《理论力学》张功学 第2章解析

用，F=20 kN，刚架高度 h=4 m，跨度l=8 m，不计刚架自重。
求支座A、D的约束反力。 解：选取刚架ABCD为研究对象。作用在刚架上的力有：
已知力F水平向右；可动铰支座D的约束反力FD垂直向上；根
据三力平衡汇交定理，力F与FD相交于C点，所以铰支座A 处的约束反力FA必沿A、C连线方向。刚架受力情况如图2-2 (b)所示，为一平面汇交力系。
铰接，并用铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，
并忽略摩擦与滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。 解：(1) 取研究对象。由于忽略各杆的自重，因此AB、 BC两杆均为二力杆。假设杆AB承受拉力，杆BC承受压力，如 图2-8(b)所示。这两个未知力可通过求两杆对滑轮的约束反力
来求解。因此，选择滑轮B为研究对象。
汇交力系，各力作用于同一点的力系称为平面共点力系，
共点力系是汇交力系的特殊情形。设某刚体受一平面汇交力 系作用(如图2-1(a)所示)，根据力的可传性定理，可将各力沿 其作用线移至汇交点A，形成一等效的共点力系(如图2-1(b) 所示)。
第2章
平面基本力系
图
2-1
第2章
Hale Waihona Puke 平面基本力系为合成此力系，可根据力的平行四边形法则，两两逐步 合成各力，最后得到一个通过汇交点A的合力FR(如图2-1(b) 所示)。用此方法可求平面汇交力系的合力，但求解过程比较 繁琐。 用力多边形法则可比较简单地求出平面汇交力系的合力。
第2章
平面基本力系
图 2-2
第2章
平面基本力系
刚架ABCD处于平衡状态，根据平面汇交力系平衡的几何 条件，作用在ABCD上的三个力应构成一个自行封闭的力三角 → 形。选定任一点a为起点，按照一定比例画出矢量 ab 代表力F， 再由点b作直线平行于FD，由点a作直线平行于FA，两直线相 交于点c，如图2-2(c)所示。由力三角形abc即可确定出FD和FA
平面基本力系
若已知力F在直角坐标轴上的投影Fx、Fy，可由下式确定 力F的大小和方向：
F Fx2 Fy2 Fy t an Fx 式中, α为力与x轴正向的夹角。
(2-4)
必须指出，投影和分力是两个不同的概念。分力是矢量， 投影是代数量；分力与作用点的位置有关，而投影与作用点 的位置无关；它们与原力的关系分别遵循不同的规则，只有 在直角坐标系中，分力的大小才与在同一坐标轴上投影的绝
处均为光滑铰链联接。试求托架D、B处的约束反力。
解：(1) 取研究对象。为了求托架D、B两处的约束反力， 将容器与托架一起作为研究对象，如图2-6(b)所示。
第2章
平面基本力系
图 2-6
第2章
平面基本力系
(2) 画出受力图。由于杆BC为二力杆，它对托架的约束反 力FB沿C、B两点的连线方向，与W的作用线交于O点，根据
任取一点a为起点，先作力三角形，求出F1与F2的合力FR1，
再作力三角形合成FR1与F3，得合力FR2，最后合成FR2与F4, 得合力FR，如图2-1(c)所示。多边形abcde称为此平面汇交力 → 称为力多边形的封闭边。封闭边矢量 系的力多边形，矢量 ae → ae 即表示此汇交力系的合力FR，合力的作用线仍通过原汇交 点A，如图2-1(b)中的FR。以上求汇交力系合力的方法，称为
tan
FRy FRx
F F
iy ix
(2-7)
第2章
平面基本力系
图 2-5
第2章
平面基本力系
2.2.4
平面汇交力系的平衡方程
由上一节可知，平面汇交力系平衡的充分必要条件是： 该力系的合力为零。由式(2-6)可得
( Fix ) ( Fiy ) 0
2 2
欲使上式成立，必须同时满足
压块C对工件和地面的压力与FCx、FCy等值反向。所以， 压块对工件和地面的压力分别为11.25 kN、1.5 kN，杆AB所受
的压力为11.35 kN。
第2章
平面基本力系
图 2-7
第2章
平面基本力系
例2-4
如图2-8(a)所示，重为W=20 kN的物体，用钢丝
绳挂在支架上，钢丝绳的另一端缠绕在绞车D上，杆AB与BC
2.2.3
平面汇交力系合成的解析法
根据合力投影定理，分别求出合力在x、y轴的投影FRx和 FRy，由投影与分力的关系可确定出合力沿x、y轴方向的分力 分别为FRx、FRy，由图2-5可知，合力FR的大小为
2 2 FR FRx FRy (Fix ) 2 (Fiy ) 2
(2-6)
合力的方向可由合力矢与x轴的夹角α决定:
第2章
平面基本力系
(2) 画受力图。滑轮受到钢丝绳的拉力F1和F2(F1=F2=W)。 此外, 杆AB和BC对滑轮的约束反力为FBA和FBC。由于滑轮的
大小可以忽略不计，因此作用于滑轮上的力构成平面汇交力
系，如图2-8(c)所示。 (3) 列平衡方程。选取坐标系Bxy如图2-8(c)所示。为避免
解联立方程组，坐标轴应尽量取在与未知力作用线相垂直的
由式(2-3)可以看出，力在坐标轴上的投影是代数量。当 力F与坐标轴平行(或重合)时，力在坐标轴上投影的绝对值等
于力的大小，力的指向与坐标轴正向一致时，投影为正，反
之为负；当力与坐标轴垂直时，力在坐标轴上的投影为零。 力在坐标轴上的投影与力的大小和方向有关，而与力的作用
点或作用线的位置无关。
第2章
力多边形法则。
第2章
平面基本力系
若任意改变各分力矢的作图顺序，可得到形状不同的力 多边形，但其合力矢的大小、指向均不变，如图2-1(d)所示。
结论：平面汇交力系可合成为一合力，合力的大小、方
向由各分力矢的矢量和所决定，合力的作用线通过汇交点， 即有 FR=F1+F2+…+Fn=
Fi
i 1
n
(2-1)
若刚体受F1，F2，…，Fn构成的汇交力系的作用，由汇交力 系的合成结果有
FR=F1+F2+…+Fn=∑Fi
第2章
平面基本力系
图 2-4
第2章
平面基本力系
将上式分别向两个坐标轴上投影，可得
F F1x F2 x Fnx Fix Rx FRy F1 y F2 y Fny Fiy
闭。反之，如果力多边形自行封闭, 则合力为零，汇交力系必 然平衡。可见，平面汇交力系平衡的充要几何条件是力系的
力多边形自行封闭，即力系的合力为零。
FR=
Fi=0
i 1
n
(2-2)
第2章
平面基本力系
下面举例介绍怎样用几何法求解平面汇交力系平衡问题。 例2-1 门式刚架如图2-2(a)所示。在B点受一水平力F作
的大小。
在力三角形中，线段ac和bc的长度分别表示力FA和FD的 大小，量出它们的长度，按比例换算可得FA=22.5 kN，FD= 10 kN，用量角器可量得θ=26.5°。
第2章
平面基本力系
通过三角函数关系亦可求得θ、FA、FD的大小为 tanθ=
1 ,θ=26°34′ 2
F FA= =22.4 kN, FD=F tanθ=10 kN cos
上投影的代数和，此即合力投影定理。
(2-5)
上式说明，合力在任意轴上的投影等于诸分力在同一轴 既然合力投影与分力投影之间的关系对于任意轴都成立， 那么，在应用合力投影定理时，应注意选择合适的投影轴， 尽可能使运算过程简便。也就是说，选择投影轴时，应使尽 可能多的力与投影轴垂直或平行。
第2章
平面基本力系
Fix 0 F 0 iy
(2-8)
即刚体在平面汇交力系作用下处于平衡状态时，各力在两个 坐标轴上投影的代数和同时为零。这就是平面汇交力系平衡
的解析条件，式(2-8)称为平面汇交力系的平衡方程。
第2章
平面基本力系
平面汇交力系有两个独立的平衡方程，能求解而且只能 求解两个未知量，它们可以是力的大小，也可以是力的方向，
l=1500 mm。试求压块C对工件与地面的压力，以及杆AB所受 的压力。 解： 分析：根据作用与反作用关系，压块对工件的压力与工
件对压块的约束反力FCx等值、反向。而油缸的总压力作用在
活塞上，因此要分别研究活塞杆DB和压块C，才能解决问题。
第2章
平面基本力系
(1) 选择活塞杆DB为研究对象。设二力杆AB、BC均受压 力。活塞杆的受力如图2-7(b)所示。按图示坐标系列出平衡方
程如下：
Fx 0 , Fy 0 ,
解得
FBA cos FBC cos 0 FBA sin FBC sin F 0
FBA FBC
F 11.35kN 2 sin
第2章
平面基本力系
(2) 再选压块C为研究对象。压块C的受力情况如图2-7(c) 所示。由二力杆BC的平衡可知FCB=FBC。按图示坐标系列平衡
三力平衡汇交定理，D处的约束反力FD必通过O点。作出受力
图如图2-6(b)所示。由几何关系很容易得到
sin cos
1 2
;
sin
1 5
;
cos
2 5
第2章
平面基本力系
(3) 列平衡方程。三力作用线汇交于O点，建立直角坐标 系Dxy，如图2-6(b)所示。根据平衡条件，有
ΣFix 0, FD cos FB cosα0 ΣFiy 0, FD sin FB sinαW 0
(4) 解方程组。求解以上方程组，并考虑到几何关系，
可得
FB 2 2W FD 5W
第2章
平面基本力系
例2-3
在图2-7(a)所示的压榨机构中，杆AB和杆BC的长
度相等，自重忽略不计。A、B、C处均为光滑铰链联接。已
知活塞D上受到油缸内的总压力为F=3 kN，h=200 mm，
由例2-1可以看出，用几何法求解平面汇交力系的合成与 平衡问题简单明了，对于三个汇交力的平衡问题还可用三角 函数关系求出其精确解；而对于多力平衡问题，用几何法难 以求出其精确解，累积误差较大；对第4章将要讲述的空间汇 交力系的平衡问题，更是难以在纸上作出力多边形。所以， 在实际应用中，多用解析法求解平面汇交力系的合成与平衡 问题。
但一般不以力的指向作为未知量，在力的指向不能预先判明
时，可先任意假定，根据平衡方程进行计算。若求出的力为 正值，则表示所假定的指向与实际方向一致；若求出的力为 负值，则表示假定的指向与实际指向相反。
第2章
平面基本力系
例2-2
水平托架支承重量为W的小型化工容器，如图
2-6(a)所示。已知托架AD长为l，角度α=45°，又D、B、C各
对值相等。
第2章
平面基本力系
2.2.2
合力投影定理
设刚体受F1、F2两个汇交力作用，用力的平行四边形法
则可求出其合力FR(如图2-4(a)所示)。在其作用面内任取直角
坐标系Oxy，并将力F1、F2及FR分别向x轴投影，根据合矢量 投影定理可得
FR x F1x F2 x F F F 1y 2y Ry
方程如下:
Fx 0 , Fy 0 ,
FCx FCB cos 0 FCB sin FCy 0
第2章
平面基本力系
解得
F Fl FCx FCB cos cot 11.25kN 2 2h F F sin F 1.5 kN Cy CB 2
第2章
平面基本力系
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.2.1 力的投影及其求法
如图2-3所示，若已知力F的大小为F，它与x、y轴的夹角
分别为α、β，则F在x、y轴上的投影分别为
Fx F cos Fy F cos
(2-3)
第2章
平面基本力系
图 2-3
第2章
平面基本力系
第2章
平面基本力系
第2章
平面基本力系
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2.3 平面力对点之矩 2.4 平面力偶理论 思考题 习题
第2章
平面基本力系
2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法
平面力系中，各力的作用线汇交于一点的力系称为平面
方向，这样，一个平衡方程中只有一个未知量，即
第2章
平面基本力系
2.1.2
平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系对刚体的作用效果与其合力一致，要使刚 体在汇交力系作用下平衡，则力系的合力必须为零。由力的 多边形法则可知，汇交力系的合力是由其力多边形的封闭边 表示的，要使合力等于零，则力多边形最后一个力的末端必
须与第一个力的始端相重合，这种情况称为力多边形自行封