高中数学 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程学案

二 圆锥曲线的参数方程
1．理解椭圆的参数方程，了解参数的意义，会用椭圆的参数方程解决简单问题． 2．理解双曲线的参数方程，了解参数的意义，会用双曲线的参数方程解决简单问题． 3．理解抛物线的参数方程，了解参数的意义，会用抛物线的参数方程解决简单的相关问题．
4．通过具体问题，体会某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便，感受参数方程的优越性．
1．椭圆的参数方程
中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的参数方程是__________．规定参数φ的
取值范围为________．
(1)圆的参数方程：
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝r cos θ，y ＝r sin θ
(θ为参数)中的参数θ是动点M (x ，y )的旋转角，
但在椭圆的参数方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ(φ为参数)中的参数φ不是动点M (x ，y )的旋转角，
它是点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角，称为离心角，不是OM 的旋转角．
(2)通常规定φ∈[0,2π)．
(3)当椭圆的普通方程不是标准形式时，也可以表示为参数方程的形式．如
x －m
2
a 2＋
y －n 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0)可表示为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝m ＋a cos φ，
y ＝n ＋b sin φ(φ为参数)．
【做一做1－1】 椭圆⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝a cos θ，y ＝b sin θ
(θ为参数)，若θ∈[0,2π)，则椭圆上的点
(－a,0)对应的θ为( )．
A ．π B.π2 C ．2π D.3π
2
【做一做1－2】 A ，B 分别是椭圆x 236＋y 2
9＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运
动，求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程．
2．双曲线的参数方程
中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的参数方程是__________规定参数φ的
取值范围为__________．
【做一做2】 参数方程⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝sin α2＋cos α2，
y ＝2＋sin α
(α为参数)的普通方程是( )．
A ．y 2－x 2＝1
B ．x 2
－y 2＝1
C ．y 2
－x 2
＝1(|x |≤2) D ．x 2
－y 2
＝1(|x |≤2)
3．抛物线的参数方程
(1)抛物线y 2
＝2px 的参数方程为____________． (2)参数t 的几何意义是________________． 答案：1.⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos φ，y ＝b sin φ
(a ＞b ＞0) [0,2π)
【做一做1－1】 A
【做一做1－2】 解：由于动点C 在该椭圆上运动，所以可设点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，则由题意可知点A (6,0)，B (0,3)．
由重心坐标公式可知
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝6＋0＋6cos θ3
＝2＋2cos θ，y ＝0＋3＋3sin θ
3＝1＋sin θ.
由此可得
x －2
2
4
＋(y －1)2
＝1即为所求．
2.⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝a sec φ，y ＝b tan φ.
φ∈[0,2π)且φ≠π2，φ≠3π2
【做一做2】 C 因为x 2
＝1＋sin α，所以sin α＝x 2
－1.
又因为y 2＝2＋sin α＝2＋(x 2－1)，所以y 2－x 2
＝1. 而x ＝sin α2＋cos α
2＝2sin(α2＋π
4
)，故x ∈[－2，2]．
3．(1)⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2pt 2
，y ＝2pt ，
t ∈(－∞，＋∞)
(2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数
1．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义
剖析：从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝1a
x ，y ′＝1
b y ，
椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1可以
变成圆x ′2
＋y ′2
＝1，利用圆x ′2
＋y ′2
＝1的参数方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ′＝cos φ，
y ′＝sin φ(φ是参数)，
可以得到椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的参数方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)，因此，参数φ的几何意
义是椭圆上任意一点M 所对应的圆的半径OA (或OB )的旋转角(称为点M 的离心角)，而不是
OM 的旋转角．
2．圆锥曲线的参数方程不是惟一的
剖析：同一条圆锥曲线的参数方程形式是不惟一的．例如，椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的参数方程
可以是⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝a cos θ，y ＝b sin θ
的形式，也可以是⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝a sin θ，y ＝b cos θ
的形式，二者只是形式上不同
而已，实质上都是表示同一个椭圆．同样对于双曲线、抛物线也可以用其他形式的参数方程来表示，只是选取的参数不同，参数的几何意义也不同．
题型一 求圆锥曲线的参数方程
【例1】 椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是6，焦距是25，求椭圆的参数方程．
分析：可先根据题目条件求出椭圆的普通方程，然后化为参数方程．
反思：求参数方程的关键是选准参数，有时可选的参数并不惟一，这时要选择一个恰当的．另外求参数方程比较困难时，也可以先求出它的普通方程，再化为参数方程．
题型二 圆锥曲线普通方程与参数方程的互化
【例2】 参数方程⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝cos θsin θ＋cos θ，y ＝sin θ
sin θ＋cos θ
(θ为参数)表示什么曲线？
分析：消去参数，化为普通方程再判断．
反思：有些参数方程很难直接看出它所表示的曲线类型，这时只需先把它化为普通方程再作研究即可．
题型三 圆锥曲线参数方程的应用
【例3】 设M 为抛物线y 2
＝2x 上的动点，给定点M 0(－1,0)，点P 为线段M 0M 的中点，求点P 的轨迹方程．
分析：合理选取参数，将抛物线方程转化为参数方程，再寻求解题方法． 题型四 易错辨析
【例4】 已知P 为椭圆x 216＋y 212＝1上一点，且∠POx ＝π
3
，求点P 的坐标．
错解：设点P 的坐标为(x ，y )，如图所示， 由椭圆的参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos π
3
，y ＝23sin π
3
，即P 的坐标为(2,3)．
答案：【例1】 解：由题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1，
则a ＝3，c ＝5， ∴b ＝2，
∴椭圆的普通方程为x 232＋y 2
22＝1，化为参数方程得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3cos φ，
y ＝2sin φ(φ为参数)．
【例2】 解：∵x ＝cos θ·sin θ＋cos 2
θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋12，
∴x －12＝sin 2θ＋cos 2θ2
.
∵y ＝sin 2
θ＋sin θcos θ＝sin 2θ－cos 2θ＋12，
∴y －12＝sin 2θ－cos 2θ2.
∴(x －12)2＋(y －12)2
＝
1＋2sin 2θcos 2θ＋1－2sin 2θcos 2θ4＝1
2
.
∴原参数方程表示的曲线是圆心为(12，12)，半径为2
2
的圆．
【例3】 解：令y ＝2t ，则x ＝y 2
2＝2t 2
，得抛物线的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2t 2
，
y ＝2t
(t 为参
数)，则设动点M (2t 2,
2t )，定点M 0(－1,0)．
设点P 的坐标为(x ，y )，由中点坐标公式得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12－1＋2t
2
，
y ＝12
0＋2t ，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－12＋t
2，
y ＝t
(t 为参数)，
这就是点P 的轨迹的参数方程．化为普通方程是y 2
＝x ＋12.这是以x 轴为对称轴，顶点
在(－1
2
，0)的抛物线．
【例4】 错因分析：椭圆⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ和圆⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝r cos φ，
y ＝r sin φ中，参数φ的意
义是不同的．在圆的方程中，φ是圆周上的动点M (x ，y )所对应的角∠xOM ，而椭圆方程中
的φ，其意义却不是这样，上述解答把椭圆方程中φ的意义错混为圆的方程中φ的意义，从而导致了解答的错误．
正解：设|OP |＝t ，点P 的坐标为(t cos π3，t sin π
3)，代入椭圆方程得
12t 2
16＋
3
2t 2
12
＝1，即t ＝855，所以点P 的坐标为(455，4
5
15)．
1椭圆2cos ,
5sin x y θθ
=⎧⎨
=⎩(θ为参数)的焦距为( )．
21．22129 D ．229
2椭圆45cos ,3sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩
(φ为参数)的焦点坐标为( )．
A ．(0,0)，(0，－8)
B ．(0,0)，(－8,0)
C ．(0,0)，(0,8)
D ．(0,0)，(8,0)
3参数方程2cos ,
sin x y θθ
⎧=⎨=⎩(θ为参数)所表示的曲线为( )．
A ．抛物线的一部分
B ．抛物线
C ．双曲线的一部分
D ．双曲线
4实数x ，y 满足
22
1169x y +=，则z ＝x －y 的最大值为________，最小值为________． 5如图，由椭圆22
49
x y +＝1上的点M 向x 轴作垂线，交x 轴于点N ，设P 是MN 的中点，求点P 的轨迹方程．
答案：1．B
2．D 利用平方关系化为普通方程：22
(4)259
x y -+＝1. 3．A
4．5 －5 由椭圆的参数方程，可设x ＝4cos θ，y ＝3sin θ，
∴z ＝x －y ＝4cos θ－3sin θ＝5cos (θ＋φ)，其中φ为锐角，且tan φ＝34
.∴－5≤z ≤5.
5．解：椭圆22
49x y +＝1的参数方程为2cos ,3sin x y θθ=⎧⎨=⎩
(θ为参数)，∴设M (2cos θ，3sin θ)，P (x ，y )，则N (2cos θ，0)，
∴2cos 2cos 2cos ,23sin ,2x y θθθθ+⎧
==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 消去θ，得22
449x y +＝1， 即点P 的轨迹方程为22
449
x y +＝1.。