《整式乘法》中的思想方法与思维技巧

1、《整式》中的思想方法与思维技巧

2、整式的乘法新题例析

3、完全平方公式要点精析

4、因式分解经典试题分析

5、因式分解中常见的错误辨析

6、整式除法运算新题放送

7、正确理解与灵活运用乘法公式

8、因式分解在赛题中的应用

9、整式的乘法错解剖析

10、聚焦特征，活用乘法公式

1、《整式》中的思想方法与思维技巧

本章中蕴含着丰富的数学思想，下面以例说明如何运用这些数学思想指导我们解决问题．

1、“特殊→一般→特殊”的思想方法

在本章中，许多性质与法则的得出，都是先举出一些具体的例子，然后找出它们的共同特征，加以推广，概括出一般化的结论，再把所得结论应用于具体的解题过程中。例如：同底数幂的乘法的性质．

2、分类讨论的数学思想方法

例如：多项式4x2＋1加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，那么这个单项式是什么？

析解：根据已知多项式的特点，我们可以把添加的单项式分为：①四次式(可添4x4)，

②二次式(添－4x2)，③一次式(±4x)，④常数(－1)．

3、数形结合的数学思想方法

多项式的乘法常常可以看作是某种图形的面积，本章有许多这样数形结合的例子．例如：课本P180，根据图形面积说明平方差公式．P182，根据图形面积说明完全平方公式．

例．如图是用四张相同的矩形拼成的图形，请你利用图

中的阴影部分的不同表示方法，写出一个关于a、b的恒等

式：．

析解：因大正方形的边长为a ＋b ，小正方形的边长为a －b ，

所以(a ＋b )2－(a －b )2＝

（a 2＋2a b ＋b 2）－（a 2－2a b ＋b 2）＝4a b ．

故填：(a ＋b )2－(a －b )2＝4a b ．

4、整体代入的思想方法

例如课本P185页第7题：已知a ＋b ＝5，a b ＝3，求a 2＋b 2的值．

析解：直接求出a 、b 的值有一定的困难，但可对所求代数式a 2＋b

2，我们可添项，变为：a 2＋2a b ＋b 2－2a b ＝(a ＋b )2－2a b ，然后整体代入求值．

5、逆向思维技巧

由于整式的乘除及因式分解都是恒等变形的过程，因此恰当地利用本章的一些性质、

法则、公式进行逆向解题，常常可以起到简化运算，化难为易的作用．

例如课本P193第7题：已知2m ＝a ，32n ＝b ，求2310m n +．

析解：先逆用幂的乘方：mn n m a a =)(，再逆用积的乘方：n n n b a ab =)(．

由2m ＝a ，得(2m )3＝a 3，即23m ＝a 3，

由32n ＝b ，得(2

5n )2＝b 2，即210n ＝b 2， ∴ 2310m n +＝23m ·210n ＝a 3b 2．

由此可见正确地运用数学思想方法往往可使问题化繁为简、化难为易，起到事半功

倍之效．

2、整式的乘法新题例析

整式的乘法是本章的重要内容，也是中考试题中常见的题型，下面请欣赏几例．

一、定义运算类

例1．（吉安市） 如果“三角形”表示，“方框”表示，

求 ×的值。

【分析】这是一道定义新的运算，按定义的规则代入运算即可，考查了学生对问题的理

解运用能力。

解： ×＝9m n ×(－42n 5m )＝－366m 3

n ．

二、数形结合类

例2．如图甲是一个平行四边形，将其裁成四个相同的等腰梯形后，恰好能拼成如图乙的

大小正方形，那么通过计算两图阴影部分的面积，你认为可以验证的乘法公式是

__________．

【分析】观察比较两图形，由图乙易知其阴影部分的面积为边长为a 的大正方形的面积减

去边长为b 的小正方形的面积，即a 2－b 2，并可知等腰梯形的高为21(a －b )．图甲是平行四边形，其一边长为a ＋b ，高为两个等腰梯形的高，所以其面积为2

1(a －b )×2×(a ＋b )=(a －b )(a ＋b )．由此可知验证了平方差公式 (a ＋b )(a －b ) =a 2－b 2．

解：填a 2－b 2=(a ＋b )(a －b )．

三、规律探索类

例3．（巴中市）下图左边是大家熟知杨辉三角，观察其右边各列等式，

根据上面各图式规律，则5

()a b += ．

【分析】本题是一道与杨辉三角有关的发现探索型试题，根据右边已知的几个算式可以

发现从(a ＋b )0开始，各个算式的次数与展开后的项数及系数与左图中的各行有一定的关

系．为此要写出杨辉三角第六行的各数，即为(a ＋b )5各项的系数．但我们观察右边各式

各项指数的变化规律又可发现：(a ＋b )5，展开后各项的指数和都应等于5，且按a 的降幂，b 的升幂排列． 解：5()a b +=5a ＋45a b ＋1032a b ＋1023a b ＋54ab ＋5

b ．

【自主练习】

1.(永州改编) 形如d c

b a 的式子叫做二阶行列式，它的运算法则用公式表示为d

c

b a ＝ad －b

c ，依此法则计算1

12x x x x -++的结果为 ．

2．（盐城）如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长

为(a ＋2b )、宽为(a ＋b )的大长方形，则需要C 类卡片 张．

3．观察下列各展开式的项数及各项系数的有关规律．

(a＋b)0=1，它只有一项，系数为1；

(a＋b)1=a＋b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；

(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；

(a＋b)3=a3＋3a2b＋3ab2＋b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；

……

根据以上规律，解答下列问题：

（1）(a＋b)6展开式共有项，系数分别为；

（2）(a＋b)n展开式共有项，系数和

．．．为．

参考答案：

1、2x＋1；

2、3；

3．(1)由此可以发现(a－b)4展开后共有6项，系数分别是1，6，15，20 ，15，6 ，1；

(2)根据规律可以发现(a＋b)n，共有n＋1项，系数和为2n．

3、完全平方公式要点精析

一、公式的内容：

完全平方公式有两个：(a＋b)2＝a2＋2a b＋b2,(a－b)2＝a2－2a b＋b2.即，两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为(a±b)2＝a2±2a b ＋b2.为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”.

二、公式的条件：

两数和（或两数差）的平方.

三、公式的结果：这两数的平方和，加上(或减去)这两数积的2倍.

四、公式的特征：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上(这两项相加时)或减去(这两项相减时)这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式.

五、使用完全平方公式时应注意以下几点：

(1)千万不要发生类似(a±b)2＝a2±b2的错误；更不要与(a b)2＝a2b2混淆；

(2)切勿不要把“乘积项”2a b中的2漏掉；

(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用多项式乘法法则进行计算．