2014-2017高考真题 第五章 平面向量

第五章 平面向量

考点1 平面向量的概念及坐标运算

1.(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →

，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC →

1.A[∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →

， ∴AD →

＝－13AB →＋43AC →.]

2.(2015·湖南，8)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →

|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9

2.B [由A ,B ,C 在圆x 2＋y 2＝1上,且AB ⊥BC ,∴AC 为圆直径,故P A →＋PC →＝2PO →

＝(－4，0),设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[-1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(x -6，y ).故|P A →＋PB →＋PC →

|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.]

3.(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A.e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B.e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C.e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)

3.B [法一 若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2

－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，

可以把向量a ＝(3，2)表示出来，故选B.

法二 因为a ＝(3，2)，若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，

所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩

⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1.所以a ＝2e 1＋e 2，故选B.]

4.(2014·安徽，10)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b ).曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b cos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0

A.1

B.1

C.r ≤1

D.1

4.A [由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (x ，y )，则OQ →

＝(2，2)，曲线C ＝{P |OP →＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x 2＋y 2＝1，区域Ω＝{P |0

|≤R ，r

5.（2017•浙江,15）已知向量

、

满足|

|=1，|

|=2，则|

+

|+|

﹣

|的

最小值是________，最大值是________． 5. 4；

记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：| + |=

，

| ﹣ |=

，则x 2

+y 2

=10（x 、y ≥1），其图象为一段圆弧MN ，如图，

令z=x+y ，则y=﹣x+z ，则直线y=﹣x+z 过M 、N 时z 最小为z min =1+3=3+1=4，

当直线y=﹣x+z 与圆弧MN 相切时z 最大，由平面几何知识易知z max 即为原点到切线的距离的

倍，也就是圆弧MN 所在圆的半径的

倍，所以z max =

×

=

．

综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是 ．故答案为：4、

．

6.（2017•江苏,12）如图，在同一个平面内，向量

，

，

的模分别为1，1，

， 与

的夹角为α，且tanα=7，

与

的夹角为45°．若

=m

+n

（m ，

n ∈R ），则m+n=________．

6. 3 如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由

与

的夹角为α，且tan α=7．

∴cos α= ，sin α= ．∴C ．cos （α+45°）= （cos α﹣sin α）= ．

sin （α+45°）= （sin α+cos α）= ．∴B

．∵ =m +n （m ，n

∈R ），∴

=m ﹣

n ，

=0+

n ，解得n=

，m=

．

则m+n=3．故答案为：3．

7.(2016·全国Ⅰ，13)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 7.－2[由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2.]

8.(2015·新课标全国Ⅱ，13)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.

8.1

2

[∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩

⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝1

2.]

9.(2015·北京，13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →

，则x ＝________；y ＝________.

9.12 －16 [MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16

AC →，