测量学(第二版)第六章

测量学第六章作业 P94 – 95

1.测量误差的主要来源有哪些？测量误差分哪两类？它们的区别是

什么？

误差的主要来源有观测者、仪器以及外界。测量误差可分为系统误差和偶然误差。

区别：系统误差的符号及大小表现出一致性，即按一定的规律变化，而偶然误差的符号和大小都没有表现出一致性，即在表面上看不出任何规律；也因此系统误差可根据其规律性采取各种方法加以消除或减弱，而偶然误差是不可避免的。

2.偶然误差有哪些特性？试根据偶然误差的四个特性，说明等精度

直接观测值的算术平均值就是该观测值的最可靠值。

偶然误差具有如下特性：

①在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；

②绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；

③绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等；

④当观测次数无限增多时，偶然误差的算术平均值趋近于零。

等精度观测中，左右的测量值都是分布在实际值周围成正态分布，由特性三可知，绝对值相等的正误差与负误差出现的概率相等，因此算术平均值可以中和这些偏差，并且测量次数越多算术平均值可以越接近这个实际值。

3.何谓精度？试解释作为衡量精度指标的中误差、极限误差的概率

含义。

精度是指误差分布的密集或离散程度，也就是指离散度的大小。

中误差σ的概率含义是：的概率意义是：对任意一个观测值l i，它的真误差Δi落在由它的中误差σ组成的区间[-σ, σ]内的概率是0.683，或者说，当n=100时，落在区间[-σ, σ]内的真误差的个数约有68个。

极限误差的概率含义是：由于p{-σ<Δ<σ}=0.683,p{-2σ<Δ<2σ}=0.955,

p {-3σ<Δ<3σ}=0.997,即在一组等精度观测值中，真误差的绝对值大于一倍中

误差σ的个数约占整个误差的32%，大于两倍中误差σ的个数约占4.5%，大于三倍中误差σ的个数只占0.3%。由于大于三倍中误差σ的真误差的个数只占0.3%，即1000个真误差中，只有三个绝对值可能超过三倍中误差σ的真误差，从数理统计学的角度讲，这种小概率事件为实际上的不可能事件，故通常以三倍中误差为真误差的极限误差，即Δ极=3σ≈3|m|。

4. 设有一 n 边形，各内角的观测中误差为m ，试求该n 边形内角和的中误差。

解：由题可知，n 边形各内角的观测中误差为m ，对于内角和应用误差传播定律的计算式，得n 边形内角和的中误差

m

n m n m m m m s ±=⋅±=+++±=2222

8.对一距离测量了六次，观测结果分别为：246.535m 、246.548m 、246.520m 、246.529m 、246.550m 、246.537m ，试计算其算术平均值、算术平均值的中误差及相对误差。

解：设观测值的改正数为υi ,算术平均值为

L ，则

编号 观测结果 υ υυ

1 246.535 1.5×10-3

2.25×10-6

2 246.548 -11.5×10-3

132.25×10-6

3 246.520 16.5×10-3 272.25×10-6

4 246.529 7.5×10-3 56.25×10-6

5 246.550 -13.5×10-3 182.25×10-

6 6 246.53

7 -0.5×10-3 0.25×10-6 L=246.5365

[υ]=0

[υυ]=645.5×10-6

如上表，测量结果的算术平均值为

5365

.2466

537

.246550.246529.246520.246548.246535.246=+++++=

L 测量结果算术平均值的中误差为

[]

()3

6

106386.4166105.645)1(--⨯±=-⨯±=-±=±=n n n

m

m L υυ 测量结果算术平均值的相对误差为

5

3L 108815.15365.246|

106386.4||m |--⨯=⨯±==L K

9.某水平角以等精度观测四个测回，观测结果分别为

55°40′47″、55°40′40″、55°40′42″、55°40′46″，试求各观测值的一测回的中误差、算术平均值及其中误差。

解：设观测值的改正数为υi ,算术平均值为

L ，则

编号 观测结果 υ υυ 1 55°40′47″ -3.25″ 10.5625 2 55°40′40″ 3.75″ 14.0625 3 55°40′42″ 1.75″ 3.0625 4 55°40′46″ -2.25″ 5.0625

L=55°40′43.75″

[υ]=0

[υυ]=32.75

所以，各观测值的一测回的中误差为

[]″9.11475

.321

±=-±

=-±

=n m L υυ

如上表，测量结果的算术平均值为

=L 55°40′43.75″

测量结果算术平均值的中误差为

[]

()″

6.114475

.32)

1(±=-±

=-±

=±

=n n n

m m L υυ

10.如图6-4所示，采用全站仪测得α=150.112m ±0.005 m,

∠A=55°32′08″± 6″,∠B=61°29′47″± 6″,试计算边长c 及其中误差。

解：∠C=180°-∠A-∠B

=180°-55°32′08″-61°29′47″ =62°58′05″ 其中∠C 的中误差为6″ 所以∠C=62°58′05″±6″ 由正弦定理可知

c a C

sin A sin ∠∠=

sin55°32′08″/150.112 = sin62°58′05″/c 所以，边长 c = 156.762 m

已知，m a =±0.005m , m ∠B =±6″, ρ″=180°/π =206265″ 应用误差传播定律的计算式，得边长c 的中误差为

()

2

2

sin cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

⋅⋅+⋅=

″m ∠B m ∠B ∠B a ρa m

c

= 0.0045 m