第四章_质点组动力学_习题解答

解：建立如图所示的直角坐标系O xy -，长为s 的圆弧的夹角范围22R R

θ-≤≤ 由质心定义：c rdm rdl rdl rRd rd r dm

dl

dl

Rd d λθ

θ

λθ

θ

=

=

=

=

=

⎰

⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

考虑到圆弧的对称性和坐标的选取，写成正交分解式得：

/22/2cos 2sin

2s R

s R

c

R d xd R s

x s s R

d R

θθθθ

-==

=⎰⎰⎰ 0c y =

所以在图所示坐标系中，圆弧的质心坐标为：22(sin ,0)2R s

s R

4.2、求出半径为r 的匀质半球的质心位置。

解：取球心为原点，建立如图所示的直角坐标系O xyz - 取右侧半球进行计算。因半球关于y 轴对称，所以质心 位于y 轴上。把半球看成是垂直于y 轴的系列厚度为dy 的薄圆片堆砌，那么距离原点为y 处、半径为z

的质心为(0,,0)y 设半球的密度为ρ 厚度为dz 的薄圆片的质量为：

222()dm dV

z dy r y dy ρρπρπ===-

则半球的质心位置为：

0c x = 0c z =

222200

2

222

()()38

()()r

r

c r r

y r y dy

y r y dy

ydm y dV ydV y r dm

dV

dV

r

y dy

r y dy πρρπ--=

=

=

=

=

=--⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

所以半球的质心位置在图示坐标中为3(0,,0)8

r

4.3、两只质量均为'm 的冰船，静止地放在光滑的冰面上。一质量为m 的人自第一只船跳入第二只船，并立即自第二只船跳回第一只船。设所有的运动都在一条直线上。求两船最后的速度之比。

解：取两只冰船和人为系统，在水平方向受到合外力为0，故在水平方向系统动量守恒。 第一只冰船最后的速度为1v ，第二只冰船最后的速度为2v ，那么人的最后速度为1v

初始时，系统静止，所以有：

12(')'0m m v m v ++=

即12''

v m v m m =-+ ，负号表示1v ，2v 的速度方向相反。 4.4、一船以速度v 前进，船上某人以相对速度u

向船头抛出一质量为m 的铁球。已知船和人的总质量是'm 。求人抛掷铁球所作的功W 。

解：在质心坐标系中，设船相对质心的位矢为1r ，铁球相对质心的位矢为2r

，那么铁球相对

船的位移为：21r r r =-

，由质心定义12'0'c m r mr r m m

+==+ ，质心系中质心为原点。 联立两式有：1'm r r m m =-

+

，2''m r r m m

=+ ，求导有： 1''m m r r u m m m m =-=-++ ，2

''''m m r r u m m m m

==++ 由动能定理可求出：

2

22212111'(')222(')

C C mm u W T T mr m r T T m m =-=++-=+ 4.5、一质量为3m 的粒子爆炸成质量相同的三小块。其中两块的飞行方向相互垂直，它们的

速率分别是2v 和3v 。求出第三块的速度和动量的大小。

解：在直角坐标系中，设粒子爆炸后第一块速度是2vi ，第二块速度是3vj

，第三块的速度

为'v

，爆炸时内力远大于外力，动量近似守恒：23'0mvi mvj mv ++=

所以有：'23v vi vj =-- ，动量为'23mv mvi mvj =--

4.6、重量为W 的大楔子放在光滑的水平面上，在它的斜面上放置一与它相似的小楔子。小楔子的重量是P 。大、小楔子的水平边长分别为a 和b 。小楔子自大楔子顶部静止下滑，求小楔子完全下滑到水平面时(如图虚线所示)，大、小楔子分别移动了多少距离？

解：取小楔子静止下滑时，大楔子的直角顶点为原点，建立一维坐标系Ox 如图所示。 设小楔子的位矢为P x ，大楔子的位矢为W x ，那么小楔子相对大楔子的位移为P W x x -

当经历0t t =时，小楔子完全下滑到水平面时，

00()()()P W x t x t a b i -=-

(1)

初始时刻0t =，(0)(0)0P W x x i ==

(2)

小楔子和大楔子在水平方向上所受 的合外力为零，动量守恒：

()()0P W P W x t x t g g

+=

(3)

对(3)式积分有：

()()P W P W x t x t c g g

+=

，c 为积分常数 当0t =时，

(0)(0)P W P W x x c g g

+=

，由(2)式知，0c = 所以当经历0t t =时，小楔子完全下滑到水平面时有：

00()()0P W P W x t x t g g

+=

(4) 联立(1)，(4)两式解得：0()()W P x t a b P W =-

-+，0()()P W

x t a b P W

=-+ 4.7、一炮弹以仰角α发射，速率为v ，当炮弹达到最高点时，爆炸成质量人别为1m 和2m 的两块弹片。已知火药爆炸的能量是E 。爆炸后的瞬时，两弹片仍沿原方向飞行。求两弹片

落地时相隔的距离s

解：设爆炸后质量为1m 和2m 的两块弹片的速度为别为1v 和2v

，爆炸过程内力远大于外力，动量守恒，当炮弹达到最高点时，速度为cos v α 。即1122cos m v m v v α+=

因爆炸后两块弹片仍沿原方向飞行，所以有：112212()cos m v m v m m v α+=+ 爆炸后的能量守恒：

2222121122111

()cos 222

m m v m v m v E α+=+-

联立上两式可求得：1cos v v α=+

，2cos v v α=

所以落地时相隔的距离为：12sin ()

v v v g α-=4.8、重量为W 的人，手里拿着一个重量为w 的物体，以与地平线成α角度的速度0v

向前跳出。当他达到最高点时，将手中的物体以速率u 向后抛去。问抛出物体后，人向前跳的距离

增加多少？

解：取人和物为系统，水平方向受力为0，动量守恒。设人抛物后的速度为v

0cos W w W w v v u g g g α+=+ 即0cos W w W w

v v u g g g

α+=- 解得0()cos W w v wu

v W

α++=

所以人向前跳增加的距离为：