实变函数第一章习题解答(罗绍辉)
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n =1
，使 x ∈ E{ f n0 ( x) > a} ，
lim f n ( x ) = f ( x) ≥ f n0 ( x) > a 且 x ∈ E ,即， x ∈ E{ f ( x) > a} ，
n →∞
从而，E{ f ( x) > a} = U E{ f n ( x) > a} 10．证明： R 中坐标为有理数的点是不可数的。 证明： 证明： 设 Q 为有理数集，由定理 6：Q 是不可数的。 现 在证 ： Q × Q × Q = {( x, y, z ) | x, y, z 都是有理数} 可 数 ∀x ∈ Q ， 因 为
第一章习题参考解答
3．等式 ( A − B) ∪ C = A − ( B − C ) 成立的的充要条件是什么？ 解：若 ( A − B) ∪ C = A − ( B − C ) 则
C ⊂ ( A − B) ∪ C = A − ( B − C ) ⊂ A .即， C ⊂ A .
反 过 来 , 假 设 C⊂A , 因 为 B −C ⊂ B . 所 以 ,
A − B ⊂ A − ( B − C ) . 故, ( A − B ) ∪ C ⊂ A − ( B − C ) .
最后证， A − ( B − C ) ⊂ ( A − B) ∪ C 事实上， ∀x ∈ A − ( B − C ) , 则 x ∈ A 且 x ∉ B − C 。若 x ∈ C ，
x ∈ ( A − B) ∪ C ；若 x ∉ C ，则 x ∉ B ，故 x ∈ A − B ⊂ ( A − B) ∪ C 、
lim f n ( x) = f ( x)
所以 ∃n0 ∈ N , ∀n ≥ n0 ，恒有： f n ( x) > a且x ∈ E ，从而，
x ∈ E{ f n0 ( x) > a} ⊂ U E{ f n ( x ) > a}
Baidu Nhomakorabea∞ n =1 ∞
反过来， ∀x ∈ U E{ f n ( x) > a}, ∃n0 ∈ N 故 ∀n ≥n 0 ，因此，
∞
1 x ∈ I lim inf E{ x | f n ( x ) ≤ a + } ，反过来，对于 k =1 n k ∞ 1 ∀x ∈ I lim inf E{ x | f n ( x ) ≤ a + } ， ∀k ∈ N ，有 k =1 n k 1 1 x ∈ lim inf E{ x | f m ( x ) ≤ a + } = U I E{ x | f m ( x ) ≤ a + } ，即 n n∈ N m ≥ n k k 1 f m ( x ) ≤ a + 且 x ∈ E ，所以， ∃n ∈ N，∀m ≥ n 时，有： k 1 lim f m ( x ) ≤ f ( x ) ≤ a + 且 x ∈ E . 又令 k → ∞ ，故 m k f ( x ) ≤ a且x ∈ E 从而 x ∈ E{x | f ( x ) ≤ a} 1 I lim inf E{ x | f n ( x ) ≤ a + } 故 E{x | f ( x ) ≤ a} = k =1 n k 8．设 { f n ( x )} 是区间（a，b）上的单调递增的序列，即
n ∀n ∈ N ,令 An = {a | a ⊂ {r1 , r2 , r3 , L , rn }} 则 Α n 为有限集（ Α n = 2 ） ， 则
A = U Α n 为正交可数集，即 Α n ≤ C 0 n∈N
{ 又因为 Q ~ { x} | x ∈ Q
n =1
∞
n n
n
1 ⇒ x ∈ U E{x | f ( x ) ≥ a + } ⇒ E{x | f ( x ) > a} ⊂ n =1 n ∞ 1 U E{x | f ( x ) ≥ a + } n =1 n ∞ 1 反过来， ∀x ∈ nU1 E{x{x | f ( x) ≥ a + n }, ∃n ∈ N ，使 = 1 x ∈ E{x | f ( x ) ≥ a + } n 1 即 f ( x ) ≥ a + n > a且x ∈ E 故 x ∈ E{x | f ( x) > a} ∞ 1 ∪ E{x | f ( x ) ≥ a + } ⊂ E{x | f ( x ) > a} . 故 所以 n =1 n ∞ 1 E{x | f ( x) > a} U E{x | f ( x) ≥ a + } n =1 n
x ∈ Am .
inf 所以 χ Am ( x) = 1 ，所以 m≥n0 χ Am ( x) = 1 故
lim inf χ An ( x) = sup inf χ Am ( x) = 1
n b∈N m≥ n
∀x ∉ lim inf An ⇒ ∀n ∈ N ，有 x ∉ ∩ An ⇒ ∃k n ≥ n n m≥n
n
A
1, x ∈ A ( x) = 0, x ∉ A
，假设 A , A ,L, A L
1 2 n
n
n
（ii） χ lim sup A n ( x) = lim sup χ An ( x) n n
∩ 证明： 证明 （i）∀x ∈ lim inf An = n∪ ( m ≥ n An ) ，∃ n0 ∈ N ，∀m ≥ n0 时， n ∈N
从而, A − ( B − C ) ⊂ ( A − B) ∪ C .
C ⊂ ( A − B) ∪ C = A − ( B − C ) ⊂ A − ∅ = A . 即 C ⊂ A
反过来，若 C ⊂ A ，则 因为 B − C ⊂ B 所以 A − B ⊂ A − ( B − C )
又因为 C ⊂ A ，所以 C ⊂ A − ( B − C ) 故
i =1 i =1 i =1 i =1
事实上， ∀x ∈ ∪ Ai ，则 ∃i (1 ≤ i ≤ n) 使得 x ∈ Ai ，令 i =1
i0 = min{i | x ∈ Ai 且1 ≤ i ≤ n
i0 −1
n
}
n i0 −1
则 x ∈ Ai0 − iU Ai = Bi0 ⊂ iU Bi ，其中，当 i0 = 1 时， iU1 Ai = ∅ ， =1 =1 = 从而， iU1 Ai = iU1 Bi . = = 6．设 f (x) 是定义于 E 上的实函数，a 为常数，证明： ∞ 1 （i） E{x | f ( x ) > a} = U { f ( x) ≥ a + }
sup inf χ ( x) = 0 有 x ∉ Ak m ⇒ χ Ak n = 0 ⇒ inf χ Am ( x ) = 0 ，故 b∈N m≥n Am ，即 m≥ n
lim inf χ An ( x ) =0 ，从而 χ lim inf A ( x) = lim inf χ An ( x) n n n n
1 (ii) E{ x | f ( x ) ≥ a} = nI1{ f ( x ) > a − n } = 证明： （i） ∀x ∈ E{ x | f ( x ) > a} ⇒ x ∈ E 且 f ( x ) > a 1 1 ⇒ ∃n ∈ N , 使得f ( x) ≥ a + > a且x ∈ E ⇒ x ∈ E{x | f ( x) ≥ a + } n n
∪ Ai ⊂ ∪ Bi
i =1 i =1 n n
n
n
当 n=1 时， A1 = B1 ； 当 n ≥ 1 时，有： iU1 Ai = iU1 Bi = = 则
n +1 i =1 n n +1 i =1 n n n
n n
U Ai = ( U Ai ) U An +1 = ( U Ai ) U ( An +1 − U Ai ) = ( U Bi ) U ( Bn +1 − U Bi )
∞
7．设 { f n ( x)} 是 E 上的实函数列，具有极限 f (x) ，证明对任
意常数 a 都有：
1 E{x | f ( x) ≤ a} = I lim inf E{x | f n ( x) ≤ a + } k =1 n k ∞ 1 = I lim inf E{x | f n ( x) < a + } k =1 n k
i −1
5．设{A } 为集列， B1 = A1 ， Bi = Ai − ∪1 A j (i > 1) 证明 j=
n
（i） {Bn } 互相正交 （ii） ∀n ∈ N , iU1 Ai = iU1 Bi = =
n n
证 明 ：（ i ） ∀n, m ∈ N , n ≠ m ； 不 妨 设 n>m ， 因 为
( A − B) ∪ C ⊂ A − ( B − C )
另一方面， ∀x ∈ A − ( B − C ) ⇒ x ∈ A 且 x ∉ B − C ，如果 x ∈ C 则
x ∈ ( A − B) U C ；如果 x ∉ C , 因为 x ∉ B − C ，所以 x ∉ B 故 x ∈ A − B .
则 x ∈ ( A − B) ∪ C . 从而 A − ( B − C ) ⊂ ( A − B) ∪ C 于是， ( A − B) ∪ C = A − ( B − C ) 4． 对于集合 A， 定义 A 的特征函数为 χ 是一集列 ，证明： （i） χ lim inf A ( x) = lim inf χ An ( x)
∞
∞
f 1 ( x) ≤ f 2 ( x) ≤ L ≤ f n ( x) ≤ L
若 f n (x) 有极限函数 f (x) ，证明： ∀a ∈ R ，
E{ f ( x ) > a} = ∪ E{ f n ( x ) > a}
n =1 ∞
证明： 证明：
n →∞
∀x ∈ E{ f ( x) > a} ，即： x ∈ E 且 f ( x) > a ，因为
3
∞
n =1
Q × Q = xUQ ({x} × Q ) 是可数个有理数集的并，故可数， ∈
又因为 并且 Q × Q × Q = U ({x} × Q × Q ) x∈ ∀x ∈ Q， } × Q × Q ~ Q × QQ，所以 {x}× Q × Q 可数 {x 故 Q × Q × Q 可数. 14．证明：可数集的有限子集的全体仍是可数 证明： 证明： 设 Q 为可数集，不妨记为： Q = {r1 , r2 , r3 , L , rn , L}
1 f ( x ) ≤ a ≤ a + ，且 x ∈ E 证明： 证明： ∀x ∈ E{x | f ( x) ≤ a}, ∀k ∈ N ，即 k 1 f n ( x) ≤ a + ，故 因为 lim f n ( x) = f ( x )，∃n ∈ N ，使 ∀m ≥ n ，有 n →∞ k 1 1 x ∈ E{x | f m ( x ) ≤ a + }(∀m ≥ n)， I 所以 x ∈ m ≥ n E{x | f m ( x) ≤ a + k } k 1 1 x ∈ U I E{x | f m ( x ) ≤ a + } = lim inf E{x | f m ( x ) ≤ a + } ，由 k 的任 n n∈N m ≥ n k k 意性：
Bn = An − U Ai ⊂ An − Am ，又因为 Bm ⊂ Am ，所以 i =1
n −1
Bn ⊂ An − Am ⊂ An − Bm ，故 Bn I Bm = ∅ ，从而 {Bn }+∞ 相互正交. n =1
（ii）因为 ∀i (1 ≤ i ≤ n) ，有 Bi ⊂ Ai ，所以 ∪ Bi ⊂ ∪ Ai ，现在来证： i =1 i =1
∞
1 U E{x | f ( x ) ≥ a + } ⇒ E{x | f ( x ) > a} ⊂ ⇒ x∈ n =1 n ∞ 1 U E{ x | f ( x) ≥ a + } n =1 n ∞ 1 ∀x ∈ U E{x{x | f ( x ) ≥ a + }, ∃n ∈ N ，使 反过来， n =1 n 1 x ∈ E{x | f ( x ) ≥ a + } n 1 f ( x ) ≥ a + > a且x ∈ E 故 x ∈ E{x | f ( x) > a} 即 n ∞ 1 ∪ E{x | f ( x ) ≥ a + } ⊂ E{x | f ( x ) > a} . 故 所以 n =1 n ∞ 1 E{x | f ( x) > a} U E{x | f ( x) ≥ a + } n =1 n
，使 x ∈ E{ f n0 ( x) > a} ，
lim f n ( x ) = f ( x) ≥ f n0 ( x) > a 且 x ∈ E ,即， x ∈ E{ f ( x) > a} ，
n →∞
从而，E{ f ( x) > a} = U E{ f n ( x) > a} 10．证明： R 中坐标为有理数的点是不可数的。 证明： 证明： 设 Q 为有理数集，由定理 6：Q 是不可数的。 现 在证 ： Q × Q × Q = {( x, y, z ) | x, y, z 都是有理数} 可 数 ∀x ∈ Q ， 因 为
第一章习题参考解答
3．等式 ( A − B) ∪ C = A − ( B − C ) 成立的的充要条件是什么？ 解：若 ( A − B) ∪ C = A − ( B − C ) 则
C ⊂ ( A − B) ∪ C = A − ( B − C ) ⊂ A .即， C ⊂ A .
反 过 来 , 假 设 C⊂A , 因 为 B −C ⊂ B . 所 以 ,
A − B ⊂ A − ( B − C ) . 故, ( A − B ) ∪ C ⊂ A − ( B − C ) .
最后证， A − ( B − C ) ⊂ ( A − B) ∪ C 事实上， ∀x ∈ A − ( B − C ) , 则 x ∈ A 且 x ∉ B − C 。若 x ∈ C ，
x ∈ ( A − B) ∪ C ；若 x ∉ C ，则 x ∉ B ，故 x ∈ A − B ⊂ ( A − B) ∪ C 、
lim f n ( x) = f ( x)
所以 ∃n0 ∈ N , ∀n ≥ n0 ，恒有： f n ( x) > a且x ∈ E ，从而，
x ∈ E{ f n0 ( x) > a} ⊂ U E{ f n ( x ) > a}
Baidu Nhomakorabea∞ n =1 ∞
反过来， ∀x ∈ U E{ f n ( x) > a}, ∃n0 ∈ N 故 ∀n ≥n 0 ，因此，
∞
1 x ∈ I lim inf E{ x | f n ( x ) ≤ a + } ，反过来，对于 k =1 n k ∞ 1 ∀x ∈ I lim inf E{ x | f n ( x ) ≤ a + } ， ∀k ∈ N ，有 k =1 n k 1 1 x ∈ lim inf E{ x | f m ( x ) ≤ a + } = U I E{ x | f m ( x ) ≤ a + } ，即 n n∈ N m ≥ n k k 1 f m ( x ) ≤ a + 且 x ∈ E ，所以， ∃n ∈ N，∀m ≥ n 时，有： k 1 lim f m ( x ) ≤ f ( x ) ≤ a + 且 x ∈ E . 又令 k → ∞ ，故 m k f ( x ) ≤ a且x ∈ E 从而 x ∈ E{x | f ( x ) ≤ a} 1 I lim inf E{ x | f n ( x ) ≤ a + } 故 E{x | f ( x ) ≤ a} = k =1 n k 8．设 { f n ( x )} 是区间（a，b）上的单调递增的序列，即
n ∀n ∈ N ,令 An = {a | a ⊂ {r1 , r2 , r3 , L , rn }} 则 Α n 为有限集（ Α n = 2 ） ， 则
A = U Α n 为正交可数集，即 Α n ≤ C 0 n∈N
{ 又因为 Q ~ { x} | x ∈ Q
n =1
∞
n n
n
1 ⇒ x ∈ U E{x | f ( x ) ≥ a + } ⇒ E{x | f ( x ) > a} ⊂ n =1 n ∞ 1 U E{x | f ( x ) ≥ a + } n =1 n ∞ 1 反过来， ∀x ∈ nU1 E{x{x | f ( x) ≥ a + n }, ∃n ∈ N ，使 = 1 x ∈ E{x | f ( x ) ≥ a + } n 1 即 f ( x ) ≥ a + n > a且x ∈ E 故 x ∈ E{x | f ( x) > a} ∞ 1 ∪ E{x | f ( x ) ≥ a + } ⊂ E{x | f ( x ) > a} . 故 所以 n =1 n ∞ 1 E{x | f ( x) > a} U E{x | f ( x) ≥ a + } n =1 n
x ∈ Am .
inf 所以 χ Am ( x) = 1 ，所以 m≥n0 χ Am ( x) = 1 故
lim inf χ An ( x) = sup inf χ Am ( x) = 1
n b∈N m≥ n
∀x ∉ lim inf An ⇒ ∀n ∈ N ，有 x ∉ ∩ An ⇒ ∃k n ≥ n n m≥n
n
A
1, x ∈ A ( x) = 0, x ∉ A
，假设 A , A ,L, A L
1 2 n
n
n
（ii） χ lim sup A n ( x) = lim sup χ An ( x) n n
∩ 证明： 证明 （i）∀x ∈ lim inf An = n∪ ( m ≥ n An ) ，∃ n0 ∈ N ，∀m ≥ n0 时， n ∈N
从而, A − ( B − C ) ⊂ ( A − B) ∪ C .
C ⊂ ( A − B) ∪ C = A − ( B − C ) ⊂ A − ∅ = A . 即 C ⊂ A
反过来，若 C ⊂ A ，则 因为 B − C ⊂ B 所以 A − B ⊂ A − ( B − C )
又因为 C ⊂ A ，所以 C ⊂ A − ( B − C ) 故
i =1 i =1 i =1 i =1
事实上， ∀x ∈ ∪ Ai ，则 ∃i (1 ≤ i ≤ n) 使得 x ∈ Ai ，令 i =1
i0 = min{i | x ∈ Ai 且1 ≤ i ≤ n
i0 −1
n
}
n i0 −1
则 x ∈ Ai0 − iU Ai = Bi0 ⊂ iU Bi ，其中，当 i0 = 1 时， iU1 Ai = ∅ ， =1 =1 = 从而， iU1 Ai = iU1 Bi . = = 6．设 f (x) 是定义于 E 上的实函数，a 为常数，证明： ∞ 1 （i） E{x | f ( x ) > a} = U { f ( x) ≥ a + }
sup inf χ ( x) = 0 有 x ∉ Ak m ⇒ χ Ak n = 0 ⇒ inf χ Am ( x ) = 0 ，故 b∈N m≥n Am ，即 m≥ n
lim inf χ An ( x ) =0 ，从而 χ lim inf A ( x) = lim inf χ An ( x) n n n n
1 (ii) E{ x | f ( x ) ≥ a} = nI1{ f ( x ) > a − n } = 证明： （i） ∀x ∈ E{ x | f ( x ) > a} ⇒ x ∈ E 且 f ( x ) > a 1 1 ⇒ ∃n ∈ N , 使得f ( x) ≥ a + > a且x ∈ E ⇒ x ∈ E{x | f ( x) ≥ a + } n n
∪ Ai ⊂ ∪ Bi
i =1 i =1 n n
n
n
当 n=1 时， A1 = B1 ； 当 n ≥ 1 时，有： iU1 Ai = iU1 Bi = = 则
n +1 i =1 n n +1 i =1 n n n
n n
U Ai = ( U Ai ) U An +1 = ( U Ai ) U ( An +1 − U Ai ) = ( U Bi ) U ( Bn +1 − U Bi )
∞
7．设 { f n ( x)} 是 E 上的实函数列，具有极限 f (x) ，证明对任
意常数 a 都有：
1 E{x | f ( x) ≤ a} = I lim inf E{x | f n ( x) ≤ a + } k =1 n k ∞ 1 = I lim inf E{x | f n ( x) < a + } k =1 n k
i −1
5．设{A } 为集列， B1 = A1 ， Bi = Ai − ∪1 A j (i > 1) 证明 j=
n
（i） {Bn } 互相正交 （ii） ∀n ∈ N , iU1 Ai = iU1 Bi = =
n n
证 明 ：（ i ） ∀n, m ∈ N , n ≠ m ； 不 妨 设 n>m ， 因 为
( A − B) ∪ C ⊂ A − ( B − C )
另一方面， ∀x ∈ A − ( B − C ) ⇒ x ∈ A 且 x ∉ B − C ，如果 x ∈ C 则
x ∈ ( A − B) U C ；如果 x ∉ C , 因为 x ∉ B − C ，所以 x ∉ B 故 x ∈ A − B .
则 x ∈ ( A − B) ∪ C . 从而 A − ( B − C ) ⊂ ( A − B) ∪ C 于是， ( A − B) ∪ C = A − ( B − C ) 4． 对于集合 A， 定义 A 的特征函数为 χ 是一集列 ，证明： （i） χ lim inf A ( x) = lim inf χ An ( x)
∞
∞
f 1 ( x) ≤ f 2 ( x) ≤ L ≤ f n ( x) ≤ L
若 f n (x) 有极限函数 f (x) ，证明： ∀a ∈ R ，
E{ f ( x ) > a} = ∪ E{ f n ( x ) > a}
n =1 ∞
证明： 证明：
n →∞
∀x ∈ E{ f ( x) > a} ，即： x ∈ E 且 f ( x) > a ，因为
3
∞
n =1
Q × Q = xUQ ({x} × Q ) 是可数个有理数集的并，故可数， ∈
又因为 并且 Q × Q × Q = U ({x} × Q × Q ) x∈ ∀x ∈ Q， } × Q × Q ~ Q × QQ，所以 {x}× Q × Q 可数 {x 故 Q × Q × Q 可数. 14．证明：可数集的有限子集的全体仍是可数 证明： 证明： 设 Q 为可数集，不妨记为： Q = {r1 , r2 , r3 , L , rn , L}
1 f ( x ) ≤ a ≤ a + ，且 x ∈ E 证明： 证明： ∀x ∈ E{x | f ( x) ≤ a}, ∀k ∈ N ，即 k 1 f n ( x) ≤ a + ，故 因为 lim f n ( x) = f ( x )，∃n ∈ N ，使 ∀m ≥ n ，有 n →∞ k 1 1 x ∈ E{x | f m ( x ) ≤ a + }(∀m ≥ n)， I 所以 x ∈ m ≥ n E{x | f m ( x) ≤ a + k } k 1 1 x ∈ U I E{x | f m ( x ) ≤ a + } = lim inf E{x | f m ( x ) ≤ a + } ，由 k 的任 n n∈N m ≥ n k k 意性：
Bn = An − U Ai ⊂ An − Am ，又因为 Bm ⊂ Am ，所以 i =1
n −1
Bn ⊂ An − Am ⊂ An − Bm ，故 Bn I Bm = ∅ ，从而 {Bn }+∞ 相互正交. n =1
（ii）因为 ∀i (1 ≤ i ≤ n) ，有 Bi ⊂ Ai ，所以 ∪ Bi ⊂ ∪ Ai ，现在来证： i =1 i =1
∞
1 U E{x | f ( x ) ≥ a + } ⇒ E{x | f ( x ) > a} ⊂ ⇒ x∈ n =1 n ∞ 1 U E{ x | f ( x) ≥ a + } n =1 n ∞ 1 ∀x ∈ U E{x{x | f ( x ) ≥ a + }, ∃n ∈ N ，使 反过来， n =1 n 1 x ∈ E{x | f ( x ) ≥ a + } n 1 f ( x ) ≥ a + > a且x ∈ E 故 x ∈ E{x | f ( x) > a} 即 n ∞ 1 ∪ E{x | f ( x ) ≥ a + } ⊂ E{x | f ( x ) > a} . 故 所以 n =1 n ∞ 1 E{x | f ( x) > a} U E{x | f ( x) ≥ a + } n =1 n