理论力学第6章 点的运动学

§6.2 点的运动方程
例 题 6-1
轨迹演示
§6.2 点的运动方程
例 题 6-1
思考题：M点的轨迹是什么曲线
？
§6.2 点的运动方程
例 题 6-1
轨迹演示
§6.3 点的速度和加速度
一.点的速度和加速度的矢量定义
z
v (t )
i
o
r (t ) r k r (t t )
位移：
r r (t t ) r (t )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ds v dt
3.点的加速度
a
dv d v dt dt
第1个分量反映速度大小变化的加速度,记为 a
第2个分量反映速度方向变化的加速度,记为 an
§6.3 点的速度和加速度
三.点的速度和加速度在自然轴上的投影
切向加速度 a
dv d 2s a 2 dt dt
切向加速度反映速度的大小随时间的变化率，它的代数 值等于速度的代数值对时间的一阶导数，或等于弧坐标 对时间的二阶导数，它的方向沿轨迹切线。 法向加速度 an
2
将φ=ωt 代入上式得
x OC CB r cos l 2 r 2 sin 2
1 1 1 2 sin 2 t 1 2 sin 2 t 4 sin 4 t 2 8
令λ= r/l，将上式的根式展
开，有
y A O

l
B
x
C
§6.3 点的速度和加速度
3.以弧坐标表示的点的运动方程
() ()
o
S
s f (t )
§6.2 点的运动方程
例 题 6-1
y B
椭圆规的曲柄 OA 可绕
定轴O转动，端点A以铰链 连接于规尺 BC ；规尺上的
A

点 B和 C可分别沿互相垂直 的滑槽运动，求规尺上任
C x
O
x
y M
一点M 的轨迹方程。
已知: OA AC AB a
第六章 点的运动学
主要内容
§6.1 运动学绪论
§6.2 点的运动方程
§6.3 点的速度和加速度
§6.1 运动学绪论
一.运动学的研究对象 运动学是研究物体在空间的位置随时间变化的规律，它是 用数学的方法从几何方面定量地描述和分析物体运动的规 律，而不考虑物体运动发生变化的原因。学习运动学一是
为学习动力学打下基础，二是为分析机构运动打下基础。
为 r和 l。且 l>r，角 =ωt，其中 ω是常量。滑块 B可
沿轴Ox作往复运动，试求滑块B的运动方程，速度
和加速度。
y A O

l
B
x
C
§6.3 点的速度和加速度
例 题 6-3
运动演示
§6.3 点的速度和加速度
例 题 6-3
解: 考虑滑块 B 在任意位置，由几何关系得滑块 B 的坐标
r x r cos t l 1 sin 2 t . l
y A R cos R 2 (v0t ) 2 10 64 t 2
求导得
vA y A
a A vA
10t 64 t 640
2
mm / s
mm / s 2
(64 t 2 )3
§6.3 点的速度和加速度
例 题 6-3
曲柄连杆机构中曲柄 OA 和连杆 AB 的长度分别
CM b. 2
§6.2 点的运动方程
例 题 6-1
运动演示
§6.2 点的运动方程
例 题 6-1
解: y B 考虑任意位置， M点的坐标 x， y可以表示成
x (a b) cos y b sin
A

消去上式中的角φ，即得M点的 C y M
轨迹方程: x
O
x
x2 y2 2 1 2 (a b ) b
()
副法线
切线
n
()
b
M

密切面
密切面的形成
动画
自然轴系
动画
自然轴系
图片
§6.3 点的速度和加速度
三.点的速度和加速度在自然轴上的投影 2.点的速度
s r (t ) r r (t t ) o
v (t )

v lim
v
t 0
r s ds lim t t 0 t dt
2 2 s s
t 0
0
dv v2 a a an a an n n dt
d v n dt
an
v2

n
§6.3 点的速度和加速度
综述： (1)矢量法用于公式推导； (2)直角坐标法和自然法用于计算： 自然法的优点是物理意义鲜明，较直角坐标法简便。缺点 是要事先知道轨迹，因而适用范围有限。 直角坐标法的优点是适用范围广（在轨迹未知时只能用直 角坐标法）。缺点是一般较自然法麻烦。 有些题需要用两种方法联合求解，此时：
ax vx x a y v y y a v z x z
vx x v y y v z z
a axi ay j az k
§6.3 点的速度和加速度
例 题 6-2 如图，半圆形凸轮以等速v0=10mm/s沿水平方向
向左运动，从而推动活塞杆AB沿铅直方向运动。当运动开始 时，活塞杆A端在凸轮的最高点上。如凸轮半径R=80 mm试求 活塞B相对于地面的运动方程、速度和加速度。 解：活塞连同活塞杆在铅直方向运动， 可用其上一点的运动来描述。以下研究 点A的运动情况。点A相对于地面作直线 运动。沿点A的轨迹取y轴，如图所示。 点A的运动方程为
1.以矢量表示的点的运动方程
z
k
r r (t ) r (t )
x(t )i y(t ) j z(t )k
i
o
j
y
x
§6.2 点的运动方程
2.以直角坐标表示的点的运动方程
z
( x, y, z )
o x
y
x f1 (t ) y f 2 (t ) z f (t ) 3
a a an a x a y a z
2
2
2
2
2
§6.3 点的速度和加速度
例 题 6-4
曲柄摇杆机构如图所示。曲柄长OA=100mm，绕轴O转动， t / 4 ，摇杆长O1B =240mm，距离O1O =100mm。 试求点B的运动方程、速度和加速度。
解：点B的轨迹是以O1B为半径的圆弧， t = 0时，点B在B0处。取B0为弧 坐标原点，由图得点B的弧坐标为 s O1B 由于△OAO1是等腰三角形，故 φ=2θ，代入上式，得
an v d dt
§6.3 点的速度和加速度
三.点的速度和加速度在自然轴上的投影

M
M


0
d lim lim t 0 t dt t 0 t
2 sin 2


t 0
sin

2

2
d v lim lim lim lim dt t 0 t t 0 s t s0 s t 0 t
例 题 6-3
略去λ4以及更高阶项，并利用关系
sin 2 t 1 cos 2t 2
2
r 2 则 x r cos t l 1 sin t l
可表示为
2 r x l 1 cos t cos 2 t 4 4
二.几个概念 运动的相对性.参考体.参考系 运动是绝对的，而运动的描述是相对的。研究一个物体的 机械运动，必须选取另一个物体作为参考体。与参考体所 固连的坐标系称为参考坐标系，简称参考系。
§6.1 运动学绪论 质点：运动学中忽略质量的不计大小形状的几何点。
物体的几何尺寸和形状在运动过程中不起主要作用时, 物体的运动可简化为点的运动。 物体内部各点的运动情况完全相同，只要研究其中某 一个点的运动就够了,这样物体的运动也可简化为点的 运动。 刚体：同静力学中的概念。
滑块B的速度和加速度为
v
a
dx r sin t sin 2t , dt 2
d2 x dt 2 r 2 cost cos 2t .
y
A
O

l
B
x
C
§6.3 点的速度和加速度
三.点的速度和加速度在自然轴上的投影 1.自然轴系 法面 主法线
j
y 速度：
加速度：
v lim
r dr t 0 t dt
x
r xi yj zk
v dv d 2 r a lim 2 t 0 t dt dt
二.点的速度和加速度在直角坐标轴上的投影
v xi yj zk
v vxi vy j vz k
s O1 B

2
240

8
t
vB s 30 ar s 0
94.22 a an 240 v2
瞬时 t :物体运动过程中的某一时刻，用离开初瞬时的秒 数来表示。
时间间隔 t ：作为计算时间起点的初瞬时是任意选定的， 是从某一瞬时到另一瞬时经过的称数。
§6.2 点的运动方程 一.点的轨迹.点的运动方程 点的轨迹：点在空间运动时所经过的路线，用几何 坐标来表示。 运运方程：即几何位置随时间的变化规律，而几何 位置可用各种坐标来表示，运动方程则 是点在取定的坐标系中位置坐标随时间 连续变化的规律的数学式子。 二.几种典型的运动方程