贪心与归纳算法

【改进】 在原算法基础上进行改进。下面给出新的算法： 1. 建立集合P={m..n} 2. 从n div 2到m每数构造一个集合c[i]，包含该数在P中的所 有倍数（不包括i本身） 3. 从n div 2起找到第一个元素个数最少但又不为空的集合c[i] 4. 在d分值中加上i 5. 把i及c[i]集合从P集中删除，更新所有构造集合的元素 6. 检查所有构造集合，若还有非空集合，则继续3步骤，否 则打印、结束
与判断素数原理一样，对于一个数n，要求 其因子，只需求枚举到sqrt(n)即可，如果X是n 的因子，那么 n div x 也是n的因子。 求数n的所有因子的一种方法： for i:=1 to trunc(sqrt(n)) do if n mod i = 0 then begin writeln(i); writeln(n div i); end;
分析：
x
X
a0 最大公约数 a1
b0 最小公倍数 b1
则 x必须（1）整除a1；（2）是b1的因子 （3）gcd(x,a1)=a1 (4) x*b0/gcd(x,b0)=b1 枚举x，满足上述四个条件，统计个数。X比较显 然的范围为a1到b1. 问题： b1≤2,000,000,000，而x是b1的因子，问 题归约为如何比较快地求b1的所有因子？
算法伪代码：
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设原数长度N，删除D位数 D := N - D;{留下数位数} Stack[0] := Chr(58);{字符9} Top := 1; For i := 1 to N do Begin 取出第i位数字C While (C > Stack[Top - 1]) And (Top + N - i > D) do Dec(Top);{如果当前位数字大于前面数字且已保留数位个数与剩 余数个数和大于需留下数位的个数，则删除前面的数字} Stack[Top] := C; Inc(Top) End; For i := 1 to D do Write(Stack[i])
样例输入： (1) 1 10 (2) 56 57 样例输出： (1) 5:12346789 4:123679 2:1379 3:17 1: (2) 0
【分析】 初看这一问题，很容易想到用贪心策略来求解，即选择 集合中最大的可以删除的数开始删起，直到不能再删除为止， 而且通过一些简单的例子来验证，这一贪心标准似乎也是正 确的，例如，当m=3，n=10时，集合P＝{3,…,10}，运用上 述“贪心标准”可以得到这一问题的正确的最优解d=5＋4＋ 3＝12，即其d-规则过程如下： 原集合：P={3,4,5,6,7,8,9,10} 1. a=5 P={3,4,6,7,8,9} d=5 2. a=4 P={3,6,7,9} d=5+4=9 3. a=3 p={7} d=5+4+3=12
问题1：集合删数简述
问题由两个子问题组成： （1） 构造一个多位数：1是集合元素；若P是集 合的元素，则2 * P +1，4*P+5也是集合的元素，取 出此集合中最小的K个元素，按从小到大的顺序组合 成一个多位数 （2）从多位数中删除M个数位上的数字，使得剩 下的数字最大
（1）分析集合元素特点：若P是集合的元素，则 2 * P +1，4*P+5也是集合的元素 ，即生成集合元 素的函数是单调递增的。 将2 * P +1与4*P+5产生的元素分成两个集合， 每次取两集合中最小的一个元素，显然只需比较 两集合中当前未被取走的第一个元素。 引入指针概念：设TOP1指向 2 * P +1当前未 被取走的第一个元素，TOP2指向4*P+5当前未被 取走的第一个元素。
题意简述： 给出a0，a1，b0，b1，求满足与a0的大公约为 a1，与b0的小公倍是b1的数的个数。 同时给出n组数据。 【数据范围】 对于 50%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0， b1≤10000且 n≤100。 对于 100%的数据，保证有 1≤a0，a1，b0， b1≤2,000,000,000且 n≤2000。
但是，如果再仔细地分析一个例子，当m=3，n ＝18时，如果还是使用上述“贪心标准”，则得到 问题的d-规则总分为d=35，其d-规则序列为 （9,8,7,6,5），而实际上可以得到最大d-规则总分 为d＝38，其对应的d-规则序列为（9,8,7,6,3,5）。 为什么会出现这样的反例呢？这是因为，问题 中要使得d-规则总分d值越大，不光是要求每一个d 分值越大越好，也要求取得的d分值越多越好。 因此，本题不能采用纯粹的贪心策略求解。
贪心算法
• 所谓贪心算法是指，在对问题求解时， 总是做出在当前看来是最好的选择。也就是 说，不从整体最优上加以考虑，他所做出源自文库 仅是在某种意义上的局部最优解。 • 贪心算法不是对所有问题都能得到整体 最优解，但对范围相当广泛的许多问题他能 产生整体最优解或者是整体最优解的近似解。
• 贪心算法的基本思路如下： • 1.建立数学模型来描述问题。 • 2.把求解的问题分成若干个子问题。 • 3.对每一子问题求解，得到子问题的局部 最优解。 • 4.把子问题的解局部最优解合成原来解问 题的一个解。 • 实现该算法的过程： • 从问题的某一初始解出发； • while 能朝给定总目标前进一步 do • 求出可行解的一个解元素； • 由所有解元素组合成问题的一个可行解；
关键词：队
比较TOP1，TOP2指向的元素，取最小的一 个，将取走元素队列的指针指向下一个元素。
例：生成5元素的集合数。 1 3 7 9 15 2 * P +1：3 7 15 19 4*P+5：9 17 33 41
a:=1; b:=1; p[1]:=1; For i:=2 to n do begin x:=p[a]*2+1; y:=p[b]*4+5; if x<=y then begin if x=y then inc(b); p[i]:=x; inc(a); end else begin p[i]:=y; inc(b); end; end;
2、d-规则问题。 对任意给定的m(m∈N+)和n(n∈N+)，满足 m<n，构造一初始集合： P={x|m≤x≤n,x∈N+}(m,n≤100) 现定义一种d规则如下：若存在a∈P，且 存在K∈N+ ,K>1，使得Ka∈P，则修改P为： P=P-{y|y=ka,s∈N+ } ，并称该d规则具有分 值a。现要求编制一个程序，对输入的m,n值， 构造相应的初始集合P，对P每应用一次d规 则就累加其相应的分值，求能得到最大累加
辗转相除求最大公约数： 写法1： Function gcd(a, b : longint) : longint; begin if a mod b = 0 then exit(b); exit(gcd(b, a mod b)); end; 写法2： function gcd(m, n: longint): longint; var r: longint; begin while n <> 0 do begin r := m mod n; m := n; n := r; end; gcd := m; end;
复习： 1、模拟算法的核心思想：按问题描述的过 程编程解决问题，关键点为审题，理清解 决问题的步骤。
2、枚举算法分析步骤：（1）确定枚举对 象；（2）确定枚举范围；（3）剪枝提高 效率。
Noip2009 Hankson的趣味题
【问题描述】
Hanks 博士是 BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家， 他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。 今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1和 c2 的 最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟 练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和 “求公倍数”之类问题的“逆问题” ，这个问题是这样的： 已知正整数 a0,a1,b0,b1，设某未知正整数 x 满足： 1． x 和 a0 的最大公约数是 a1； 2． x 和b0 的最小公倍数是 b1。 Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 x。但 稍加思索之后，他发现这样的 x 并不唯一，甚至可能不存 在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。 请你帮助他编程求解这个问题。
讨论： • 能否证明此贪心策略是正确的？ • 能否找到其他更好的算法？
归纳策略
归纳法的基本思想
• 归纳法的基本思想是通过列举少量的特 殊情况，经过分析，最后找出一般的关系。 从本质上讲，归纳就是通过观察一些简单 而特殊的情况，最后总结出有用的结论或 解决问题的有效途径。
归纳法解题的过程
主体程序： for i := 1 to n do begin readln(a0, a1, b0, b1); {读入每组数} ans := 0; for j := a1 to trunc(sqrt(b1)) do{枚举可能值} if b1 mod j = 0 then begin{求满足条件（2）b1的因 子} k := b1 div j; if j mod a1 = 0 then ans := ans + Ord((gcd(j div a1, a0 div a1) = 1) and (b0 div gcd(j, b0) * j = b1)); {满足条件（1），同时满足条件（3）、（4）} if (j <> k) and (k mod a1 = 0) then ans := ans + Ord((gcd(k div a1, a0 div a1) = 1) and (b0 div gcd(k, b0) * k = b1)); end; writeln(ans); end;
问题A:
集合删数
问题描述： 一个集合有如下元素：1是集合元素；若P是集合的元素， 则2 * P +1，4*P+5也是集合的元素，取出此集合中最小的K个元 素，按从小到大的顺序组合成一个多位数，现要求从中删除M个 数位上的数字，使得剩下的数字最大，编程输出删除前和删除后 的多位数字。 注：不存在所有数被删除的情况` 输入格式： 输入的仅一行，K，M的值，K，M均小于等于30000。 输出格式： 输出为两行，第一行为删除前的数字，第二行为删除后的数 字。 样例输入： 5 4 样例输出： 137915 95
下面看m=3, n=18时的推演过程： 1. 初始P={3..18} 2. 找到i=9, c[i]={18}, P={3..8,10..17} 3. 找到i=8, c[i]={16}, P={3..7,10..15,17} 4. 找到i=7, c[i]={14}, P={3..6,10..13,15,17} 5. 找到i=6, c[i]={12}, P={3..5,10,11,13,15,17} 6. 找到i=3, c[i]={15}, P={4,5,10,11,13,17} 7. 找到i=5, c[i]={10}, P={4,11,13,17} 到此所有构造集合全部为空，d=9+8+7+6+3+5=38
（2）分析
1.高位越大越好; 2.因为数据很大,边取数字边处理，处理原 则是当前数留下，还是取代前面数留下。 如：13751967 留下2位数 1 3 751 96 97
3.当前数能否作为剩余序列的最高位？能， 则删除前面比自己小的数。 当前数是否取代前面留下的数的条件为： (1)当当前数大于前面数时; (2)总体保留位数（末删除数个数+末读入数 个数）大等于需留下的位数时； 删除前面保留的数
问题简述：
P为由m到n自然数组成的集合，如果P集 合中存在某元素a和该元素的倍数构成的元素 k*a，则从P中删去a和a倍数的元素，获得一个 a分值，称为运用一次d规则，不断运用d规则， 每运用一次d规则，累加一次a分值，求最大累 加分值的d规则序列。 输出每次使用d规则时的分值和集合p的变 化过程。