第2讲 动能定理及其应用

A．a＝2(mgmRR－W) C．N＝3mgRR－2W
B．a＝2mgmRR－W D．N＝2(mgRR－W)
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解析：选 AC．质点 P 下滑过程中，重力和摩擦力做功，根据动能定理可得 mgR－ W＝12mv2，又 a＝vR2，联立可得 a＝2(mgmRR－W)，A 正确，B 错误；在最低点重力和支持 力的合力充当向心力，根据牛顿第二定律可得 N－mg＝ma，代入可得 N＝3mgRR－2W， C 正确，D 错误．
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二、教材习题及改编
1．(鲁科版必修 2·P27·T1 改编)(多选)关于动能，下列说法正确的是(
)
A．公式 Ek＝12mv2 中的速度 v 一般是物体相对于地面的速度
B．动能的大小由物体的质量和速率决定，与物体运动的方向无关
C．物体以相同的速率向东和向西运动，动能的大小相等但方向不同
D．物体以相同的速率做匀速直线运动和曲线运动，其动能不同
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第 2 讲 动能定理及其应用
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C 必备 知识 落实
一、动能 1．公式：Ek＝12mv2，式中 v 为瞬时速度，动能是状态量． 2．矢标性：动能是_标___量__，只有正值，动能与速度的方向_无__关___． 3．动能的变化量：ΔEk＝12mv22－12mv21. 4．动能的相对性 由于速度具有_相__对__性___，则动能也具有_相__对__性___，一般以__地__面__为参考系．
4. (动能定理在曲线运动中的应用)(多选)如图所示，一固定容器的内壁是半径为 R 的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为 m 的质点 P.它在容器内壁由静止下滑到 最低点的过程中，克服摩擦力做的功为 W.重力加速度大小为 g.设质点 P 在最低点时， 向心加速度的大小为 a，容器对它的支持力大小为 N，则( )
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2．(动能定理求解变力做功)如图所示，竖直平面内放一直角杆 MON，OM 水平，
ON 竖直且光滑，用不可伸长的轻绳相连的两小球 A 和 B 分别套在 OM 和 ON 杆上，B
球的质量为 2 kg，在作用于 A 球的水平力 F 的作用下，A、B 均处于静止状态，此时
OA＝0.3 m，OB＝0.4 m，改变水平力 F 的大小，使 A 球向右加速运动，已知 A 球向右
B．tan θ 和 4H D．2vgH2 －1tan θ 和 4H
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解析：选 D．由动能定理得 mgH＋μmgcos θ·siHn θ＝12mv2，mgh＋μmgcos θ·sinh θ ＝12m(2v)2，联立解得 h＝4H，μ＝2vg2H－1tan θ，选项 D 正确．
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4．适用条件 (1)动能定理既适用于直线运动，也适用于_曲__线__运__动___． (2)既适用于恒力做功，也适用于_变__力__做__功___． (3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以_不__同__时__作__用___．
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1．动能是标量，12mv2 中的 v 指物体的合速度，动能定理中的功指所有力做的总功， 所以不能把速度分解到某个力的方向上应用动能定理．
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2．应用动能定理的流程
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3．应用动能定理的注意事项 (1)动能定理中的位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面或相对地面 静止的物体为参考系． (2)应用动能定理的关键在于对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画 出运动过程的草图，借助草图理解物理过程之间的关系． (3)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题 不涉及中间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解，这样更简便． (4)列动能定理方程时，必须明确各力做功的正、负，确实难以判断的先假定为正功， 最后根据结果加以检验．
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C 13 关键 能力 突破 考点一 对动能定理的理解
自主学习
1．对动能定理的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程，动能定理表达式中“＝”的意义是一种因果关
系在数值上相等的符号．
(2)动能定理中的“力”指物体受到的所有力，既包括重力、弹力、摩擦力，也包括 电场力、磁场力或其他力，功则为合力所做的总功．
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3．(动能定理在直线运动中的应用)一物块沿倾角为 θ 的斜坡向上滑动，当物块的初 速度为 v 时，上升的最大高度为 H，如图所示；当物块的初速度为 2v 时，上升的最大 高度记为 h.重力加速度大小为 g.物块与斜坡间的动摩擦因数 μ 和 h 分别为( )
A．tan θ 和 2H C．2vg2H－1tan θ 和 2H
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1．(对动能和动能定理的理解)关于动能概念及动能定理表达式 W＝Ek2－Ek1 的说法
中正确的是(
)
A．若物体速度在变化，则动能一定在变化
B．速度大的物体，动能一定大
C．W＝Ek2－Ek1 表示功可以变成能
D．动能的变化可以用合力做的功来量度
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解析：选 D．速度是矢量，而动能是标量，若物体速度只改变方向，不改变大小， 则动能不变，A 错误；由 Ek＝12mv2 知 B 错误；动能定理表达式 W＝Ek2－Ek1 表示动能 的变化可用合力做的功量度，但功和能是两个不同的概念，有着本质的区别，故 C 错误， D 正确．
【题后反思】 动能是标量，功也是标量，所以动能定理是一个标量式，不存在方 向的选取问题．当然动能定理也就不存在分量的表达式．
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考点二 应用动能定理求解多过程问题
师生互动
1．首先需要建立运动模型，选择合适的研究过程能使问题得以简化．当物体的运
动过程包含几个运动性质不同的子过程时，可以选择一个、几个或全部子过程作为研究
2．动能与动能的变化是两个不同的概念，动能是状态量，动能的变化是过程量．动 能为非负值，而动能变化量有正负之分．ΔEk＞0 表示物体的动能增加，ΔEk<0 表示物体 的动能减少．
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3．应用动能定理时，物体的位移、速度都应以地面或相对地面静止的物体为参考 系．
4．动能定理是标量关系式，应用动能定理时不用规定正方向，但要明确相应过程 中各力做功的正负，无法确定正负的假设为正功，然后代入计算，根据结果再行判断．
解析：选 AB．动能是标量，与速度的大小有关，而与速度的方向无关．公式中的 速度一般是相对于地面的速度，故 A、B 正确．
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2．(多选)一个质量为 0.3 kg 的弹性小球，在光滑水平面上以 6 m/s 的速度垂直撞到
墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前相同，则碰撞前后小球
过程．
2．当选择全部子过程作为研究过程，涉及重力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，
要注意运用它们的做功特点：
(1)重力的功取决于物体的初、末位置，与路径无关．
(2)大小恒定的阻力或摩擦力的功等于力的大小与路程的乘积．
3．专注过程与过程的连接状态的受力特征与运动特征(比如：速度、加速度或位移)．
4．列整体(或分过程)的动能定理方程．
速度变化量的大小 Δv 和碰撞过程中小球的动能变化量 ΔEk 为(
)
A．Δv＝0
B．Δv＝12 m/s
C．ΔEk＝1.8 J
D．ΔEk＝0
解析：选 BD．取初速度方向为正方向，则 Δv＝|(－6)－6|m/s＝12 m/s，由于速度 大小没变，动能不变，故动能变化量 ΔEk＝0，故选项 B、D 正确．
5．动能定理研究的对象是单一物体(质点)或者是可以看成单一物体(质点)的物体 系．对于运动状态不同的物体，应分别应用动能定理列式求解．
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一、易混易错判断 1．一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变 化．( √ ) 2．动能不变的物体一定处于平衡状态．( × ) 3．如果物体所受的合外力为零，那么合外力对物体做功一定为零．( √ ) 4．物体在合外力作用下做变速运动时，动能一定变化．( × ) 5．物体的动能不变，所受的合外力必定为零．( × ) 6．做自由落体运动的物体，动能与时间的二次方成正比．( √ )
(2)滑草车通过上段滑道末端时速度最大，由动能定理得
mgh－μmgcos 45°sinh45°＝12mv2m
解得 vm＝
2gh 7.
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(3)对全过程，根据动能定理得 2mgh－μmgcos 45°sinh45°－μmgcos 37°sinh37°＝12mv2 解得 v＝0 说明滑草车刚好到达下段滑道的最底端．
定小于拉力所做的功， 但与克服摩擦力所做的功大小关系不确定， 选项 A 正确．
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4．(多选)质量不等，但有相同动能的两个物体，在动摩擦因数相同的水平地面上滑 行，直至停止，则( )
A．质量大的物体滑行的距离大 B．质量小的物体滑行的距离大 C．它们滑行的距离一样大 D．它们克服摩擦力所做的功一样多 解析：选 BD．由动能定理可知，摩擦力对物体所做的功等于物体动能的变化量， 因两物体具有相同的初动能，故两物体滑行过程中克服摩擦力所做的功也相同，又 Wf ＝μmgx 可知，质量越大的物体，滑行的距离 x 越小，故选项 B、D 正确．
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3.如图所示，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有
某一速度．木箱获得的动能一定(
)
A．小于拉力所做的功
B．等于拉力所做的功
C．等于克服摩擦力所做的功
D．大于克服摩擦力所做的功
解析：选 A．分析木箱在运动过程中的受力情况，其受重力、拉力、支持力和摩擦
力. 根据动能定理可得 WF－Wf＝12mv2－0, 又知道摩擦力做负功，则木箱获得的动能一
运动 0.1 m 时速度大小为 3 m/s，则在此过程中绳的拉力对 B 球所做的功为(g 取 10
m/s2)(
)
A．11 J
B．16 J
C．18 J
D．9 J
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解析：选 C．A 球向右运动 0.1 m 时，vA＝3 m/s，OA′＝0.4 m，OB′＝0.3 m，设此 时∠B′A′O＝α，则有 tan α＝34.A、B 两球沿绳方向速度相等，有 vAcos α＝vBsin α，解得 vB＝4 m/s.此过程中 B 球上升高度 h＝0.1 m，由动能定理，W－mgh＝12mv2B，解得绳的 拉力对 B 球所做的功为 W＝mgh＋12mv2B＝2×10×0.1 J＋12×2×42 J＝18 J，选项 C 正 确．
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二、动能定理 1．内容：合外力对物体所做的功等于物体_动__能__的__变__化___． 2．表达式：W＝ΔEk＝12mv22－12mv21. 3．功与动能的关系 (1)W>0，物体的动能_增__加___． (2)W<0，物体的动能_减__少___． (3)W＝0，物体的动能_不__变___．
(1)求滑草车在下段滑道上运动的加速度； (2)求滑草车在整个运动过程中的最大速度； (3)请通过计算来判断滑草车能否到达下段滑道的最底端．
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解析：(1)滑草车在下段滑道上运动过程，根据牛顿第二定律得
mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma
解得 a＝gsin 37°－μgcos 37°＝－67g0＝－335g “－”表示加速度方向沿下段滑道向上．
答案：(1)335g，方向沿下段滑道向上 (2)
2gh 7
(3)能
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【题后反思】 解答多过程问题的四点技巧 (1)首先要建立模型，判断物体运动过程中做了哪些运动，如直线运动、平抛运动、 圆周运动等． (2)其次分析各个运动过程中物体的受力情况以及运动情况，判断物体运动过程中有 没有需要特别注意的临界点、隐含条件等(如竖直平面内的圆周运动中物体在最高点的临 界条件，平抛运动中是分解速度还是分解位移、是否要用到斜面的倾角以及有关推论等)． (3)然后抓住模型之间的联系纽带(是速度、加速度，还是位移等)，同时关注在什么 位置当成动能定理中的初态和末态． (4)最后根据实际情况分阶段或整体利用动能定理进行列式计算．
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如图所示为一滑草场某条滑道的侧面图，由高均为 h、与水平面的夹角分别 为 45°和 37°的两段直滑道组成．一辆滑草车由静止开始从上滑道顶端处滑下，不计车在 滑道交接处的能量损失．已知滑草车与上、下滑道草地之间的动摩擦因数 μ＝67，重力加 速度为 g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.