标准偏差与相对标准偏差公式(汇编版)

标准偏差

相对标准方差的计算公式

准确度：测定值与真实值符合的程度

绝对误差：测量值（或多次测定的平均值）与真（实）值之差称为绝对误差，用δ表示。

相对误差：绝对误差与真值的比值称为相对误差。常用百分数表示。

绝对误差可正可负，可以表明测量仪器的准确度，但不能反映误差在测量值中所占比例，相对误差反映测量误差在测量结果中所占的比例，衡量相对误差更有意义。

例：用刻度0.5cm的尺测量长度，可以读准到0.1cm，该尺测量的绝对误差为0.1cm；用刻度1mm的尺测量长度，可以读准到0.1mm，该尺测量的绝对误差为0.1mm。

例：分析天平称量误差为0.1mg,减重法需称2次，可能的最大误差为0.2mg,为使称量相对误差小于0.1%，至少应称量多少样品？

答：称量样品量应不小于0.2g。

真值（μ）：真值是客观存在的，但任何测量都存在误差，故真值只能逼近而不可测知，实际工作中，往往用“标准值”代替“真值”。标准值：采用多种可靠的分析方法、由具有丰富经验的分析人员经过反复多次测定得出的结果平均值。

精密度：几次平行测定结果相互接近的程度。

各次测定结果越接近，精密度越高，用偏差衡量精密度。

偏差：单次测量值与样本平均值之差：

平均偏差：各次测量偏差绝对值的平均值。

相对平均偏差：平均偏差与平均值的比值。

标准偏差：各次测量偏差的平方和平均值再开方，比平均偏差更灵敏的反映较大偏差的存在，在统计学上更有意义。

相对标准偏差（变异系数）

例：分析铁矿石中铁的质量分数，得到如下数据：37.45，37.20，

37.50，37.30，37.25（%），计算测结果的平均值、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差、变异系数。

准确度与精密度的关系：

1）精密度是保证准确度的先决条件：精密度不符合要求，表示所测结果不可靠，失去衡量准确度的前提。

2）精密度高不能保证准确度高。

换言之，准确的实验一定是精密的，精密的实验不一定是准确的。重复性试验按拟定的含量测定方法，对同一批样品进行多次测定(平行试验至少5次以上，即n>5)，计算相对标准偏差(RSD)，一般要求低于5%

数学表达式：

∙S-标准偏差（%）

∙n-试样总数或测量次数，一般n值不应少于20-30个

∙i-物料中某成分的各次测量值，1～n；

标准偏差的使用方法

六个计算标准偏差的公式[1]

标准偏差的理论计算公式

设对真值为X的某量进行一组等精度测量,其测得值为l1、l2、……l n。令测得值l与该量真值X之差为真差占σ,则有σ1=l i−X

σ2=l2−X

……

σn=l n−X

我们定义标准偏差(也称标准差)σ为

（1）

由于真值X都是不可知的,因此真差σ占也就无法求得,故式只有理论意义而无实用价值。标准偏差σ的常用估计—贝塞尔公式

由于真值是不可知的,在实际应用中,我们常用n次测量的算术平均值

来代表真值。理论上也证明,随着测量次数的增多,算术平均值最接近真值,当时,算术平均值就是真值。

于是我们用测得值l i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ,即

设一组等精度测量值为l1、l2、……l n

则

……

通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为

将上式代入式(1)有

(2)

式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。

它用于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时，

,可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全一致的。

应该指出,在n有限时,用贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的一个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此,我们称式(2)为标准偏差σ的常用估计。为了强调这一点,我们将σ的估计值用“S”表示。于是,将式(2)改写为

(2')

在求S时,为免去求算术平均值的麻烦,经数学推导(过程从略)有

于是,式(2')可写为

(2")

按式(2")求S时,只需求出各测得值的平方和和各测得值之和的平方艺,即可。

标准偏差σ的无偏估计

数理统计中定义S2为样本方差

数学上已经证明S2是总体方差σ2的无偏估计。即在大量重复试验中,S2围绕σ2散布,它们之间没有系统误差。而式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的无偏估计,也就是说S和σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们,对于服从正态分布的正态总体,总体标准偏差σ的无偏估计

值为

(3)

令

则

即S1和S仅相差一个系数Kσ,Kσ是与样本个数测量次数有关的一个系数,Kσ值见表。

计算Kσ时用到

Γ(n+1)=nΓ(n)

Γ(1)=1

由表1知,当n>30时,。因此,当n>30时,式(3')和式(2')之间的

差异可略而不计。在n=30～50时,最宜用贝塞尔公式求标准偏差。当n<10时,由于Kσ值的影响已不可忽略,宜用式(3'),求标准偏差。这时再用贝塞尔公式显然是不妥的。

标准偏差的最大似然估计

将σ的定义式(1)中的真值X用算术平均值代替且当n有限时就得到

(4)

式(4)适用于n>50时的情况,当n>50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很小了。

2.5标准偏差σ的极差估计由于以上几个标准偏差的计算公式计算量较大,不宜现场采用,

而极差估计的方法则有运算简便,计算量小宜于现场采用的特点。

极差用"R"表示。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最大值与最小值之差。

若对某量作次等精度测量测得l1、，且它们服从正态分布,则

R=l max−l min

概率统计告诉我们用极差来估计总体标准偏差的计算公式为

(5)

S3称为标准偏差σ的无偏极差估计,d2为与样本个数n(测得值个数)有关的无偏极差系数,其值见表2