数学建模中综合评价模型(改进)

（1）标准差方法:
令 xij
xij xj sj
(i 1,2,
, n; j 1,2,
, m) ，
其中 xj
1 n
n i1
xij , s j
[1 n
n i1
( xij
x
j
)2
1
]2
(
j
1, 2,
, m) 。
显然指标 xij (i 1, 2, , n; j 1, 2, , m) 的均值和均方差分别为 0
• （2）所有的指标可以相加，这就提出了如何消除指标之 间不同计量单位（不同度量）对指标数值大小的影响和 不能加总（综合）的问题，即对指标进行无量纲化处 理——计算单项评价值。
• 4．确定各个评价指标的权重 • 5．求综合评价值——将单项评价值综合而成。
二、评价指标的规范化处理
1. 评价指标类型的一致化
方法一：
1 9 8 0
M a tchm in (R ig h t_co lim L eft_co lij)2
i
方法二：
m inM j(x1y1)2(x1y2)2
1 9 7 9
(xkyk 1)2 (xkyk 1)2 (xkyk 1)2 k 2
(x1980y1979)2(x1980y1980)2
例为50%，变异系数为 0.5 时， 0.5 。自此，本文界定
(,0.5]时，两极分化程度比较轻，而当 (0.5,1]
时，两极分化程度比较高。
3、2013数学建模A题中事故处横断面实 际通行能力影响差异
从视频1和视频2的图像，可以看出交通事故期间，交通事 故横截面出实际通行能力波动明显，且没有明显的线性或者其 他类似规律，数据可能具有正态分布特性。因此，利用得到的 实际通行能力数据，作正态检验。利用spss软件作正态检验， 发现正态性明显。因此，可以认为题中交通事故横截面处实际 交通能力服从正态分布。
1 p 2
其中 为收入均值， 为收入的标准差，P为基于收入的人
口分布， 为两极分化衡量指标。
是一个在区间( ,1] 上变动的指标，当收入分配完
全是均匀分配时，不存在两极分化的情况，此时 ；
而当中间收入人群为零时，即形成完全的两极分化时， 1 ，
为此本文考虑另一种特殊的情形，即中间收入人口所占比
这说明随着贫富收入离散程度的加大，两极分化程度具 有增大的趋势；在其他情况不变的条件下，当p增大时，
减小，这说明随着中等收入区间人口比例的增加，两极
分化程度减弱；在其他情况不变的条件下，当 增大
时， 减小，这说明随着人均收入水平的提高，若贫富
收入离散程度没有改变，则两极分化程度减轻了。根据 该指标的性质，将其定义为：
来刻画。如果用 w j 来表示评价指标 x j ( j 1, 2, , m) 的
m
权重系数，则应有 wj 0( j 1, 2, , m) ，且 wj 1。 j 1
注意到:当各被评价对象和评价指标值都确定以后，问题 的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了，即权重系数 确定的合理与否，直接关系到综合评价结果的可信度，甚至影 响到最后决策的正确性。
1.4 定性指标的量化处理方法
在实际中，很多问题都涉及到定性，或模糊指 标的定量处理问题。
诸如:教学质量、科研水平、工作政绩、人员素 质、各种满意度、信誉、态度、意识、观念、能 力等因素有关的政治、社会、人文等领域的问题 。
如何对有关问题给出定量分析呢？
按国家的评价标准,评价因素一般分为五个等级，如A， B，C，D，E。
评价指标体系应遵守的原则：系统性、科学性、可比性、
可测性（即可观测性）和独立性。这里不妨设系统有 m 个评 价指标（或属性），分别记为 x1, x2 , , xm (m 1) ，即评价指
标向量为 x (x1, x2 , , xm )T 。
（3）权重系数 每一综合评价的问题都有相应的评价目的，针对某 种评价目的，各评价指标之间的相对重要性是不同的， 评价指标之间的这种相对重要性的大小可以用权重系数
xj ),Mj
xj mj
Mj mj
2
Mj xj
mj
2
Mj
其中Mj＝max(xij),mj min(xij)
•1.3 将区间型化为极大型
对某个区间型数据指标 x ，则
x
11,
a
c
x
,
xa a xb
1
x
c
b
,
xb
其中[a,b] 为 x 的最佳稳定区间，c max{a m, M b} ， M 和 m 分别为 x 可能取值的最大值和最小值。
（4）综合评价模型 对于多指标（或多因素）的综合评价问题,就是要通过
建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个 整体的综合评价指标，作为综合评价的依据，从而得到相应 的评价结果。
不妨假设 n 个被评价对象的 m 个评价指标向量为 x (x1, x2 , , xm )T ，指标权重向量为 w (w1, w2 , , wm )T ， 由此构造综合评价函数为 y f (w, x) 。
（5）评价者
评价者是直接参与评价的人，可以是某一个人， 也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体 系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价 者有关。
3、综合评价的一般步骤
• 1．确定综合评价的目的 （分类？排序？实现 程度？）
• 2．建立评价指标体系 • 3. 对指标数据做预处理
• （1）使所有的指标都从同一角度说明总体，这就提出了 如何使指标一致化的问题；
如 果 已 知 各 评 价 指 标 的 n 个 观 测 值 为 {xij}(i 1, 2, , n;
j 1, 2, , m) ，则可以计算出各系统的综合评价值 yi f (w, x(i) ) ，
x(i) (xi1, xi2, , xim )T (i 1, 2, , n) 。根据 yi (i 1, 2, , n) 值的大小 将这 n 个系统进行排序或分类，即得到综合评价结果。
1、综合评价的目的
• 综合评价一般表现为以下几类问题： • ａ。分类——对所研究对象的全部个体进行分类，但不
同于复合分组（重叠分组）； • ｂ。比较、排序（直接对全部评价单位排序，或在分类基
础上对各小类按优劣排序）； • ｃ。考察某一综合目标的整体实现程度（对某一事物作出
整体评价）。如小康目标的实现程度、现代化的实现程度。 当然必须有参考系。
2、 构成综合评价问题的五个要素
构成综合评价问题的五个要素分别为:被评价对象、评价指 标、权重系数、综合评价模型和评价者。
（1）被评价对象 被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象，或称为 系统。通常情况下，在一个问题中被评价对象是属于同一类
的，且个数要大于 1，不妨假设一个综合评价问题中有 n 个 被评价对象（或系统），分别记为 S1, S2, , Sn (n 1) 。
和 1，即 xij [0,1] 是无量纲的指标，称之为 xij 的标准观测值。
（2）极值差方法:
令 xij
xij mj M j mj
(i 1, 2,
其中 M j m1iaxn {xij}, mj m1iinn{xij}( j 1, 2,
是无量纲的指标观测值。
, n; j 1, 2, , m) ， , m) 。则 xij [0,1]
（3）功效系数法:
令 xij
c
xij mj M j mj
d
(i 1,2,
,n; j 1,2,
, m) ，
其中 c, d 均为确定的常数。 c 表示“平移量”， d 表示“旋转量”，即
表示“放大”或“缩小”倍数，则 xij [c, c d ] 。
譬如若取 c 60, d 40 ，则 xij [60,100] 。
（2）评价指标 评价指标是反映被评价对象(或系统)的运行(或发展)状况的基 本要素。通常的问题都是有多项指标构成，每一项指标都是从不 同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。 一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示，其中每 一个分量就是从一个侧面反映系统的状态，即称为综合评价的指 标体系。
实际交通能力差异度： 以正态拟合得到的均值作为实际交通能力的大小，则下式成立：
C 1 1 ( 1 : N ( 1 ,1 ) C 2 ) 2 , ( 2 : N ( 2 ,2 ))
实际交通能力的差异程度定义如下：
P C1 C2 C1 C2
P值越大反应发生事故的车道位置对实际交通能力的影响很大。
综合评价方法及其应用
一、什么是综合评价问题 近年竞赛题
全国研究生数学建模竞赛题目： （1）2011-C题：对小麦发育后期茎秆抗倒性问题的研究 （2）2011-D题：房地产行业的数学模型 （3）2013-D题：空气中 PM2.5 问题的研究 （4）2013-E题：中等收入定位与人口度量模型研究 （5）2014-D题：人体营养健康角度的中国果蔬发展战略研究 全国大学生数学建模竞赛题目： （6）2012年-A题:葡萄酒质量的评价 （7）2012年-B题:碎纸片拼接复原问题 （8）2013年-A题：车道被占用对城市道路通行能力的影响
如果不对这些指标作相应的无量纲处理，则在综合评价过 程中就会出“大数吃小数”的错误结果，从而导致最后得到错 误的评价结论。
无量纲化处理又称为指标数据的标准化,或规范化处理。 常用方法:标准差方法、极值差方法和功效系数方法等。
假设 m 个评价指标 x1, x2 , , xm ，在此不妨假设已进行了 类型的一致化处理，并都有 n 组样本观测值 xij (i 1, 2, , n; j 1, 2, , m) ，则将其作无量纲化处理。
三、近年建模题目中涉及的指标构 建问题举例
1、2013年数学建模B题中 碎纸片拼接中的纸片匹配指标
2、2013研究生数学建模E题中 贫富两极分化衡量指标
3、2013年数学建模A题中事故处横断面实际通行能力影 响差异
1、 2013数学建模B题中碎纸片拼接 中的纸片匹配指标
运用最小二乘法，将最新确定位置的右侧边缘灰度值 与剩下碎片的左侧边缘灰度值进行比对，将相似度最高 即（Match值最小）的待排碎片放在已知碎片的右边。 依照上述方法直到将所有碎片拼接完毕。
2、2013研究生数学建模E题中 贫富 两极分化衡量指标
为了比较不同地区和不同年份收入分配的两极分化程
度，需要构建了一个指标，以衡量居民收入两极分化的 大小，该指标越大，说明收入分配的两极分化程度越高， 该指标越小，说明收入分配两极分化的程度越低。该指 标需要满足的经济规律方面的要求概括为：
在其他情况不变的条件下，当 扩 大时， 减增 大，
义差异度B，如下所示：
B1P2T
式中的 1,2 为实际交通能力和稳定性的偏好系数。
综上所述，得到如下事故处横断面实际通行能力影响差异模型：
B
1P
2T
P
C1 C2 C1 C2
T
w1 w2 w2 w2
稳定性差异度： 由于视频1和视频2的交通事故横截面实际交通能力具有波
动性，则应该具有稳定程度，用稳定性ω这一量来反映，显然， 稳定性越高越有利于车辆的通行。定义稳定性如下所示：
1
1
1
,2
1
2
则稳定性的差异程度如下：
T 1 2 1 2
差异度： 为了说明事故处横断面实际交通能力总的影响差异，定
一般说来，在评价指标 x1, x2 , , xm (m 1) 中可能包
含有“极大型”指标、“极小型”指标、“中间型”指标和 “区间型”指标。
极大型指标:总是期望指标的取值越大越好； 极小型指标:总是期望指标的取值越小越好； 中间型指标:总是期望指标的取值既不要太大，也不要太小为 好，即取适当的中间值为最好; 区间型指标:总是期望指标的取值最好是落在某一个确定的区 间内为最好。 - 定性指标
• 1.1 将极小型化为极大型
• 倒数法：Fra Baidu bibliotek
x
' j
1 xj
• 平移变换法
xj' Mj xj
• 其中
Mj m 1inaxix j
• 1.2 将居中型化为极大型 • 对于居中型指标 x j
xj取中间值Mj
mj
2
为最好，要将其化大 为型 极指标，令
xj'
2(xj 2(MMjj
mj mj
),mj
如何将其量化？若A-，B+，C-，D+等又如何合理量化？
根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化方法是一种可 行有效的方法。
2. 评价指标的无量纲化
在实际中的评价指标 x1, x2, , xm (m 1) 之间，往往都存
在着各自不同的单位和数量级，使得这些指标之间存在着不可 公度性，这就为综合评价带来了困难，尤其是为综合评价指标 建立和依据这个指标的大小排序产生不合理性。