量子力学第二章

§2 态叠加原理
一、态的叠加
• 经典物理中，干涉和衍射现象的本质归于波的叠加，表 示在空间传播的波可以由两种波叠加构成。 • 量子力学中，波函数是描述粒子的状态，叫状态波函数，
因此波的叠加又叫态的叠加，表示粒子的态可以由两种
态的叠加构成，粒子可以同时处于两种不同的态上。
Ψ1
P
Ψ
S1
一个电子有 Ψ1 和 Ψ2 两种可能的 状态，Ψ 是这两种状态的叠加。
Quantum Mechanics
量子力学信息工程学院 Nhomakorabea第一章 第二章 第三章
量子力学产生的历史背景 波函数和薛定谔方程 一维定态问题
第四章
第五章 第六章 第七章
力学量与算符
态和力学量表象 三维定态问题 近似方法（微扰理论）
第二章 波函数和薛定谔方程
• §1 波函数 • §2 态叠加原理
• §3 薛定谔方程
电子源
S2
Ψ2
2. 表述：
2
c1 1 c 2 2
2
感 光 屏
C1, C2 为复常数，不全为零
空间找到电子的几率：
c1 1 c2 2 ( c1 1 c2 2 )( c1 * 1 * c2 * 2*)
c1 1 c2 2 ( c1 * c2 1 * 2 c1c2 * 1 2*)
• 1935年薛定谔猫
(1887-1961）,奥地利物理学家
实验内容
• 量子纠缠态 • 量子通信、量子计算机
引进方程的基本考虑
让我们先回顾一下经典粒子运动方程，看是否能给我们以启发。
（1）经典情况
dr t t 0时刻，已知初态是：r0 , p0 m dt t t0 2 d r 粒子满足的方程是牛顿 方程：F m 2 dt
px ( x )



px ( x , t )px ( x , t )dx e
*
( px px ) ( px p x)
知识点回顾
I Dirac
—函数
定义：
x x0 0 ( x x0 ) x x0 x0 ( x x0 )dx ( x x0 )dx 1
若Ψ (r,t)已归一化，则 C(p, t)也是归一化的
证明： 2 |c( p, t ) | dp c ( p, t )c( p, t )dp


c( p, t ) p (r )(r , t )dr
[ ( r , t ) p ( r )dr ][ ( r ' , t ) p ( r ' )dr ' ]dp ( r , t )( r ' , t )dr dr ' p ( r ) p ( r ' )dp ( r , t )( r ' , t )dr dr ' ( r r ' ) ( r , t )( r , t )dr 1

p
*
i [ E E ]t * ( r ) ( r )d ( r , t ) p ( r , t )d e p p
1 A A1 A2 A3 [2]3 / 2
e
i [ E E ]t
( p p) ( p p)
§1 波函数——基本假定一
由于微观粒子运动时表现出波的性质，必须放弃牛顿力学中通过轨道 r(t)来描述粒子运动的方法，而采用类似电磁学中的波函数来描述粒子
的运动规律。
(r , t )
i A e xp ( p r Et )
描写自由粒子的 平 面 波
波与它描述的粒子间是什么关系呢？
所描写状态的相对几率是相同的
在 t 时刻，空间任意两点 r1 和 r2 处找到粒子的相 对几率之比是：
C ( r1 , t ) C ( r2 , t )
2
( r1 , t ) ( r2 , t )
2
• 归一化条件


2 ( r ,t ) d 1
全空间找到粒子的几率为1，但注意由归一化条件不能完全确定波函数
经典粒子
质量、电荷等“颗粒性”的属性; 确定的运动轨道，位置、速度、加速度；
经典波
实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 干涉、衍射现象
二、量子力学基本假定1—概率波
• 微观粒子运动状态 ( r ,t )
• t 时刻 r 处微粒出现的几率
2 * ( r ,t ) ( r ,t ) ( r ,t )
A1e
i [ E x E x ]t
A2 e
A3 e



px ( x, t )px ( x, t )dx e
*
e
2 px 2 i p x [ ]t 2 2



px ( x ) p x ( x )dx
*



px ( x ) px ( x )dx A12
与 C( p,t ) 一一对应 ( r ,t )
( r ,t ) 是以 r 为自变量的波函数，坐标空间的波函数，坐标表象波函数 c( p,t ) 是以 p 为自变量的波函数，动量空间的波函数，动量表象波函数
相同状态
2 C( p,t ) 是粒子t时刻具有动量P的概率密度
二、动量空间与坐标空间的转化
• 动量空间波函数的表述
i ( p r Et ) p ( r ,t ) Ae
按态的叠加原理
i p r 3 ( r )d p ( r ) Ae ( r ,t ) C( p,t ) p p 3 C( p,t ) p ( r ) ( r ,t )d r (r ) p ( r ,t )dxdydz
电子穿过狭缝 １出现在Ｐ点 的几率密度 电子穿过狭缝 ２出现在Ｐ点 的几率密度 相干项 正是由于相干项的 出现，才产生了衍 射花纹。
2 2
3. 若
c1 1 c2 2 0
抵消，电磁波在该点消失。
电磁波： 表示来自窄缝S1和S2的两个波由于振幅相等，相位相反相互
粒子波：不表示来自S1和S2的两个电子相互抵消而消失，而是代表同 一个电子分别通过S1和S2两种可能的运动状态波函数叠加为 0，电子在该点出现的可能性消失。
p ( r , t )
其中
i i [ p r Et ] Et 1 ( r )e e p [2]3 / 2 i [ p r ] 1 (r ) p e 3/ 2 [2]
注意：这样归一化后的平面波其模的平方仍不表示几率密度， 依然只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率 相同。
• 从牛顿方程，人们可以确定以后任何时刻 t 粒子的 状态 r 和 p 。因为初条件知道的是坐标及其对时 间的一阶导数，所以方程是时间的二阶常微分方程。
（2）量子情况 1．因为，t = t0 时刻，已知的初态是ψ( r, t0) 且只知道 这样一个初条件，所以，描写粒子状态的波函数所满足的方 程只能含ψ对时间 的一阶导数。 2．另一方面，ψ要满足态叠加原理，即，若ψ1( r, t ) 和 ψ2( r, t )是方程的解，那末。 ψ( r, t)= C1ψ1( r, t ) + C2ψ2( r, t ) 也应是该方程的解。这就要求方程应是线性的，也就是说方程 中只能包含ψ, ψ对时间的一阶导数和对坐标各阶导数的一次 项，不能含它们的平方或开方项。
四、平面波函数的归一化
i A e xp ( p r Et ) i i [ pr Et ] Et ( r , t ) Ae ( r )e p p
考虑一维积分
i [ p r ] p ( r ) Ae p x ( x ) p y ( y ) pz ( z ) i [ px x ] i [ py y] i [ pz z ]
*


e
i [ p x px ] x


px ( x ) p x ( x )dx
i px x 1 e 2
*
dx A12 2 ( p x p x ) ( px px )
若取 A12 2 = 1，则
A1= [2]-1/2, 于是
2 p 2 i p [ x x ]t 2 2
1 ik ( x x0 ) ( x x0 ) dk e 2 i p x ( x x0 ) 1 ( x x0 ) e dp x 2 作代换：p x x，p x x 0，则
i ( p x p 1 x )x ( px px ) e dx 2
三、波函数的性质
• 几率和几率密度 2 r 几率： ( r ,t ) d 表示t时刻粒子处于空间 处 ， d 体积元内的几率
2 t时刻粒子在空间 处单位体 • 几率密度： ( r r ,t ) 积中出现的几率

• Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) （C 是常数）
x0
x
f ( x ) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )
三维情况：





* ( r ) ( r )d p p ( p x px ) ( p y py ) ( pz p z) ( p p)
2 dW ( r , t ) | ( r , t ) | dr
• 例：在电子双窄缝衍射实验中，利用平面 波函数的叠加，计算电子到达屏上任一点B 的相对几率，从而导出电子波强度取极大 值的条件：
d sin n
§3 薛定谔方程——基本假定2 薛定谔方程
• 微观粒子的基本方程，讨论粒子状 态随时间变化所遵从的规律
1.电子衍射实验
P
O Q
感 光 屏
P O Q
电子源
大量电子短时间观察
少量电子（粒子流强度弱）长时间观察
• 实验相当于一个电子在许多次相同实验中 的统计结果 • 多个电子在一次实验中的统计结果，很难 确定单个电子某一次实验感光点的位置 结论： • 电子的波动性并不是许多电子聚在一起才 有的现象，单个电子也具有波动性
2.波与粒子性的统一 在电子衍射实验中，照相底片上某点附近衍射花样的强度 ∝ 该点附近感光点的数目 ∝ 该点附近出现的电子数目 ∝ 电子出现在该点附近的几率
Born 1926年 波函数的统计解释
• 用波函数描述粒子波，并非真正的波,而是几率波。 • 粒子的运动不具有经典波的振动形式，没有经典波的物理图 像，只用于确定粒子到达空间各处的概率。 • 波与粒子性的统一
• 平方可积
波函数可以不满足归一化条件，但应满足平方可
积条件
2 ( r ,t ) d A （A有限正实数）

1 A

( r ,t ) d 1
2
3.波函数的标准条件 • 单值、有限、连续 • 单值，有限：给定时刻t，粒子在空间某点 出现的几率是唯一的，确定的数 连续：粒子在空间几率分布不会发生突变
其中使用了 ( r ) p ( r ' )dp ( r r ' ) 关系式
p
由此我们也可以看出把 平面波归一化为 函数的目的。
c( r , t ) 与 ( r , t )
具有类似的物理含义
t时刻粒子出现在 r 点附近 dr 体积元内的几率； 2 dW ( p, t ) | c( r , t ) | dp t时刻粒子出现在动量 p点附近 dp体积元内的几率。
x0
( 0)
( x x0 )
抽样性质：



f ( x ) ( x x0 )dx f ( x0 )
—函数 亦可写成 Fourier 积分形式： 令 k=px/, dk= dpx/, 则
0
性质：
( x ) ( x )
(ax )
1 ( x) |a|