第4章线性系统的根轨迹法(《自动控制原理》课件)

N 表示有N个数值为0的极点, 且N+ r=n, n为系统的
阶数. K叫开环系统的增益, K’叫开环系统的根轨迹增益, K与K’的本质相同, 仅它们间的值有一系数关系, 即:
s
K K
'
(z ) ( p )
j 1 j i 1 r i
m
(2)
( s ) 1 G ( s ) 0 ,将式(1)代入 0 ,即: G 闭环系统的特征方程为: 1 0 m j m m i ' '
( 5 )
式(4)叫根轨迹的幅值条件, 式(5)叫根轨迹的相角条件. 在S平面 上凡满足相角条件的点一定是闭环极点, 即是闭环特征方程的根, 凡不满足相角条件的点一定不是闭环极点, 因此相角条件是绘制 根轨迹的充分必要条件. 根轨迹上某一点对应的K’的值可由幅 值条件求出.
如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹, 将会非常不方 便. 人们利用前面介绍的几个式子, 导出一些绘制根轨迹的法则 利用导出的法则, 可方便地绘制出根轨迹的大至形状, 叫概略根 轨迹, 这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用 了.

23 ( 25 ) 2 3 3
渐近线见下图:
p6 z3 p4
jω
3 2
1 0 2/3 p1 p5
-10 z2
-8 p3
z4
-6 p2
-1 z1
σ
p7
对于法则4, 当m>n时, 有m-n条根轨迹从无穷远处的极点沿 一组渐近线进入有限零点, 这一组渐近线的 a 和 a 由下式计算:
p4
-10 z2 -8 p3 z4 p7 -6 p2 -1 z1
1 0 p1
σ
p5
法则1
根轨迹的起点和终点:根轨迹起始于开环极点,对应于
K’=0,终止于开环零点,对应于K’= +∞. 注意: 当n> m时,有n-m条根轨迹的终点隐藏于S平面上的无 穷远处;当n<m时,有m -n条根轨迹的起点隐藏于S平面上的无穷 远处;考虑到无穷远处的开环零点和极点,则开环零点和极点的个 数相等.无穷远处的开环零点和极点也叫无限零点和极点. 法则2 根轨迹的分支数和对称性:根轨迹的分支数与开环有 限零点个数m和有限极点个数n中的大者相等. 它们是连续的并与 实轴成镜像对称. 法则3 实轴上的根轨迹:实轴上的某一区段,若其右边开环 实数零点个数和实数极点个数之和为奇数,该区段必是条完整的 根轨迹分支或是某条根轨迹分支的一部分.
即便如此, 当可变参数K从0连续变化到正无穷大时, 计算这两个 根的所有值是相当麻烦的. 那么能否在根平面即S平面上画出这 两个根随K从0连续变化到正无穷大时的变化轨迹呢? 下面从两 个根的表达式着手来画. 1 ,s 2 , 在S平面上的位置如下图所示: (1)K=0, 则 s 1 2 jω
对上式整理得:
10 9 8 7 6 5 d 38 . 5 d 621 . 75 d 5430 . 375 d 572799 . 25 d 7233 d
4 3 2 49935 . 75 d 584743 . 625 d 640674 . 75 d 67091 . 25 d 406 0
j( 2 k 1 ) i 1 e j(N ) N r N s ( s p ) j s s p je j 1 i 1 r
r j j 1
K ( s z ) i
K s z e i
i 1
( 3 )
j 1
式(3)中: s zi 是 (s zi ) 的模; s p j 是 (s pj ) 的模; 是 s的幅角; i 是 (s zi ) 的幅角; j 是 (s pj ) 的幅角;
k 0 , 1 , 2 , n N r
r
式(3)叫根轨迹方程, 此方程又可分为下面两个方程:
K
' m
sp sz
i 1 i r j 1 j j 1 m j
( 4 )
N (2 k 1 )
i 1 i
k0 , 1 , 2 ,
第四章
线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念
先通过一个简单的例子, 了解一下根轨迹的本质是什么. 2 设有二阶代数方程 s 3 s 2 K 0 , 由韦达定理, 可求出其二个根 , 由于代数方程是二阶的, 求其根很方便 1 . 5 0 . 25 K 为: s 1 , 2
法则3的应用见下图:
jω
p6 z3 p4 -10 z2 -8 p3 z4 p7 -6 p2 -1 z1 3 2 1 0 p1 p5
σ
法则4 根轨迹的渐近线:当开环有限极点个数n大于开环有 限零点个数m时,有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点为 a ,与实 轴正方向的夹角为 a 的一组渐近线趋向无穷远处的零点,

i a
z p
i j 1 j
m
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n
m n
( 2 k 1 ) k 0 , 1 , 2 , , m n 1 a m n
法则5 根轨迹的分离点:两条或两条以上的根轨迹分支在S 平面上相遇又分开的点称为分离点. 一般常见的分离点多位于实 轴上, 但有时也产生于共軛复数对中(即在复平面上).分离点必为 重根点, 分离点d的值可由下式计算:
2. 根轨迹方程 闭环控制系统的一般结构图如下所示:
R(S)
G1(S)
H(S)
G2(S)
Y(S)
( s ) G ( s ) G ( s ) H ( s ) 其开环传递函数 G , 开环传递函数是各 0 1 2 个环节传递函数的乘积形式. 由于系统中各个环节一般为典型环 节, 而典型环节的传递函数一般不超过二阶, 其分子和分母的S 多项式极易因式分解, 从而开环传递函数的零极点也容易获得. 因此, 闭环系统的开环传递函数可表为:
-2
-1.5 -1
0
由例可见, 代数方程的根随方程中某一个参数的变化而在根 平面上的轨迹可用图形表示出来. 由于上例中代数方程简单, 是 二阶的, 其两个根关于参变量K的表达式可求, 且简单, 故画 图也方便. 当代数方程为高阶时, 画图就没那么方便. 但从上例 中至少可得到根轨迹图的以下几个特点: (1) 因例中代数方程为二阶, 所以根轨迹图中有两条根轨 迹分支; 2 3 s 2 K 0 (2) 若把代数方程 s 写成如下形式, 即: K K 1 2 1 0 s 3 s 2 ( s 1 )( s 2 ) 的两个根, 3 s 2 K 0 的根为-1和-2, 恰为当K=0时, 代数方程 s 也即两条根轨迹分支的起点. (3) 两条根轨迹分支离开实轴, 进入复平面后, 在复平面上 的根轨迹关于实轴成镜向对称.
4-2 根轨迹绘制的基本法则
本节通过一个例子, 介绍绘制根轨迹的七条法则, 但对法则 不予推导和证明. 需指出的是, 绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环 传递函数的零点和极点的具体数值, 一般以K’为参变量. 例: 某闭环系统的开环传递函数为:
' K ( s 1 )( s 10 )( s 7 j 2 )( s 7 j 2 ) G ( s ) 0 s ( s 6 )( s 8 )( s 0 . 5 j )( s 0 . 5 j )( s 4 j 3 )( s 4 j 3 )
σ
-2
-1
0
(2) 当0<K<=0.25时, 一个根的绝对值随K的增大而增大, 另 一个根的绝对值随K的增大而减小, 两根的变化轨迹如下图所示: jω σ
-2
-1.5 -1
0
当K=0.25时, 两根相等, 均为-1.5 (3) 0.25<K<+∞ 时, 两根为共軛复根, 且其实部均为-1.5 , 而 虚部的绝对值随K的增大而增大, 两根的变化轨迹如下图所示: jω σ
( 2 k 1 ) k 0 , 1 , 2 , , n m 1 且: a a n m n m m n
j 1 j i i
p z
n
m
上式中,


上例中, n-m=7-4=3, 有三条渐近线,它们的 a 和 a 计算如下:
j1
p j 为开环极点值之和, z i 为开环零点值之和. i1
2
K s 1 )( s 2 ) 0 ( s ) 并令: G 则左式分母 ( ( s 1 )( s 2 )
实际控制系统往往是高阶的, 即其闭环特征方程是S的高阶 代数方程. 当系统中某环节的某个参数发生变化, 或为改善系统 的控制性能而改变系统中某环节的某个参数时, 系统的闭环极点 也即闭环特征方程的根也发生相应的变化. 而闭环系统的控制性 能与闭环极点在极点平面上的位置有密切的联系. 这就需要事先 从理论上分析闭环极点随某个参数变化时在极点平面上的变化趋 势从而得出某个参数的变化对系统性能的影响程度, 作出理论上 的指导. 而上例的方法正好可引入到对控制系统的分析和设计上 来. 1. 根轨迹定义 定义: 当系统中某个(或几个)参数从0到+∞连续变化 时, 系 统闭环特征方程的根(即闭环极点)在根平面(S平面)上连续移动而 形成的轨迹. 称为系统的根轨迹.
m 1 1 j 1 dp i 1 dz j i n
由上式算得的分离点d值必须使K’>0, 或者讲必须在根轨迹上. 当开环传递函数没有一个零点时 , 分离点d的值由下式计算: n
1 0 j 1 d p j
现计算例子中的分离点d值, 由于:
1 1 1 1 1 1 1 dd 6d 8d 0 . 5 j d 0 . 5 j d 4 j 3d 4 j 3 1 1 1 1 d 1d 10 d 7 j 2d 7 j 2
n 7 , m 4 ; z 1 , z 10 , z 7 j 2 , z 7 j 2 1 2 3 4
将上述开环零点和极点尽可能准确标在S复平面上, 习惯上用叉 号标记开环极点, 用小圆圈标记开环零点, 如下图:
jω 3 2 p6 z3
上例中:
p 0 , p 6 , p 8 , p 0 . 5 j , p 0 . 5 j , p 4 j 3 , p 4 j 3 1 2 3 4 5 6 7
K ( T s 1 ) K ( s z ) i i i 1 i 1 G ( s ) r r 0 N N s ( js 1 ) s ( s p ) j
' j 1 j 1
m
m
( 1 )
式(1)中:
p
z i 是G0(S)的零点,
i=1,2,….m j 是G0(S)的非零极点, j=1,2,….r

4
7
j 1
p j 0 6 8 0 . 5 j 0 . 5 j 4 j 3 4 j 3 23 z i 1 10 7 j 2 7 j 2 25

i 1
a

7
j 1
pj

4
i 1
zi
nm ( 2 k 1 ) a k 0 ,1, 2 , , n m 1 nm ( 2 k 1 ) a k 0 ,1, 2 3 5 a 0 , a1 , a 2 3 3
用手工解十次代数方程相当麻烦. 但在实轴上的分离点有以下两 个特点: (1) 实轴上两个相邻的极点或两个相邻的零点之间的区段如 是根轨迹, 则其上必有一个分离点. 这两个相邻的极点或两个相 邻的零点中有一个可以是无限极点或零点. (2) 实轴上某区段是根轨迹的话, 如这区段的两个端点一个是 极点, 而另一个是零点, 则此区段上要么没有分离点, 如有, 则不 止一个. 利用以上两个特点可初步判断实轴上那些区段上有分离点, 然后用试探法求近似的分离点值, 求出一个后, 对整理后的方程 可降一阶.