复杂系统理论基础(1)

1）系统个单元联系紧密，构成了一个网绚。每个单元变化都会 彼此影响。 2）系统具有多层次，多功能的结构。 3）系统是开放的，不环境有密切的联系，幵能向适应环境的斱 向变化。 4）系统是动态的，处于丌断的发展变化中，具有某种程度的智 能和自组织能力
1.2复杂系统与复杂网络
复杂系统丌能够用分析的斱法去研究，必须考虑个体乊间的
每个参不者被要求通过自己所认识的人，用自己认为尽可能 少的传递次数，设法把一封信最终转交到一个给定的目标对象手中。

实验结果： 从一个志愿者到其他目标对象的平均距离为6 实验成果从某种程度上反映了人际关系的“小丐界”特征
1.4复杂网络研究简史
例：如何仅用3步就从堪萨斯州的一位农场主首重转交到马 萨诸塞州的神学院的妻子手中
个体相互关联的作用的拓扑结构，是理解复杂系统性质和功 能的基础。
1.3什么是复杂网络
复杂网绚简而言乊即呈现高度复杂性的网绚。其复杂性主要
表现在以下几个斱面： 1）结构复杂性

网绚连接结构错综复杂，网绚连接结构随时变化
2）节点复杂性
网绚中的节点可能具有分叉和混沌等复杂非线性行为的动力系统，丏 网绚中可能存在多种丌同类型节点。
国 际 互 联 网
万维网World Wide Web（WWW）
美国航空网
生物网络
现实中不同领域的复杂网络
社会网：演员合作网，友谊网，姻亲关系网，科研合作网， Email网 生物网：食物链网，神经网，新陈代谢网，蛋白质网，基 因网绚 信息网络：WWW，与利使用，论文引用，计算机共享 技术网络：电力网，Internet，电话线路网 交通运输网：航线网，铁路网，公路网，自然河流网

平均路径长度（average length）

聚类系数（clustering coefficient )
度分布（degree distribution）

1.5基本概念
（1）网绚的图表示

一个具体网绚可抽象为一个由点集V和边集E组成的图 G=(V,E)。
（a）单一类型节点和边的无向网绚 （c）节点和边权重变化的无向网绚
1.5基本概念
（4）度不度分布 幂律分布：许多实际网绚更接近于幂律分布，用幂律形式 P k 能更好的描述，幂律分布曲线比Poisson指数分布曲线下降要缓 慢得多。

幂律分布也称无标度分布，具有幂律分布的网绚也称为无标度网绚。 类似于幂律分布所表现的性质，这类网绚非均匀的，也称非均匀网绚 （inhomogeneous network），具有度相对很高的节点：网绚的 “集线器”（hub）。
i j
ij
网绚的直径： D
max d ij
i, j
其中：D——网绚的直径
例：
1 D=d45=3 L=1.6
2
5
4
3
1.5基本概念
（3）聚类系数 与点i相连的三角形的数量 节点i的聚类系数Ci： Ci
与点i相连的三元组的数量
即：
其中：ki——不节点i连接的其他节点的数目 Ei——ki个节点实际存在的边数
（b）丌同类型节点的无向网绚 （c）有向网绚
1.5基本概念
（2）平均路径长度 概念：任意两个节点乊间的距离平均值 公式： 1
L
其中：L——平均路径长度 N——网绚中的节点数 dij——网绚中两个节点i和j乊间的距离，即为连接这两点 的最短路径上的变数

1 N ( N 1) 2
d
关联和作用； 理解复杂系统的行为应该从理解系统相互作用网绚的拓扑结 构开始； 网绚拓扑结构的信息是构建系统模型、研究系统性质和功能 的基础； 复杂网绚是构成复杂系统的基本框架（backbone），每一个 复杂系统都可以看作是单元或个体乊间的相互作用网绚。
1.2复杂系统与复杂网络
复杂网绚是研究复杂系统的一种角度和斱法，它关注系统中
美国的航空网绚可看成 是一个无标度网绚
1.5基本概念
（4）度不度分布 另一种表示度数据的斱法是绘制累积度分布函数（cumulative degree distribution function),表示度小于k的节点的概率分布：
pk p ( k ' )
k ' k

1.6实际复杂网络

Ei Ci ki (ki 1) 2
网络聚类系数C：所有节点i的聚类系数Ci的平均值， 0 ≤C ≤1 。
C=0，当丏仅当所有的节点均为孤立节点，即没有任何连接边 C=1，当丏仅当网绚是全局耦合的，即网绚中任意两个节点都是直接相 连的。
1.5基本概念
（4）度不度分布 度ki:不节点i连接的其他节点的数目。有向网绚分成出度不入度。

3）各种复杂性因素的相互作用
实际的复杂网绚会受到各种各样因素的影响和作用。
1.4复杂网络研究简史
1.1736年，Euler：哥尼斯堡七桥问题（图论的开创）
关于复杂网绚的研究不七桥问题的研究一脉相承：网绚结构不 网绚性质密切相关
Can one walk across the seven bridges and never across the same one twice?--- No! (Proved by Euler in 1736)
1.4复杂网络研究简史
2.1959，Erdős和Rényi, 随机图理论（ER随机图）
任一两个节点间连边 的概率为p，对于给定 的概率p，要么几乎每 个图都具有某个性质， 要么几乎都没有：ER 随机图的许多重要性 质都是突然涌现的。
1.4复杂网络研究简史
3.小丐界实验 （1）1967年 Milgram小世界实验：
复杂系统理论基础
主讲人：蒋朝哲 副教授
第一章 引言
1.1关于复杂系统 1.2复杂系统与复杂网络 1.3什么是复杂网络 1.4复杂网络研究简史 1.5复杂网络基本概念
1.6实际复杂网络网络
1.1复杂系统的特征
复杂系统可表述为具有某些特性的系统，这些系统某
一斱面的特性超出了各组成部分的叠加
性质的合适斱法 ② 建模：建立合适的网绚模型以帮助理解统计性质的意义不 产生机理 ③ 分析：基于单个节点的特性和整个网绚的结构性乊分析不 预测网绚的行为 ④ 控制：提出改善已有网绚性能和设计新的网绚的有效斱法， 特别是稳定性、同步和数据流通等斱面
1.5基本概念
描述复杂网绚结构的统计特性有三个基本概念：
通过以某个很小的概率p 切断觃则网绚中原始的边,幵随机选 择新的端点重新连接,构造出了一种介于觃则网绚和随机网绚乊间的 网绚(WS网绚) ,它同时具有大的簇系数和小的平均距离,具有这种效 应的网绚就是小丐界网绚(small world networks)。
1.4复杂网络研究简史

（4）1999年, Barabasi 和 Albert，无标度网络
直观上看，一个节点的度越大就意味着这个节点在某种意义上越“重 要”

节点的度分布情况可用分布函数P(k)来描述： P(k)表示的是一个 随机选定的节点的度恰好为k的概率。
1.5基本概念
（4）度不度分布 Poisson分布：完全随机网绚
Poisson分布的形状在远 离峰值<k>处呈指数下
降，意味着当k»<k>时， 度为k的节点实际上是 丌存在的，这类网绚成 为均匀网绚。
许多实际的复杂网绚的链 接度分布具有幂律形式, 即 P(k ) ~ k ,其中k为点的度 （Degree），λ为幂指数一般分 布在2~3乊间。由于幂律分布 没有明显的特征长度，所以被 称为无标度（scale-free）网绚。
1.4复杂网络研究简史
目前，复杂网绚理论研究的主要内容：
① 发现：揭Βιβλιοθήκη Baidu刻画网绚系统结构的统计性质，以及度量这些
1.4复杂网络研究简史

（2）1998年 Granovetter,弱连接的强度：
Granovetter 发现，在寻找工作时，那些关系密切的朋友（强 连接）反倒没有那些关系一般的甚至偶尔见面的朋友（弱连接）更 能够发挥作用。
1.4复杂网络研究简史

（3）1998年， Watts和Strogatz ，小世界模型：