第5章 随机信号通过线性系统

若输入信号的均方值E|X(t)|2存在，则该类信号是稳定
的。对于稳定的LTI系统，当输入信号稳定时，其输出
信号也一定是稳定的。稳定系统满足
h(u) du
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几种特殊情形下Y(t)的概率分布
• 如果X(t)是高斯过程，则Y(t)也是高斯过程，且 X(t)与Y(t)是联合高斯的；
• 若窄带随机信号通过宽带系统，当在信号X(t)的 通带内H(jw)几乎不变时，即Y(t)≈kX(t)，k为常数， 则Y(t)与X(t)具有相似的概率特性；
RY(τ)
定义系统（冲激响应）的相关函数为
rh (t) h(t) h(t)
h(t u)h(u)du
h*(t) H *( jw)
rh ( ) H ( jw) 2
|H(jw)|2称为功率传输函数
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RY ( ) RX ( ) rh ( )
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推论 若LTI系统的频响函数为H(jw)，则其互 功率谱与功率谱关系如下： （1） SYX(w) = SX(w)H(jw) （2）SXY(w) = SX(w)H*(jw) （3） SY(w) = SX(w)|H(jw)|2
La1x1(t) a2x2(t) a1Lx1(t) a2Lx2(t)
时不变性：Lx(t ) y(t )
系统完全由算子L[ ]确定。
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线性时不变系统的其他表示形式
线性时不变系统的输出可看成是输入信号的冲激响 应（严格说是零状态响应），表示为：
y(t) x(t) h(t) x(t u)h(u)du
Y ( jw) X ( jw)H ( jw) 其中 y(t) Y ( jw) x(t) X ( jw) h(t) H ( jw)
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线性系统的输出过程
当输入信号X(t,ξi)是随机过程时，系统的输出Y(t,ξi) 映射为Y(t,ξi)=L[X(t,ξi)]。由于ξi在X(t)对应的整个 样本空间取值，使Y(t,ξi)成为随机函数，构造出一个 新的随机过程。
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解：（1）输入是平稳信号，则
h(t) ebtu(t) 1 b jw
RX
(
)
2 X
ea
SX
(w)
2a
2 X
a2 w2
由功率谱之间的关系，有
SY
(w)
SX
(w)
H(
jw)
2
2a
2 X
a2 w2
b2
1 w2
2a
2 X
b2 a2
a2
1 w2
b2
1 w2
E
X
(t1
u)
X
(t2
v)
h(u)h(v)dudv
RX ( v u)h(u)h(v)dudv
RX
(
v)* h(
v)h(v)dv
RX ( )* h( )* h( )
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输出过程的均值与相关函数
X(t)
Y(t)
h(t)
mX
mY
RHale Waihona Puke Baidu(τ)
h(τ)
RYX(τ)
h(-τ)
第5章 随机信号通过线性系统
目录
5.1 具有随机输入的线性时不变系统 5.2 平稳白噪声通过LTI系统 5.3 信号功率谱与带宽 5.4 噪声中的信号处理 5.5 平稳序列通过离散LTI系统
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5.1 具有随机输入的线性时不变系统
x(t)
y(t)
L
一个系统对输入信号x(t)的作用，可以表示为 y(t)=L[x(t)]，其中x(t)是系统的输入，y(t)是系统的 输出，L[x(t)]表示系统对x(t)的作用，是对信号x(t) 进行运算的符号，称为运算子。L代表各种可能的 数学运算方法，例如加法、减法、乘法、微分、 积分以及微分方程、积分方程的求解运算等。
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系统输出过程的均值与相关函数
定理5.1 对于任何稳定的线性系统，有 E{L[X(t)]} = L{E[X(t)]}。
证明：由于是稳定的LTI系统，求均值与求积分可以 交换顺序，则
E
X
(t
u)h(u)du
E
X
(t
u)h(u)du
LE
X
(t
)
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定理5.2 若X(t)为平稳过程，h(t)为实LTI系 统，Y(t)=X(t)*h(t)，则X(t)与Y(t)是联合广义 平稳过程，并且有
• 如果宽带随机信号X(t)通过窄带系统，当X(t)的带 宽大于系统带宽约7-10倍时，可近似认为Y(t)总是 高斯的，即使X(t)是一般随机信号。
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• 对于时不变系统，若过程X(t)与X(t+τ)的分 布特性相同，则过程Y(t)与Y(t+τ)的分布特 性也相同。
• 如X(t)是严格平稳的，则Y(t)也是严格平稳 的。如X(t)是广义平稳的，则Y(t)也是广义 平稳的。而且X(t)与Y(t)是联合广义平稳的。
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(3)
E X (t1)Y (t2 )
RX t1 (t2 u) h(u)du RX (t1 t2 u)h(u)du
令τ=t1-t2, v=-u
RXY ( ) RX ( v)h(v)dv RX ( ) * h( )
(4)
E Y (t1)Y (t2 )
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若系统输入之线性组合的响应等于各自响应之线性 组合，则称该系统为线性系统。
对于线性系统, 若输入信号x(t)有时移, 使输出y(t)也 有一个相同的时移，即y(t-τ)=L[x(t-τ)], 则称该线性 系统为线性时不变(LTI)系统, 满足以下性质：
线性性：对于任何a1, a2, x1(t), x2(t)与τ，有
因此
RY ( )
a
2 X
b2 a2
j0)
其中
H ( j0) h(u)du
(2)
E
Y
(t1
)
X
(t2
)
E
X
(t1
u
)
X
(t2
)h(u
)du
RX (t1 u t2 )h(u)du RX [(t1 t2 ) u]h(u)du
令τ=t1-t2
RYX ( ) RX [ u]h(u)du RX ( ) * h( )
(1) mY = mXH(j0) (2) RYX(τ) = RX(τ)*h(τ) (3) RXY(τ) = RX(τ)*h(-τ) (4) RY(τ) = RX(τ)*h(τ)*h(-τ)
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证明：(1)
E Y (t)
E X (t
u)h(u)du
mX h(u)du
mX H (