可化为一元一次方程的分式方程(1)---分式方程及其解法

做一做
4.解关于
x 的分式方程：
1 3k k x 1
无解,求
xm xn 2m n 0 xn xm
5.已知分式方程
k
的值.
做一做 6.已知
4x 1 A B , 求A，B的值。 x 2x 5 x 5 x 2 3 6 xk 7.k 为何值时,分式方程 0 x x 1 xx 1
探究分式方程产生增 根的原因
在将分式方程变形为整式方程时，方程 两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了 分母，有时可能产生不适合原分式方程的解 （或根），这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验.
那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？
探究分式方程产生增 根的原因
对于原分式方程的解来说，必须要求使 方程中各分式的分母的值均不为零，但变形 后得到的整式方程则没有这个要求.如果所 得整式方程的某个根，使原分式方程中至少 有一个分式的分母的值为零，也就是说使变 形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的 值为零，它就不适合原方程，即是原分式方 程的增根.
(1) x y 5 x 2 2y z ( 2) 5 3 1 (3) x y ( 4) 0 x5 1 (5) 2 x 5 x
分析：根据定义可得： (1)、(2)是整式方程， (3)是分式，(4)(5) 是分式方程．
做一做
下列方程哪些是分式方程：
x 3 3x 4 x 3 (1) 0 (4) 2 x 4 9 x 14 x 1 x 3 x 1 x2 (5) 2 1 (2) 4x x x 2 (6) 1 (3) 2 3 0 y x 1
80 60 x 3 x3
解：方程两边同乘以（x+3）(x-3)，约 去分母，得 80（x-3）=60(x+3). 解这个整式方程，得 x=21. 所以轮船在静水中的速度为21千米/时.
思考：这类方程还可以利用什么方法去分母？ 利用比例的基本性质，交叉相乘
分式方程的解法
概 括： 上述解分式方程的过程，实质上是将方程 的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式 方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常 取方程中出现的各分式的最简公分母.
( x 3),
得 x 2 2( x 3) a
3 4 a, a 1. ∴当 a 1 时,原方程产生增根.
∴
及时训练
1.若方程
求m的值。
分析：去分母得，6 - m(x+1)=(x+1)(x-1) 若方程有增根，那么(x+1)(x-1)=0 即：x=-1或x=1，将 x=-1代入去分 母后的整式方程可知， x=-1不是整 式方程的解，所以x=-1不是原分式方 程的增根，所以当x=1时，m = 3。
做一做
2.解方程
4 1 1 0 x x 1
x x 2 1 2 x 1 x 1
2 x 5 5x 4 1 3 3x 6 2 x 4 2
3 2 6 4 2 2 2 x x x x x 1 1 1 5 ( x 2)(x 3) ( x 4)(x 5)
分式方程的解法
1、思考:分式方程 80
为了解决这个问题，请同学们先思考并回答 以下问题： 1）回顾一下一元一次方程时是怎么去分母的， 从中能否得到一点启发？ 2）如何去掉分式方程的分母把它转化为整式 方程呢？ 3）去分母的依据是什么？
60 怎样解呢？ x 3 x3
分式方程的解法
试一试：解方程
狗、公鸡和狐狸
狗与公鸡结交为朋友，他们一同赶路。到了晚 上，公鸡一跃跳到树上，在树枝上栖息，狗就在下 面树洞里过夜。黎明到来时，公鸡像往常一样啼叫 起来。有只狐狸听见鸡叫，想要吃鸡肉，便跑来站 在下，恭敬地请鸡下来，并说：“多么美的嗓音啊！ 太悦耳动听了，我真想拥抱你。快下来，让我们一 起唱支小夜曲吧。”鸡回答说：“请你去叫醒树洞 里的那个看门守夜的，他一开门，我就可以下来。” 狐狸立刻去叫门，狗突然跳了起来，把他咬住撕碎 了。 这故事说明，聪明的人临危不乱，巧妙而轻易 地击败敌人。
（试一试）
x 5 1 解： (1)1 , 4 x x4
方程两边同乘以
x 4,
检验：把x=5代入 x-4， 得x-4≠0
得， x 4 x 5 1
∴x=5是原分式方程的解.
解得：x 5
例题讲解
x2 16 x2 2 (2) x2 x 4 x2
解：方程两边同乘以 2
课堂小结
解分式方程的注意点： （1）去分母时,先确定最简公分母；若分母 是多项式,要进行因式分解； （2）去分母时,不要漏乘不含分母的项； （3）最后不要忘记验根。
课堂练习
3- x 1 1.方程 2的解是x ______ x
x 1 2. 已知分式 的值是零，那么x的值 x 1 x 1 是_______
可化为一元一次方程的分式方程 ---分式方程及其解法
复习提问
1、什么叫做方程？什么是一元一次方程？什么 是方程的解？ 2、解一元一次方程的基本方法和步骤是么？ 3、分式有意义的条件是什么？ 4、分式的基本性质是怎样的？
情境导入
轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆 水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速 度是3千米/时，求轮船在静水中的速度. 解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根 据题意，得
一 定 要 检 验 哟
例题讲解
1 1 1 1 例3 解方程： . x4 x7 x3 x6
解： 方程两边分别通分 x7 x4 x 6 x 3 得， ( x 4)(x 7) ( x 3)(x 6) 3 3 即， ( x 4)(x 7) ( x 3)(x 6) ∴
有根?
课堂小结
1、什么是分式方程？举例说明. 2、解分式方程的一般步骤： a、在方程的两边都乘以最简公分母，约去 分母，化为整式方程; b、解这个整式方程; c、检验，即把整式方程的根代入最简公分 母，看结果是否等于零，若最简公分母不等于 零，则是原方程的根，否则就是原方程的增根， 必须舍去． 3、解分式方程为什么要进行验根？怎样进 行验根？
例题讲解
例1 解方程：
1 2 2 x 1 x 1
解:方程两边同乘以（x2-1）,约去分母，得 x+1=2 解得： x=1 2 注 ，得 检验：把x=1代入 x 1 意 2 x 1 0 格 式 ∴ x=1是原分式方程的增根. 哟 ∴原分式方程无解.
例题讲解
例2 解方程：
x5 1 (1)1 4x x4
作业
3.解方程
1 2 4 3 1 2 2 1 x 1 x 1 x 1 2x 5 x 2 x 2x 1 x2 3 2 x 2 3 x x 5x 6 x3 1 x3 1 4 2 x 1 x 1
1 1 1 1 (5) . x 8 x 9 x 5 x 6
所以，解方式方程的关键是去分母，化 为整式方程。
例题讲解
1 2 2 例1 解方程： x 1 x 1
. 解:方程两边同乘以（x2-1）,约去分母，得 x+1=2. 解这个整式方程，得 x=1. 事实上，当x=1时，原分式方程左边和右边的分 母（x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的两个分 式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的根，应 当舍去. 为什么出现这 所以原分式方程无解. 种情况？
探究分式方程的 验根方法
解分式方程进行检验的关键是看所求得的 整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分 母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所 乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为 零.如果为零，即为增根. 如例1中的x=1，代入x2－1＝0，可知x=1 是原分式方程的增根. 有了上面的经验，我们再来完整地解例1中的 分式方程。
6 m 1 （x 1)( x 1) x 1
有增根，
1 a 1 b 2.解关于 的分式方程 a b a x b x
x
解:去分母,方程两边同乘以
2
abx,
2
得 b x a b ax ab
移项,得 ∴ ∵
2
bx ax ab a b
2
b ax abb a
去括号，得
2
( x 2)(x 2),
2
得
( x 2) 16 ( x 2) 2 ,
x 4x 4 16 x 4x 4,
整理，得 8x=-16
解得：x 2.
检验：把x=-2代入 x2-4， 得x2-4=0。 ∴x=-2是原分式方程的增根. ∴原分式方程无解.
x 3x 6 x 4x 7
解得： x
强调：检 验根的另 一种写法。
5
经检验 ∴
x 5 是原分式方程的根 x 5 是原分式方程的解。
拓展应用
x2 a 当a为何值时,方程 x 3 2 3 x 有增根?
解:去分母,方程两边同乘以 解得 ： x 4 a ∵方程有增根, ∴ x 3 0,即x 3.
80 60 x 3 x3
这个方程有何特点？
分式方程的定义
方程
80 60 中含有分式，并且分 x 3 x3
母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. •分式方程的主要特征： （1）含有分式 ；（2）分母中含有未知数。
你还能举出一个 分式方程吗？
考x ab x ab 是原分式方程的根.
∴ 经检验 ∴x=ab原分式方程的解
做一做
1.判断：
x 1 2 1方程 2 1的解是x 2； x x x 1 2方程 的解是x 1； x 1 x 1 x 1 3把分式方程 2 化为整式方程得 x 2 1； x2 2 x 1 x 1 4把分式方程 2 化为整式方程时， x 1 （ 2 x 1 ） （ 4 x 1 ） 两边应同时乘以 （ 8 x2 1 ） （ x 1 ） （ x 1 ）。