关于实际弹簧振子运动特性的研究

关于实际弹簧振子运动特性的研究

摘要：本文分析和研究了实际弹簧振子的运动特性，即在考虑弹簧振子自身的质量和在运动过程中遇到摩擦阻力等情况下，对其振动的性质、周期、振幅等特性的影响，并得出了定量的表达式，同时文中对弹簧振子运动时所具有的能量也作了比较全面的论述。这将为物理课程中该问题的教学提供了良好的参考作用。

关键词：弹簧；质量；摩擦力；系统能量等。

0 引言

在一般的物理书籍中，当述及到弹簧振子的特性时，为了讨论问题的方便，往往都是忽略了弹簧振子的质量和物体在运动时所受到的摩擦阻力的,但在实际问题中却往往不是这样，下面我们将对上述两个因素对弹簧振子运动特性的影响作系统的分析和研究，同时对平时较为少见的实际弹簧振子运动时所具有的能量问题也作了全面的论述。 1 实际弹簧振子的运动特性

在一般教学和研究中涉及弹簧振子时，通常都是指轻弹簧[1]，即在这种理想条件下抽象出弹性集中于弹簧，质量集中于振子，没有运动阻力的理想弹簧振子模型。分析它的动力学特点，易知弹簧振子系统在运动中只受到回复力F =－k x 的作用，简谐振动的固有周期公式T =2π

k

m

。如果弹簧振子受到的摩擦力或弹簧质量不能忽略，那么这两种因素对弹簧振子的振动[2]到底会有什么影响呢？下面我们分别加以讨论。 1.1摩擦力对弹簧振子振动的影响

为简化该问题的讨论，我们不考虑弹簧质量对系统振动的影响，即忽略弹簧质量。设弹簧的倔强系数为k ，振子与杆的滑动摩擦系数为μ，静摩擦系数为μ'，弹簧振子的质量为

m ，x 轴方向如图

弹簧振子在运动过程中所受摩擦力大小f =μm g ，其方向与振子运动方向相反。如果我们用符号SignA 表示某任意值A 的正负号，则f =-μm g （dt

dx Sign

） 这样，当

dt dx >0时，f =-μm g ；当dt

dx <0时，f =μm g ；

当dt dx ≠O 时，弹簧振子的运动方程为：-k x -μm g （dt dx Sign ）=m 2

2dt x d

即22dt

x

d +（m k ）x =-μg （dt dx Sign ）

令2

ω=m k ，则有22dt

x d +2

ωx =-μg （dt dx Sign ） （1）

设0=t 时，x =0x ，

dt

dx

0=（此时摩擦力不应超过最大静摩擦力μ'm g ，因为μ<μ'），为了使振子开始运动，必须使拉振子回到平衡位置的弹簧的反作用力大小超过静

摩擦力，即

k |0x |>μ'm g ，|0x |>

k m g

μ'

这个不等式的成立表明振子已偏离平衡位置一段足够远的距离。令0x >0，振子开始就向x 轴的负方向运动，即dt

dx

Sign

=-1，则（1）式变为 2

2dt x d +2

ωx =u g （2） （2）式满足起始条件的积分是

x =2

ωμg +（0x -2

ω

μg ）t Cos ω

由此得到：

dt

dx

=- ω（0x -2ωμg ）t Sin ω 在t Sin ω0> 即0

ω

π时，dt

dx 仍为负值，在=

=1t t ω

π瞬时，

dt

dx

的值变为零并改变正负号，x 的值是1x =x （t 1）=-0x +

2

2ωμg

注意到21ω=m

k

，如果|1x |=|-0ω+22ωμg |>

2ωμg ' ，则振动就会停止。在这种情况

下有

1x =-0x +

2

2ωμg

0<

这样，在1t 瞬时，振子开始向x 轴正方向运动。这就是说，当t >1t 时，在某一时间间隔内

dt

dx 0>，Sign dt dx =1，（1）式就变为

2

2dt

x d +2

ωx =-u g （3） 注意到起始条件是当1t t =时，x =1x ，

dt

dx

=0。同前面的讨论一样，我们会得出在 2t =

ω

π

2瞬时

2x =x （2t ）=0x -

2

4ωμg

如果 |2x |=|0x -

2

4ωμg

|> 2

ω

μg '，则振动也不会停止，同样可以证明2x 0>。

这样，弹簧振子离开平衡位置的连续最大偏位移大小是

0x ，1x =-0x +

2

2ω

μg

，2x =0x -

2

4ω

μg

，……，n x =()n

1-（-0x +

2

2ω

μg

n ）。

与之相对应，振子中止的瞬时为

t =0，1t =ω

π

，2t =

ω

π

2，……，n t =

ω

π

n

在平衡位置同一侧的两个中止瞬时之间的时间间隔等于

T =n t -1-n t =

ω

π

2

因为2

ω=

m k

，所以T =π2m

k

，即等于无摩擦时弹簧振子的振动周期。 我们很容易得到：每一偏位移其绝对值比前一偏位移减少

2

2ω

μg

。

前面的讨论表明：摩擦力的存在，使得弹簧振子并不严格地做简谐振动，但在正向或负向运动过程中仍分别为简谐振动，振动周期也并不发生影响，振动过程中弹簧振子偏离平衡位置的位移大小则每半周期按算术级数递减

2

2ωμg

。

例1 一倔强系数为k 的弹簧起先自由伸长，其右端挂一质量为m 的物体，并把该物体所在的起始位置记作O 点，在O 点左侧桌面光滑，右侧桌面粗糙，并且摩擦系数为μ，现