计算机控制系统经典设计方法——模拟控制器的离散化方法

z e sT
K z ( z e z1T )(z e z2T )( z e zmT ) nm D( z )＝ ( z 1 ) ( z e p1T )(z e p2T )( z e pnT )
模拟控制器的离散化方法（续十三）
例7.9 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用双线性变化法求数字控制器D(z)。 【答案】
模拟控制器的离散化方法（续五）
一阶后向差分:
D( z ) D( s )
1 z 1 s T
U ( s) 1 D( s ) E ( s) s
u (kT ) u[(k 1)T ] Te(k )
一阶向后差分的s与z替换关系是 z变量与s变量关系的一种近似
图7-22 后向差分矩形积分法
模拟控制器的离散化方法（续二）
2. 加零阶保持器的Z变换法（阶跃响应不变法或保持Z变换法）
基本思想：用零阶保持器与模拟控制器相串连，然后再进行Z变换离散化成数字控 制器。要求脉冲传递函数和连续传递函数的单位阶跃输出响应在采样时刻相等。
-
图7-21 阶跃响应不变法
1 1 G (s) -1 Z G ( s ) D ( z ) ( 1 z ) Z s 1 - z -1 s 1 e Ts 或者D( z ) Z G ( s) s D( z )
图7-27 双线性变换的映射关系
图7-28 双线性变换的频率关系
模拟控制器的离散化方法（续十二）
5. 零极点匹配法
基本思想：将D(s)的极点（s=-pi）和有限零点（s=-zi）都按z=eTs的 映射关系，一一对应地变换为D(z)的极点z=e-Tpi和零点z=e-Tzi,其中T 为采样Leabharlann Baidu期。
K s ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) D( s)＝ ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
s与z的关系是双线性函数，即
s
2 z 1 2 1 z T z 1 T 1 z 1
1
T s 2 z T 1 s 2 1
模拟控制器的离散化方法（续十一）
双线性变换法 特点及应用
D(s)稳定，D(z) 一定稳定； 双线性变换是一对一映射，保证了离散频率特性不产生频 率混叠现象，但产生了频率畸变（见图7-28）； 双线性变换后稳态增益不变； 比较适合工程上应用的一种方法； 由于高频特性失真严重，主要用于低通环节的离散化。
【答案】
aT D( z ) 1 1 aT z
例7.8 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用前向差分求数字控制器D(z)。 【答案】
aT D( z ) z (aT 1)
模拟控制器的离散化方法（续十）
4. 双线性变换法(Tustin变换法)
D( z ) D( s)
s 2 z 1 T z 1
模拟控制器的离散化方法（续四）
3. 差分变换法
基本思想：模拟控制器若用微分方程的形式表示，其导数可用差分近似。 常用的一阶差分近似方法有：前（正）向差分和后（反）向差分。
后向差分
du (t ) u (k ) u (k 1) dt T
前向差分
du (t ) u (k＋1) u (k ) dt T
这种方法相当于数学的梯形面积积 分法，即以梯形面积近似代替积分
D( s ) U ( s) 1 du(t ) e(t ) u (t ) e(t )dt 0 E ( s) s dt
t
图7-26 梯形积分法
T u (k ) u (k 1) e(k ) e(k 1) 2
a D( z ) 2 1 z 1 a 1 T 1 z
例7.10 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用零极点匹配法求数字控制器
D(z)。
【答案】
1 e aT ( z 1) D( z ) 2 z e aT
模拟控制器的离散化方法（续十四）
表7-3 G(s)=a/(s+a)的等效脉冲传递函数G(z)
模拟控制器的离散化方法（续八）
D(s)稳定， D(z) 不一定稳定；若 D(s)有离虚 轴较远的点，只有缩小采样周期T才有可能 稳定； D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。
前向差分变换法特点
图7-25 前向差分法的映射关系
模拟控制器的离散化方法（续九）
例7.7 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用后向差分求数字控制器D(z)。
模拟控制器的离散化方法（续三）
例7.6 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用保持Z变换法求 数字控制器D(z)。
【答案】
1 z－ （ 1 e aT） D( z ) aT 1 1 e z
u (k ) ?
D(s)稳定，D(z)稳定；
保持Z变换法特点
D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应。
一阶前向差分:
D( z ) D(s)
s
z 1 T
U ( s) 1 D( s ) E ( s) s
u[(k 1)T ]＝u (kT ) Te(k )
一阶向前差分的s与z替换关系是 z变量与s变量关系的一种近似
图7-24 前向差分矩形积分法
ze
sT
1 sT
z 1 s T
ze
sT

1 e sT
1 1 sT
1 z 1 s T
模拟控制器的离散化方法（续六）
D(s)稳定，D(z)稳定；
后向差分变换法特点
D(z)不能保持D(s)的脉冲响应和频率响应；
D(s)不稳定，D(z)稳定吗？
图7-23 后向差分法的映射关系
模拟控制器的离散化方法（续七）