质量管理 第六章相关图及回归分析

不相关。 本例中 min(n+,n-)＝6＜S 0.05(32)＝9 因此，腐蚀深度和腐蚀时间在0.05和0.01显著性水平下均判定具有相 关关系。可以通过腐蚀时间的变动范围预测腐蚀深度的变动范围； 同时，可通过控制腐蚀时间达到控 制腐蚀深度的目的。
min(n+,n-)＝6＜S 0.01(32)＝8
腐蚀 时间 /s 874 879 881 882 884
腐蚀 深度 /mm 1.51 1.55 1.54 1.53 1.56
6
7 8
836
842 847
1.48
1.43 1.47
14
15 16
856
859 859
1.47
1.45 1.52
22
23 24
870
870 873
1.52
1.57 1.48
30
n 2 n 2 i 2 n 2 i
n n n
i 1 n
n
i 1 n
Lxy称x、y偏差积之和 Lxx称x偏差平方和
1 n Lxx ( xi x ) x nx x ( xi ) 2 n i 1 i 1 i 1 i 1
1 n Lyy ( yi y ) y ny y ( yi ) 2 n i 1 i 1 i 1 i 1
y
○ × ○ ○ × ○ ○× ○○ ● ○ × ○ ●● ○ ○× × ●● × × × ●
● ● ● ●
y
× × × × × × × × ××× × × × × ×× × ×× × × × × × ×× × × × × × × × × × ×
x
x
相关误判为无关
y
× × × × × × ×× × ×× × × ●● × × × × ●●●● × ●
特点： Y ＝α＋β X ①若 Y 是 X 的线性函数，即 ，则有｜ρ｜＝1; ②｜ρ｜≤1； ③若 X , Y 无线性相关关系，则ρ＝0。但ρ＝0并不表示 X , Y 无其他关系，此时，也可能具有明显的非线性关系。 2 样本数据相关系数r 二 几何意义 三 相关系数的近似计算 四 相关系数的显著性检验
1208.88
x 27579 32 861.84375
Lxx L yy Lxy r
…
31 32 ∑
27579
…
891 892
1.55 1.58 48.2
…
793881 795664 23779009
…
2.4025 2.4964 72.6856
y 48.2 32 1.50625
相关系数 r =0的临界值r(α，n-2）表
α n-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0.05 0.99692 0.95000 0.8783 0.8114 0.7545 0.7067 0.6664 0.6319 0.6021 0.5760 0.5529 0.5324 0.5139 0.4973 0.4821 0.4683 0.01 0.99987 0.99000 0.95873 0.91720 0.8745 0.8343 0.7977 0.7646 0.7348 0.7079 0.6835 0.6614 0.6411 0.6226 0.6055 0.5897 α n-2 17 18 19 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 0.05 0.4555 0.4438 0.4329 0.4227 0.3809 0.3494 0.3246 0.3044 0.2875 0.2732 0.2500 0.2319 0.2172 0.2050 0.1946 0.01 0.5751 0.5614 0.5487 0.5368 0.4869 0.4487 0.4182 0.3932 0.3721 0.3541 0.3248 0.3017 0.2830 0.2673 0.2540
2 2 i 2 2 i
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Lyy称y偏差平方和 ③与Lxy同号
13
●
特点 例2
① r 1
②无名数
●
例2 计算例1所给数据的相关系数 解：首先作相关系数计算表如下：
i 1 xi 885 yi 1.59 xi2 783225 yi2 2.5281 xiyi 1407.15
2
828
1.46
685584
2.1316
腐蚀 时间 /s 847 849 850 852 851
腐蚀 深度 /mm 1.50 1.42 1.46 1.52 1.55
序 号 17 18 19 20 21
腐蚀 时间 /s 860 864 865 867 869
腐蚀 深度 /mm 1.50 1.48 1.54 1.57 1.55
序 号 25 26 27 28 29
● ● ● ● ● ● ● ●● ●● ●
y
● ●●● ● ● ●● ● ●
× ×× × × × × × × ×× × × × × × × × × × ×× ××× × × ×× × × × × × × × ×
x
x
10
无关误判为相关
相关图注意事项
y
60 58 56 54 52 50 48 46 44 42 40 810 830 试验条件 y
× × ×× × × × × ×× × ×× × r=1 ×× × × × × × × × r=0 r=0.6 ×× × × × × × × × × × r=-0.9 r=-1 ×× ×× × ×× × × ×
× ×
× × r=0
三 相关系数近似计算
26 1 10 ) sin ( ) 如对例1 r sin( n n 32 2 32 1 ˆ sin ( ) cos ( ) r 15 0 N 2 N sin 56.25 0.833
X 是影响质量指标y的因素，同时还应考虑其它 因素；(用于因果关系分析) 代用质量指标x能在一定程度上反映真实质量指标 y的情况，应当再考察其它代用质量指标；(用于分析质 量指标间的关系) 两因素x、y有一定联系。(用于因素关系分析)
析)
X 不是影响质量指标y的影响因素；(用于因果分
由表可知腐蚀深度与腐蚀时间之间具有线性正相关关系
生产条件
x 850 870 淬火温度/℃ 890 x
带有孤岛的相关图
11
铜的淬火温度与硬度相关图
§6.2 相关系数
一 概念及计算 1 二维随机变量 X , Y 的相关系数 相关系数是描述两个随机变量 X , Y 线性相关关系的数字特征，也称标准 协方差，以ρ记之。 ●计算公式： E X E X Y EY E X X Y Y XY X Y DX DY
● 12
●
计算公式 运用随机变量x, y 的n对样本数据可计算ρ相关系 数的估计值，并以r记之
r
n
Lxy Lxx L yy
n
Lxy ( xi x )( yi y ) xi yi nx y
1 xi yi ( xi )( yi ) n i 1 i 1 i 1
(Ⅱ)
(Ⅰ)
1.50
~ y
1.40
(Ⅲ)
n3=13 820 830 840 850 860 870 腐蚀时间/s n4=3 880 890
(Ⅳ)
900
简易相关检定
6
2x，y将相关图分为四个区域(Ⅰ)、(Ⅱ)、( Ⅲ)、(Ⅳ)，右上为(Ⅰ)区， 按逆时针顺序编号，记录下各区点数和线上点数。本例中n1＝13，n2 ＝3，n3＝13，n4＝3，线上点数＝0。 3计算： N＝n － 线上点数 (n为数据对数)
y x y x y x y x y x
X变大时，y变 小。 (强负相关) X变大时，y大 致变大。 (弱正相关) X变大时，y大 致变小。 (弱负相关) X与y无任何关 系。 (无关)
X是质量指标y的重要因素。通过控制因素x，可达 到控制结果y的目的；(用于因素分析) 代用质量指标x能很好反映真实质量指标y；(用于 分析质量指标间的关系) 两因素x、y有密切联系。(用于因素间关系分析)
31 32
888
891 892
1.57
1.55 1.58
3
1.60 腐蚀深度/mm
1.50
1.40
820
830
840
850 860 870 腐蚀时间/s
880 890
900
腐蚀时间-腐蚀深度相关图
4
相关图的典型形状及用法表 图 形 X与y关系 X变大时，y也 变大。(强正相 关) 主 要 结 论
8
五 应用注意事项
1数据一定要成对出现，否则无法制作相关图。 2数据要先分层，再作相关图，否则会出现判 断失误。 3明确在什么范围内相关。 4对相关图上出现的孤岛要查找原因，加以消 除，才能正确估计变量之间的关系。孤岛点 的出现常常是由于测量错误，数据记录错误 或操作条件变化引起的。
9
第六章 相关图及回归分析
相关关系：两个变量没有确定性的关系，但一个变量发生变化，另一 个也发生相应的变化；或两个变量在各种干扰因素的综合 作用下表现出来的相互关联的关系称为相关关系。 ●相关分析：研究两个变量之间相互关联的程度称为相关分析。 ●相关分析方法： ﹡相关图是研究相关关系的图表法； ﹡回归分析是研究相关关系的数学方法，它帮助人们求得变量之间的 内在联系，以便在生产实践中进 行预测和控制。 §6.1 相关图 §6.2 相关系数 §6.3 一元线性回归 §6.4 一元正交多项式回归 §6.5 多元正交多项式回归
用
“
”或“
”或“·3”、“·4”表示，依此类推。
三 相关图的观察与使用 四 简易相关检定法 五 应用注意事项
·
·
2
腐蚀时间——腐蚀深度数据表
序 号 1 2 3 4 5
腐蚀 时间 /s 885 828 835 835 839
腐蚀 深度 /mm 1.59 1.46 1.40 1.45 1.43
序 号 9 10 11 12 13
n＋＝n1＋n3 n-＝n2＋n4 本例中N＝32，n＋＝26，n-＝6 4确定显著性水平α。一般取α＝0.05，也可取0.01，0.10，0.25。 5查符号检验表，据N和给定的α查出对应的点数界限Sα(N)。本例中， N＝32，若α＝0.05，则可查得S 0.05(32)＝9；若α＝0.01，则可查得 S 0.01(32)＝8。 6检定相关性。将n+，n-中的较小值min(n+，n-)与Sα(N)比较 ，若 min(n+，n-)≤Sα(N)则判定在显著性水平α下x，y相关，反之则
X不能成为真实质量指标的代用质量指标；(用于 分析质量指标间的关系) 5 两因素x、y无关。(用于因素关系分析)
四 简易相关检定法
~ ~ ~ x 1在相关图上分别画出中值线 和 y ，使 x 左右两侧的点数 ~ y 上下两部分的点数大致相同。 大致相同，
~ x
n2=3 1.60 腐蚀深度/mm n1=13
14
23.13125 0.788 10220 .22 0.08435
二 几何意义
与随机变量x，y的相关系数ρ一样，由样本数据计算出的相关系数r也具备如下特征： ｜r｜≤1 ｜r｜越趋近于1，线性相关的程度越强。r越趋于+1，正相关程度越强，r越趋于 -1，负 相关程度越强。 ｜r｜越趋近于0，说明两变量无关或具有非线性关系
…
1381.05 1409.36 41564
…
x
i 1 n i 1 n
n
2 i
2 nx 2 23779009 32 861.84375 10220 .22
y x
i 1
2 i
2 ny 2 72.6856 32 1.50625 0.08435
i
yi nx y 41564 32 861.84375 1.50625 23.13125
7
符号检验表
α n-2 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 0.05 0 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 5 5 5 6 0.01 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 α n-2 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 0.05 6 7 7 7 8 8 9 9 9 10 10 11 11 12 12 12 0.01 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 9 9 10 10 11
● 1
§6.1 相关图
一 概念：为了研究两个变量之间的相关关系，利用两个变量一一对应的数据做出的 坐标图称做相关图 。通过相关图，可以直观地看出两个变量间的大致关系。 二 绘制程序 例1 零件某部位进行化学加工，公差要求是1.5±0.1，现收集不同腐蚀时间下，腐 蚀深度的32组数据(如表)，试作相关图。 (1) 收集数据 ●数据要以(xi，yi)的形式成对出现； ●一般将原因变量作为x，结果变量作为y； ●数据对数 n应为30～50对，本例n=32。 (2) 做坐标系o-xy ●本例中，以腐蚀时间作为x，腐蚀深度作为y。 ●在确定坐标的长度单位时，应使x的散布范围与y的散布范围大致相等，否则 将会影响相关关系的直观性。 (3) 在坐标上描点 依每组数据的数值在坐标系中描点。如有两对数据的点落在 同一位置(即同点)，则用“ ⊙”或“·2”表示，若有三对、四对数据同点，则