韦达定理、判别式与二次函数 专题辅导

韦达定理、判别式与二次函数

王万军

一元二次方程是二次函数的函数值等于零时的特殊

情况。有些二次函数问题，可以利用一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）来解答；一元二次方程根的分布，可以利用二次函数图象直观判定；二次函数的图象与x轴交点、图象的位置，也可以用判别式判断。

对于一元二次方程和二次函数，设。

（1）当△>0时，方程有两个不等实数根，函数图象与x轴有两个不重合的交点（）、（）。

（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根，函数图象与x轴有唯一交点，即图象与x轴相切。

（3）当△<0时，方程无实数解，函数图象与x轴无交点，若a>0，则图象在x轴上方，若a<0，则图象在x轴下方。

例1. 已知抛物线轴交于点A（α，0）和B（β，0），且，求k的值。

解：由题意，α、β是方程的两根，所以。

评注：这是一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）在二次函数中的应用，解二次函数中的有关参数问题，首先考虑的方法就是韦达定理法。

例2. 已知抛物线与x轴的两个交点在点（1，0）两旁，试判断关于x的方程

的根的情况。

解：设抛物线与x轴两个交点的坐标为。

则有。

由题意得

∴此方程无实数根。

例3. 二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为（）

A. 6

B. 4

C. 3

D. 1

解：设

例4. 设，求证：方程有两个不等实数根，并且有一根在a与b 之间，另一根在b与c之间。

证明：构造函数

当时，；

当时，；

当时，

经整理，函数即

这是一个图象开口向上的二次函数。

不妨设，，则其大致图象如下图所示。

显见函数图象与x轴的交点一个在a与b之间，另一个在b与c之间，即方程

有两个不等实数根，且一根在a与b之间，另一根在b与c之间。

例5. 已知方程，其中k为实数且，不解方程

证明：方程的一个根大于1，另一个根小于1。

分析：对二次函数，

当时，若时，，

则其图象与x轴两交点的横坐标满足；当时，若时，，

有，这些结论画出图象显而易见。

证明：构造函数。

显然当。

故一元二次方程，

即，一个根大于1，另一个根小于1。