高等数学微分方程试题

第十二章 微分方程

§12-1 微分方程的基本概念

一、判断题

1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( )

2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( )

3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( )

4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ）

5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ）

二、填空题

1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。

2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。

3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y

x=0=0, y 'x=0=1的曲线是 。 三、选择题

1．下列方程中 是常微分方程

（A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ∂∂+22y

a ∂∂=0 （D ）、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程

（A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx

3.微分方程22dx

y d +w 2y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx

4. C 是任意常数，则微分方程y '=323y 的一个特解是

（A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3

四、试求以下述函数为通解的微分方程。

1．22C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数）

五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。

12-2可分离变量的微分方程

一、求下列微分方程的通解

1．sec2.tacydx+sec2ytanxdy=0

2．(x+xy2)dx-(x2y+y)dy=0

3．(e x+y-e x)dx+(e x+y-e y)dy=0

4．y'=cos(x-y).(提示令.x-y=z)

二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解

π

1．cosydx+(1+e-x)sinydy=0. y x=0=

4

2.

1.1sec 232-==+=πx y xdx dy y x

三 、设f(x)=x+⎰x

0f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)

四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。

五、船从初速v 0=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。

12-3 齐次方程

一、求下列齐次方程的通解

1 y x '-xsin 0=x y

2 (x+ycos )x y dx-xcos x

y dy=0

二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解

1．xy ax dy =x 2+y 2 y x=e =2e 2.x 2dy+(xy-y 2)dx=0y x=1=1

三、求方程：（x+y+1）dx=(x-y+1)dy 的通解

四、设有连结点O(0，0)和A （1，1）一段向上凸的曲线孤A O ⋂对于A O ⋂上任一点

P （x ，y ）,曲线孤与P O ⋂直线段OP -所围图形的面积为x 2，求曲线孤A O ⋂

的方程。

12.4 一阶线性微分方程

一、求下列微分方程的通解

1.x y '+y=xe x

2.y '+ytanx=sin2x

3.y '+

x x y x sin 1= 4.y e y x y dx dy 3+=

二、求下列微分方程满足初始条件的特解

1．y 'cosy+siny =x y

40π==x 2.(2x+1)e y y '2e y =4 y 00==x

三、已知f(π),曲线积分b a ⎰[]dy x f dx x

y x f x )()(sin +-与路径无关，求函数f(x).

四、质量为M 0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m 克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。

五、 求下列伯努利方程的通解

1．y ′+

x y x

=12y 5 2. xy ′+y-y 2lnx=0

12-4全微分方程

一、求下列方程通解

1．[cos(x+y2)+3y]dx+[2ycos(x+y2)+3x]dy=0

2.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0

3.e y dx+(xe y-2y)dy=0

二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解

1 ydx-xdy+y2xdx=0

2 y(2xy+e x)dx-e x dy=0

三、[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy=0为全微分方程，其中函数f(x)连续可微，f(0)=0,试求函数f(x)，并求该方程的通解。