弹性中心法求解超静定拱

弹性中心法求解超静定拱

范坤杰

（哈尔滨工业大学（威海）土木工程系，山东 威海 264200）

摘 要：对弹性中心法进行了简述与介绍，并详细分析了其简化的原理以及一般运用计算的过程。 关键词：弹性中心法，超静定拱，力法，内力求算，简化过程

拱结构在工程中的应用极为泛，桥梁工程方面，有闻名遐迩的赵州石拱桥；建筑工程方面，诸如比萨大教堂，圣彼得大教堂等著名建筑也都在不同程度上采用了拱结构。时至今日，双曲拱桥，落地式拱顶结构，带拉杆式的拱式屋架等现代拱式结构已被大量运用于土木工程之中。

超静定拱绝大部分是无铰拱或是两铰拱。两铰拱是一次超静定结构，求解时通常只需解除一水平约束，用力法一般步骤进行计算即可，只是由

于拱是曲杆，在计算位移11δ，1P ∆时不能使用图乘法，必须进行积分，从而增大了计算量。而无铰拱却是三次超静定结构，若采用普通的力法解题方案，解除三个约束，列出三元一次方程组进行求解，则计算量过于繁杂，正确性很难保证。为此，力学专家们对无铰拱的计算进行了两部分简化，一是利用结构对称性的简化，二是利用刚臂的简化，最终形成了一种相对更简便清晰的方法——弹性中心法。

弹性中心法是力法的一种简化计算方法，它适用于对称无铰拱，对称封闭刚架和封闭环形结构的计算。其基本思路：对以上适用的三种结构，首先选用对称的基本结构，同时将荷

载分解成对称和反对称两组，并建立相应的求解多余未知力的力法联立方程；通过增加刚臂并调整刚臂的长度，使力法方程中的副系数等于0，从而将求解联立方程的问题转化为求解若干个独立方程的问题。

1 简化过程

1．1利用结构对称性

无铰拱为对称结构，在拱顶将其截开，如图1所示，以拱顶处弯矩1X 、轴力2X 和剪力3X 为多余未知力。由于1X 与2X 为对称未知力，3X 为反对称未知力，则31δ=13δ=0，23δ=32δ=0。由此消掉4个位移量，实现了方程组（a ）到方程组（b ）的转换。

（a ）111122133121122223323113223333+++=0

+++=0+++=0

P P P X X X X X X X X X δδδδδδδδδ∆∆∆

（b ）111122121122223333++=0++=0+=0

P P P X X X X X δδδδδ∆∆∆

图1：

1．2利用刚臂

为使方程组进一步简化，考虑消掉12δ，21δ这两个位移量。为使

12δ=21δ=0，弹性中心法采用的是加刚

臂的方法。通过增加刚臂并调整刚臂的长度即可使方程余下的副系数12δ，

21δ为0。

具体做法如下，首先在拱顶将无铰拱切开，在切口左右两侧分别沿竖向加上一刚臂，两刚臂末端再刚性连接起来，如图2所示，这样无论是拱顶断口两侧还是刚臂端点两侧均无相对移动和相对转动。这样，此结构与原来的无铰拱是等效的。 图2：

第二步，对该等效结构应正确选择基本结构，在O 点处将其切开，如图3所示，弯矩为1X 、轴力为2X 、剪力为3X 。

图3：

第三步，需要确定的是刚臂的长度，即是确定刚臂端点O 的位置，因此，可利用12δ=21δ=0这一目的为条件对O 点位置进行反算。算式如下：

上式的积分范围仅包括轴的全长，而不包括刚臂部分，因为刚臂为绝对刚性，其积分值为0。

对式中各项进行求算：

A

B

F P A

B

B

轴 N1N212

12Q1Q2d d d F F M M s s

EI EA

F F s GA

δμ=++∑∑⎰

⎰∑⎰

图4：

由图4分析可得如下结果：

上式中，yS 为刚臂长度；j 为截面处拱轴切线与水平线之间的夹角，在右半拱取正左半拱取负。由此可得：

变形后可得最终结果：

至此，确定了使副系数为零的刚

臂的长度，已将该三元一次方程组完全解耦，成为三个独立的方程：

(C)111122223333+=0+=0+=0

P P P X X X δδδ∆∆∆

下面，对弹性中心法做一个形象解释：我们设想沿拱轴线作宽度为

1

EI

的图形，如图5，则积分

1

ds EI ⎰就代

表此图形的面积，而yS 就是该面积形心到拱顶的距离，形心横坐标为零。由于该图形的面积与截面的抗弯刚度EI 有关，故称其为弹性面积，其形心为弹性中心，弹性中心法由此得名。 图5：

以上，我们对弹性中心法的简化

过程进行了分析，接下来分析荷载作用下的具体求算。

2 荷载作用下的计算

计算位移1P ∆和ii δ时，通常忽略

轴向变形和剪切变形的影响，只考虑弯矩的影响。(但当拱轴线接近合理拱轴时，或拱高fL/5且拱顶截面高度hc>L/10时，还需考虑轴力对22δ的影响。

)

d 1d S y s EI y s

EI =

⎰⎰

1N1Q12N2Q23N3Q31,0,0

,cos ,sin ,sin ,cos S M F F M y y F F M x F F φφφφ⎫

===⎪=-=-=⎬

⎪

===⎭12

21

(1)()d 00S y y s EI

δδ⨯-==++⎰

1

d d S y

s y s EI EI

=-⎰

⎰

各计算如下：

代入（c ）式，可解出1X 、2X 、3X ，再利用隔离体的平衡条件或内力叠加公式，

即可得出基本结构在荷载作用下的剪力，弯矩以及轴力：

3 温度变化时的计算

如上图所示，当无铰拱上下两侧产生温度变化时，明显会有内力产生，此时仍用弹性中心法解决问题。此时的温度荷载相对于y 轴是对称的，因此3

0X =。

则最终简化方程为：

其中自由项：

将 、 、

代入上式，可解得：

由上可看出，当内外侧温度均匀变化时，在弹性中心处仅有水平力作用。

4 支座移动时的计算

基本体系

x

2111222

N22222

22

3331P

1P 2P 2P 3P 3P 1

d d ()d d d cos d d d d d d S M s s EI EI F y y M s s s EI EA EI

s EA

M x s s EI EI

M M Δs EI M M Δs EI

M M Δs EI δδφδ⎫==⎪⎪-⎪

=+=⎪

⎪⎪+⎪⎪⎪==⎬⎪⎪=⎪

⎪

⎪

=⎪⎪

⎪=⎪⎭

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰123P Q 23QP N 23NP ()sin cos cos sin S M X X y y X x M F X X F F X X F φφφφ⎫

=+-++⎪=++⎬⎪=-++⎭

1111222200t t X ΔX Δδδ+=⎫

⎬+=⎭

0N d d i it

i M Δt s t F s h

αα=∆+∑

∑⎰

⎰

11M =2S M y y =-N2cos F ϕ=-012220,()cos d d S t l X X y y s s EI EA

αφ

==-+⎰⎰

N10F =