材料力学 第七章弯曲剪应力(3,4,5)

(3) 翼缘上的切应力
翼缘横截面上平行于 剪力FS的切应力在其上、 下边缘处为零(因为翼缘的 上、下表面无切应力)，可 见翼缘横截面上其它各处 平行于FS的切应力不可能 大，故不予考虑。分析表 明，工字形截面梁的腹板 承担了整个横截面上剪力 FS的90%以上。
F* N2
自由边 t1 t1
A* F* dx
Iz=65 586 cm4和Iz/S * z,max=47.73cm。d=12.5mm
例题 4-13
tmax

FS
,max
S
* z ,max
Izd

FS,max

Iz S*
z ,max
d

75103 N 47.73 102m 12.5 103m
12.6 106 Pa 12.6 MPa
b
2
h

在中性轴处：
t max

FS
S
* z ,max
Izd

FS Izd
b

2
h



d 2

h 2


2


对于轧制的工字钢，上式中的 Iz就是型钢表 中给出的比值 ，此I值x 已把工字钢截S面z*,ma的x 翼缘厚 度变化和圆角等考虑S在x 内。

FS,max

Iz S*
z ,max
d

75103 N 47.73 102m 12.5 103m
12.6 106 Pa 12.6 MPa
例题 4-13
2. 求ta ta
其中：

FS
,max
S
* za
Izd
S
* za

166
mm

21
mm
560 mm 2
腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了 截面上的大部分弯矩。
对于标准工字钢梁：
t max
*
F SS zmax Izb

FS
b
Iz
/
S* Z max
在翼板上：
FN I
A* sⅠdA
My dA
I A* z
FN
M Iz
ydA
A*

M Iz
Sz*
FN II
s max

Mmax Wz

37.5 103 N m 237 106 m3
158106 Pa 158 MPa [s ]
例题 4-14
2. 校核切应力强度。 荷载移至紧靠支座A处(图d)时 梁的剪力为最大。此时的约束力FA≈F，相应的剪力 图如图e所示。FS,max=FA=30kN 对于20a号钢，由型钢规格表查得：
q 20kN / m
A
Bd
4m
解： FS max 40kN,
ql 2 M max 8 40 kN m
由正应力强度条件： s max
即40 103
p d 3 / 32

160106
A

M max [s ]
Wz
q 20 kN / m
得 d 137 mm
4m
由剪应力强度条件：40kN
Iz S*
z ,max
17.2cm,
d 7mm
例题 4-14
(e)
于是有
tmax

21
mm 2

940 103 mm3
于是有：
ta

75 103 N 940 106 m3 65586 108 m4 12.5 103 m
8.6106 Pa 8.6 MPa
例题 4-13
腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。
tmax
S* z ,max

t
Izb
式中，[t ]为材料在横力弯曲时的许用切应力。
二.工字形截面梁的剪应力
翼缘
在腹板上：
b
hH
腹板
y
B
在翼缘上，有平行于FS的剪应力分量，分布情况 较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。
在翼缘上，还有垂直于FS方向的剪应力分量，它 与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。
N1
u

但是，如果从长为dx的梁段 中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如 图所示包含翼缘自由边在内的分离 体就会发现，由于横力弯曲情况下 梁的相邻横截面上的弯矩不相等， 故所示分离体前后两个同样大小的 部分横截面上弯曲正应力构成的合 力FN*1 FN*2
和 不相等，因而铅垂的纵截
面上必有由切d F应S 力 Ft1N*′2构成FN的*1 合力。
(a) 横截面上与y轴相交的 各点处切应力为零；
(b) y轴两侧各点处的切应 力其大小及指向均与y轴对 称。
薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力tmax
在中性轴z上，半个环形截面的面积A*=pr0，其
形心离中性轴的距离(图b)为2r0 ，故求tmax时有
S
* z

π
r0
2r0 π

π
2r02
整个环形截面对于中性 轴z的惯性矩Iz可利用整个截 面对于圆心O的极惯性矩得 到，如下：
Ip
2
A
d
A

2π
r0

r02

2π
r03
及
Ip
2d A
A
A
y2 z2 d A
y2 d A
A
z2 d A
A
Iz Iy 2Iz
得出：
Iz

1 2
t
t
y
FNⅠ
FNII
z
y
A*
y
y A*
dFS
FNⅠ
y A*
FNII
FNI A* sⅠdA
A*
M y1 dA Iz

M Iz
A*
y1 dA

M Iz
Sz*
FNⅡ A* (s Ⅱ)dA
A*
(M
dM ) y1 dA Iz

M
dM Iz
A*
y1 dA

M
dM Iz
§5.7 梁的切应力
2.公式推导 (1) 取微段dx
mn
M
tt
FS
FS
b
h
z
y y
M+dM
FS
s1 m dx n
s2
M
F x
§7-3 弯曲剪应力和强度校核
一.矩形截面截面梁的剪应力
b
s My
Iz
mn
h
Oz y
zM
y
tt
M+dM
FS
FS
y
s1 m dx n
s2
假设
在hb的情况下
1.t的方向都与 FS 平行 2.t 沿宽度均布。
8.6106 Pa 8.6 MPa
例题 4-13
腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。
tmax
例题 4-14
一简易吊车的示意图如图a所示，其中F=30 kN，跨 长 l=5 m。吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯曲
正应力[s]=170 MPa，许用切应力[t]=100 MPa。试
校核梁的强度。
切应力t1，而且它是随u按线性
规律变化的。
思考题: 试通过分析说明，图a中
所示上、下翼缘左半部分 和右半部分横截面上与腹 板横截面上的切应力指向 是正确的，即它们构成了 “切应力流”。
例题 4-13
由56a号工字钢制成的简支梁如图a所示，试求
梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹 板上a点处(图b)的切应力t a 。不计梁的自重。

b

h 2


2



h 2


y d

h 2



y

y

2




b
2
h

Fra Baidu bibliotek

d 2

h 2


2

y
2


可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向 按二次抛物线规律变化。
(2) 在腹板与翼缘交界处：
t min

FS Izd
S* z
FN II FN I t bdx
即：M
dM Iz
S
* z

M Iz
S
* z
tbdx
t

S
* z
dM
Izb dx
结论：
t

FS
S
* z
Izb
§5.7 梁的切应力
3.切应力分布规律
t

FS
S
* z

FS
h2 (
y2)
I zb 2I z 4

6FS bh3
h 2 4
3. 薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁在竖直平面
内弯曲时，其横截面上切应力 的特征如图a所示：
(1) 由于d <<r0，故认为切应
力t 的大小和方向沿壁厚 无变
化； (2) 由于梁的内、外壁上无切
应力，故根据切应力互等定理 知，横截面上切应力的方向与 圆周相切；
(3) 根据与y轴的对称关系 可知：
例题 4-13
2. 求ta ta
其中：

FS
,max
S
* za
Izd
S
* za

166
mm

21
mm
560 mm 2

21
mm 2

940 103 mm3
于是有：
ta

75 103 N 940 106 m3 65586 108 m4 12.5 103 m
Ip

π
r03
从而有
t max

FS
S
* z
Iz 2


FS 2r02 π r03 2

FS 2 FS
r0 π
A
式中， A=2pr0 为整个环形截面的面积。
(4) 圆截面梁 圆截面梁在竖直平面内弯曲
时，其横截面上切应力的特征
如图a所示：认为离中性轴z为
任意距离y的水平直线kk'上各

FS
1 2

πd 4
2


πd 4 d
2d
3π

64
4FS 4FS
3
π 4
d
2

3A
II. 梁的切应力强度条件
图a所示受满布均布荷 载的简支梁，其最大弯矩 所在跨中截面上、下边缘 上的C点和D点处于单轴应 力状态(state of uniaxial stress) (图d及图e)，故根 据这些点对该梁进行强度 计算时其强度条件就是按 单轴应力状态建立的正应 力强度条件
例题 4-14
解: 1. 校核正应力强度。吊车梁可简化为简支梁(图b)。
荷载移至跨中C截面处(图b)时梁的横截面上的 最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此 最不利荷载位置时的弯矩图如图c所示，
M max

Fl 4

37.5 kN
m
例题 4-14
由型钢规格表查得20a号工字钢的Wz=237cm3。 梁的最大弯曲正应力为
点处的切应力均汇交于k点和
k'点处切线的交点O '，且这些
切应力沿y方向的分量ty相等。
因此可先利用公式
ty

FS Sz* I z bkk
求出kk'上各点的切应
力竖向分量ty ，然后求出各点处各自的切应力。
圆截面梁横截面上的
最大切应力tmax在中性轴z
处，其计算公式为
t max

FS
S
* z
Izd
s max s
该梁最大剪力所在两
个支座截面的中性轴上E
和F点，通常略去约束力
产生的挤压应力而认为其
处于纯剪切应力状态
(shearing state of stress )
(图f及图g)，从而其切应
力强度条件是按纯剪切应
力状态建立的，即梁的切
应力强度条件为
t max t 亦即
FS,max

y2

S* z

A*
y* C

b
h

y
y

h 2

y

2
2

b 2

h2 4

y2

Iz

bh3 12
b
F
S
h y
t
y
z
t max
t
t max
3 2
FS bh
2. 工字形截面梁 (1) 腹板上的切应力
t

FS
S
* z
Izd
其中
Sz*
F* N2
自由边 t1 t1
A* F* dx
N1
u

根据 d FS t可1 得d x出
t1

FS
S
* z
I z

FS
I z


u
h 2


2

FS uh
2Iz
从而由切应力互等定理可
知，翼缘横截面上距自由边为u
处有平行于翼缘横截面边长的
Bd
t max

4 Fs max 3A
[t ]
即4 3
40103
pd2 /4
100106
得 d 26.1mm
所以
-40kN
•
40kN m
dmin 137 mm
例题 4-13
解: 1. 求tmax
梁的剪力图如图c所示，由图可见FS,max=75kN。 由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示，
例题 4-13
解: 1. 求tmax
梁的剪力图如图c所示，由图可见FS,max=75kN。 由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示，
Iz=65 586 cm4和Iz/S * z,max=47.73cm。d=12.5mm
例题 4-13
tmax

FS
,max
S
* z ,max
Izd
FS
1.圆截面 最大剪应力：
t max
t
max

4 3
FS A
2.圆环截面
y
最大剪应力：
t max

2FS A
四.弯曲剪应力强度条件 （第二个强度条件）
t max

F S* s max Z max IZ b
[t ]
[例7-6]圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应 力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，试求最小直径dmin
A* (s Ⅱ)dA
(M dM )
A*
Iz
y dA
FN
II

M
dM Iz
A*
ydA
M
dM Iz
S
* z
FN II FNI t
d Nl x dx
t Sz* dM Iz dx
t

FS
S
* z
I z
dx
S*


(H

)(b
Nll
z)
2
2
d hH
z
z
b
y
三.圆及圆环截面梁的剪应力