =由于的方差未知，可用t 检验。

η2σt 0.461

=

=

= 0.10a =取0,10(71) 1.4398t t

-=-<所以不能否定新安眠药已达到新的疗效的说法。

（2）可以先检验新的安眠剂睡眠时间的方差是否与旧的安眠剂睡眠时间

η的方差一致，即检验假设

ξ。

220:(1.8)H σ=用-检验，

2χ*2

22

2

(1)6 5.27

9.76(1.8)

n

n s χσ-⨯=

=

=。取2

20.060.05=(6)=1.635(6)=12.592

αχχ0.10，，

2220.060.05(6)(6)

χχχ<<所以接受,不能否认方差相同。如认为的方差0H ξη和η2

σu 0.18

=

=