数学模型经典实例

将敏感性数据表示成相对改变量，要比绝对 改变量的形式更自然也更实用。 模型的参数灵敏度 如果r改变了△r，则的相对改变量为△r/r。 如果r改变了△r，导致t有△t的改变量， 则相对改变量的比值为 △t / t 比上△r / r 令△r→0，按照导数的定义，我们有
t r dt r r t dr t



B C D E
1 9 3 6 A
2 5 7 8 10 4 B C D


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AB BC AD DE BD AE CD BE AC CE


间隔场次数
A 1 2 2 B 0 2 2 C 4 1 0 D 0 0 1 E 1 1 1




增重率 g 对售猪时间 t 的影响. 重量 w(t)=200 + g t 净收益 P(t)=(0.65-0.01t)(200+gt)-0.45t 最大值点 t = 5(13g–49)/(2g) g 4 4.5 t 1.875 5.28 5 8 5.5 6 10.23 12.08
讨


论
1. 模型分析 ：T=(nd+L)/v, v↗, 则T↘; d↗, 则 T↗. 2. 多行行进 3. d ↘, 则T↘ . 令d=0, 则有T=L/v。 疏散时间与人数无关! 假设中忽略了人体的厚度!!
修 改 假 设
1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔
d x F ma m 2 dt
2
例2：哥尼斯堡七桥问题
1736 Konigsberg Pregel Euler
数学模型
数学模型是架于数学与实际 问题之间的桥梁 在数学发展的进程中无时无 刻不留下数学模型的印记。

三. 数 学 模 型 的特征
1. 实践性：有实际背景，有 针对性。接受实践的检验。 2. 应用性：注意实际问题的 要求。强调模型的实用价值。 3. 综合性：数学知识的综合。 模型的综合。
2.如何用数学的语言描述让桌子的四脚着地？ 定位：中心O位于坐标原点 移动：桌子围绕中心转动。 θ ：AC与X轴的夹 角。 θ0≦ θ ≦ θ0+ 900= θ1. xA( θ ) 表示在位置 θ 时，桌脚 A 与地面的距 离。 同样 xB( θ ), xC( θ ), xD( θ ).


讨论： 1. 实用么？ 2. 深刻么？
W Sin C

模型（截口模型）
OB C W
2
2
讨论 1. 实用性 2. 深入分析
例题

已知: 管长 L, 管粗 C, 带宽 W, 求带 长 M？ LC 2 2 M C W W
若 L = 30m, C = 50cm, W = 30cm 则有 M= (30×0.5/0.3)+ 0.4 = 50.4(m)
参
数
人数 nk,教室距离 Lk,门宽 D. 速度v，间隔 d，疏散时间 Tk

模

型
T1=(n1d+L1)/v T2=(n2d+L1+L2+D )/v T12=(n2d+L1+L2+D )/v, (L2+D)(n1+1)d [(n1+ n2+1 )d+L1] /v, (L2+D)<(n1+1)d
2. 分析汽车开始以最高限速穿过路 口的时间。 3. 给出穿过路口汽车的数量随时间 变化的数学模型。

例 4：人员疏散

建模分析意外事件发 生时建筑物内的人员 疏散所用的时间。
假

设
1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间 隔均匀、匀速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到 达教室门口的时间。
问题：赛程如何做到公平安排？ 如何安排比赛的赛程，使相邻比 赛各队最小的间隔场次达到可能的 最大？



例6. 一个农民有一头重量大约是200磅的猪， 在上一周猪每天增重约5磅。 五天前猪价为70美分/磅，但现在猪价下降为65 美分/磅， 饲养每天需花费45美分。 求出售猪的最佳时间。 假设： 1. 出售前，猪每天以定常的日增重量生长。 2. 猪出售的价格以每天相同的数量减少。 3. 猪饲养的花费每天不变。 4. 猪在饲养和出售期间不再有其他的花费。
第一章 数学模型
一. 模

型
为了一定的目的， 人们对原型的一个 抽象
二. 数 学 模 型
•
通过抽象和化简，使 用数学语言，对实际问 题的一个近似描述，以 便于人们更深刻地认识 所研究的对象。
。例1：牛顿定律



假设： 1.物体为质点，忽略物体的大小和 形状。 2.没有阻力、摩擦力及其他外力。 令x(t)表示在t时刻物体的位置, 则
V=ad/(b+d) =7.83d/(75.60+d)
问题
在上面的讨论中，证明如果 疏散队伍的速度是队列间隔的增 函数， 则存在有唯一的间隔d* 和速度 v*，使得疏散的时间最短。 如果有n=400，L=30m，w=0.2m, 求最优疏散方案。

例5. 赛程安排 五支球队在同一场地上进行单 循环比赛。共进行十场比赛。如何 安排赛程对各队来说都是公平的。

四. 模 型 举 例




例 1. 管道包扎 问题：用带子包扎管道，使带子全 部包住管道，且用料最省。 假设： 1. 直圆管，粗细一致。 2. 带子等宽，无弹性。 3. 带宽小于圆管截面周长。 4. 为省工,包扎时不减断带子.

问题：用带子缠绕包扎管道，使带子全部 包住管道，且互不重叠。 参量、变量： W：带宽，C：截面周长，：倾斜角 模型（倾斜角模型）
继续修改假设
1.单排教室，直走道，一个出口。 2.人员撤离时, 单行、有序、间隔 均匀、匀速地撤出。 3.忽略列队的时间和第一个人到达 教室门口的时间。 4. 人体厚度相同 5. 速度与密度有关v=v（d）

模 型


T=（nd+L)/v(d), 其中 v=v(d)应满足 d↗, 则v↗; 若d→,则 v=v*. 若d=0, 则 v=0. 这时存在唯一的间隔 d* 和相应的 速度 v*, 使得疏散的时间最短.
称这个极限值为t对r的灵敏度，记为 S(t,r)。





对于我们的问题，有 时间与价格的关系 t = (7-500r)/(25r) 在r=0.01 附近，t关于r的灵敏度为 S(t,r)=(dt/dr)(r/t)=(-2800)(0.01/8)=-3.5 价格变化率降低1%将导致时间延长3.5% 时间与增重量的关系 t = 5(13g–49)/(2g) 在 g=5 附近，t关于g的灵敏度为 S(t,g)=(dt/dg)(g/t)=(4.9)(5/8)=3.06 增重率增加1%将导致出售时间延长3%




令 f(θ)= xA( θ ) + xC( θ ), g(θ)= xB( θ )+ xD( θ ) 则有 f(θ), g(θ)连续且 f(θ) g(θ)≡0. 桌子在位置 θ* 四脚落地,则有f(θ*) = 0, g(θ*) = 0. 若 f(θ0) = 0, g(θ0) > 0, 则有 f(θ1) > 0, g(θ1) = 0 令 h(θ) = f(θ) - g(θ), 则有 h(θ) 连续 且 h(θ0) < 0, h(θ1) > 0.
1.停车位模型：Sn(0)=–(n-1)(L+D) 2.启动时间: tn =nT 3.行驶模型: Sn(t)=Sn(0)+1/2 a (t-tn) 2,t>tn 4.限速行驶: tn*=a/v*+tn Sn(t)=Sn(0)+1/2 a(tn–tn* )2+v*(t-tn*), t>tn* =Sn(0)+1/2 a (t-tn) 2, tn*>t>tn = Sn(0) tn>t
问题:



若有带长 M1=51m，缠绕包扎上面的管 道。 多余的 60 cm 带子不打算裁掉。缠绕 时允许带子互相重叠一部分。 应该如何包扎这个管道？(计算结果精 确到0.001)
例2. 地面上的方桌 在起伏不平的地面上能不能让桌子的四 个脚同时着地？ 假设： 1.方桌的四条腿等长，四脚连线呈平面正 方形ABCD。 2.地面的起伏是连续变化的。 模型： 1. 如何用描述“桌子的四个脚同时着地”？ xA: A与地面的距离，xB、xC、xD。
例 Βιβλιοθήκη Baidu：交通路口红绿灯

十字路口绿灯亮15秒， 最多可以通过多少辆 汽车？
假设



1. 2. 3. 4.
车辆相同，从静止开始做匀加速动。 车距相同，启动延迟时间相等。 直行，不拐弯，单侧，单车道。 秩序良好，不堵车。

车长L，车距D，加速度a，启动延迟T 时间t，车位Sn（t）
模型

模型：
重量 w = w0+g t , 单价 p = p0 – r t , 总花费 C = k t , 总收益 R = p w 净收益的模型 P = R – C=(p0-rt)(w0+gt)-kt





参数估计 w0=200, g=5, p0=0.65, r=0.01, k=0.445 P = R – C = (0.65-0.01 t)(200 + 5 t)- 0.45 t P(t) = 130 + 0.8t – 0.05 t2.

参数估计
L=5m，D=2m，T=1s， v*=40km/h=1.1m/s 2 2 a=2.6m/s 2m/s .

结 论
S8(15)=9m, S9(15)=-9.1m 该路口最多通过八辆汽车

问题



1. 调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型 是否正确。 10.位置,走向,车道数,时间。 绿灯时间,通过的车数(至少三次)。 数据不同的原因。 20.模型的假设与实际是否一致。 模型的参数与实际是否一致。 30. 模型的计算结果与观测结果是否一致？ 不一致时，为什么？如何修改模型。
问题：
将例2 的假设1 改为“方桌的四 条腿等长，四脚连线呈平面长方 形”， 试构造数学模型证实结论同样成 立。
1.





2.小王早上8：00从A城出发于下午5：00到 达B城。 次日早上8：00他又从B城出发沿原路返回 并于下午5：00准时到达A城。 试用数学模型说明A、B城之间定有一个位 置， 小王在往返A、B二城的途中于相同的时间 到达该位置。





问题：求出售时间使净收益最高 令 P’(t)=0 则有 0.8 t - 2×0.05 t = 0 得 t=8 P(8)=130+0.8×8－0.05×82= 133.2 结论： 饲养8天后出售，收益最高为133.2美元



分析： 1. 结果对参数的敏感程度。 结论所依赖的参数 猪的初始重量w0， 猪的初始价格p0， 猪的饲养花费k， 猪重的增加速率g， 价格降低的速率r。








变量和参量： 猪的重量w（磅）， 猪的饲养时间 t（天）， t 天内饲养猪的花费C（美元）， 猪的市场价格 p（美元/磅）， 售猪所获得的总收益R（美元）， 最终获得的净收益P（美元）。 猪的初始重量w0（磅）， 猪的日增重量 g（磅）， 出售价格（单价）的日减少量 r（美元）， 每天饲养猪的花费 k（美元）。

均匀、匀速地撤出。

3.忽略列队的时间和第一个人到达
教室门口的时间。

4. 人体厚度相同w
继 续 讨 论



1. T=(nd+L)/v, v↗, 则T↘; d↗, 则 T↗. 2. 多行行进 3.令d=0, 则有T=L/v, 疏散时间与人数无关! 假设中忽略了人体的厚度!! 4.考虑厚度的影响 T=(n(d+w)+L)/v, 若vv*,d=0, 则 T* = (nw+L)/v* 最短 合理吗？


价格变化率 r 对售猪时间t 的影响. 价格 p(t)=0.65 – r t, 净收益 P(t) = (0.65-rt)(200+5t)-0.45t 最大值点 t = (7-500r)/(25r) r 0.008 0.009 0.01 0.011 0.012 t 15 11.1 8.0 5.5 3.3