安徽省芜湖市2020-2021学年高二上学期期末文科数学试卷及答案解析

安徽省芜湖市2020-2021学年高二上学期期末文科数学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
一、选择题
）
A.①是棱台
B.②是圆台
C.③是棱锥
D.④不是棱柱
2.命题“若220x y +=，则0x =且0y =的逆否命题是（ ） A.若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠ B.若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠ C.若0x ≠且0y ≠，则220x y +≠
D.若0x ≠或0y ≠，则220x y +≠
3.已知直线a 、b 都不在平面α内，则下列命题错误的是（ ） A.若//a b ，//a α，则//b α B.若//a b ，a α⊥，则b α⊥ C.若a b ⊥，//a α，则b α⊥
D.若a b ⊥，a α⊥，则//b α
4.若直线20x y a -+=经过圆22440x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（ ） A.4
B.6-
C.6
D.2-
5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()22
22:10x y E a b b a
+=>>的一个焦点()0,F c 到
直线20bx ay -=，则E 的离心率为（ ）
B.
12
6.“方程x 2+y 2−4y +k =0表示一个圆”是“0<k <4”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7.已知两点()1,2A ，()3,6B ，动点M 在直线y x =上运动，则MA MB +的最小值为（ ）
8.已知圆柱的侧面展开图矩形面积为3，底面周长2，则圆柱的体积为（ ） A.
3π
B.
32π
C.
23π
D.
32
π
9.已知实数x ，y 满足2264120x y x y +--+=的最大值为（ ） A.4
B.5
C.6
D.7
10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，E 是DD 1的中点，则（ ）
A.直线B 1E //平面A 1BD
B.11B E BD ⊥
C.三棱锥C 1-B 1CE 的体积为3
13
a
D.直线B 1E 与平面CDD 1C 1 11.已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>，焦点()12,0F -，()22,0F .过()12,0F -作倾斜
角为60︒的直线L 交上半椭圆于点A ，以11 , F A F O (O 为坐标原点)为邻边作平行四边形
1 OF AB ，点B 恰好也在椭圆上，则2b =（ ）
第II 卷（非选择题）
二、填空题（题型注释）
12.命题“0000,20200x x x ∃>+->”的否定是___________.
13.过()1,2P 且与()2,3A 和()4,5B -距离相等的直线方程为___________.
14.已知空间三点A (0，2，3)，B (2-，1，1)，C (1，1-，3)，四边形ABCD 是平行四边形，其中AC ，BD 为对角线，则||BD =___________.
15.已知F 1，F 2为椭圆2
2C :14
x y +=的左､右焦点，点P 在椭圆C 上，1260F PF ∠=︒，则
12PF PF ⋅=___________.
16.已知圆C 的圆心在y 轴上，截直线1:3430l x y ++=所得弦长为8，且与直线
2:34370l x y -+=相切，则圆C 的方程___________.
三、解答题（题型注释）
(尺寸的长度单位为cm )，
（1）用斜二测画法画出该几何体的直观图(不写画法)； （2）求该几何体最长的棱长.
18.已知命题p ：实数m 满足23230m am a --<，其中>0a ；命题q ：点(1，1)在圆
222222100x y mx my m +-++-=的内部.
（1）当1a =，p q ∧为真时，求m 的取值范围；
（2）若p ⌝是q ⌝
的充分不必要条件，求a 的取值范围.
19.如图，在四棱锥M ABCD -中，四边形ABCD 为梯形，90ABC BAD ∠=∠=，
//BC AD ，22AD AB BC ==
（1）若E 为MA 中点，证明：BE //面MCD
（2）若点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上，1AB =，证明：CD ⊥面MAC .
20.已知椭圆2222:1(0)x y D a b a b +=>>
的离心率为2
e =
，点1)-在椭圆D 上.
（1）求椭圆D 的标准方程；
（2）设点(2,0)M -，(2,0)N
，过点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点(A 点在x 轴
上方)，设直线MA ，NB (O 为坐标原点)的斜率分别为k 1，k 2，求证：1
2
k k 为定值.
参考答案
1.C
【解析】1.
根据棱台、圆台、棱柱、棱锥的几何结构特征判断即可.
图①中的几何体不是由棱锥截来的，且上、下底面不是相似的图形，所以①不是棱台； 图②中的几何体上、下两个面不平行，所以②不是圆台； 图③中的几何体是棱锥；
图④中的几何体前、后两个面平行，其他面是平行四边形， 且每相邻两个平行四边形的公共边平行，所以④是棱柱. 故选：C. 2.D
【解析】2.
根据逆否命题的定义判断即可，但需要注意“0x =且0y =”的否定为“0x ≠或
0y ≠”.
因为原命题为“若22
0x y +=，则0x =且0y =，所以逆否命题为“若0x ≠或0y ≠，
则22
0x y +≠”，故选D. 3.C
【解析】3.
利用线面平行的性质和判定定理可判断A 选项的正误；由线面垂直的定义可判断B 选项的正误；根据已知条件判断b 与α的位置关系，可判断C 选项的正误；根据已知条件判断b 与α的位置关系，可判断D 选项的正误. 由于直线a 、b 都不在平面α内.
在A 中，若//a α，过直线a 的平面β与α的交线m 与a 平行， 因为//a b ，可得//b m ，
b α⊄，m α⊂，所以，//b α，A 选项正确；
在B 中，若a α⊥，则a 垂直于平面α内所有直线，
//a b ，则b 垂直于平面α内所有直线，故b α⊥，B 选项正确；
在C 中，若a b ⊥，//a α，则b 与α相交或平行，C 选项错误； 在D 中，若a b ⊥，a α⊥，则//b α或b α⊂，b α⊄，//b α∴，D 选项正确.
故选：C. 4.C
【解析】4.
求出圆心坐标，将圆心的坐标代入直线方程，即可求得实数a 的值.
圆2
2
440x y x y ++-=的标准方程为()()22
228x y ++-=，圆心坐标为()2,2-，
由题意可得2220a --⨯+=，解得6a =. 故选：C. 5.A
【解析】5.
利用点到直线的距离公式可得出关于a 、b 的齐次等式，结合222b a c =-可求得椭圆E 的离心率.
点()0,F c 到直线20bx ay -=的距离为
d =
=
=
2222444a b a c ∴==-，3a c =
，因此，椭圆E 的离心率为2
c e a ==
. 故选：A. 6.B
【解析】6.
先由“方程x 2+y 2−4y +k =0表示一个圆”求出k 的范围，再根据充分条件与必要条件的概念即可求出结果.
因为方程x 2+y 2−4y +k =0表示一个圆，所以(−4)2
−4k >0得k <4，
所以由0
<k <4能推出k <4；由k <4不能推出0<k <4，
所以“方程x 2+y 2−4y +k =0表示一个圆”是“0<k <4”的必要而不充分条件.
故选B 7.B
【解析】7.
根据题意画出图形，结合图形求出点A 关于直线y x =的对称点A '，则A B '即为
MA MB +的最小值.
根据题意画出图形，如图所示：
设点A 关于直线y x =的对称点()2,1A '，
连接A B '，则A B '即为MA MB +的最小值，且A B '故选：B . 8.B
【解析】8.
设圆柱的底面圆的半径为r ，母线长为h ，计算出r 、h 的值，利用柱体的体积公式可求得结果.
设圆柱的底面圆的半径为r ，母线长为h ，则圆柱的底面圆周长为22r π=，可得1
r π
=，
圆柱侧面展开图的面积为23rh π=，解得32
h =
， 因此，该圆柱的体积为2
213322V r h ππππ
⎛⎫==⨯⨯=
⎪⎝⎭.
故选：B. 9.C
【解析】9.
由题意将圆的方程化为2
2
(3)(2)1x y -+-=的几何意义可求其最大值．
实数x ，y 满足2
2
64120x y x y +--+=，即2
2
(3)(2)1x y -+-=，
(),P x y 到()0,2-的距离，
又圆心到()0,2-5=的最大值为516+=． 故选：C ． 10.D
【解析】10.
建立空间直角坐标系，利用空间向量一一验证即可；
解：如图建立空间直角坐标系，则()1,0,A a a ，()1,,B
a a a ，0,0,2a E ⎛⎫
⎪⎝⎭
，(),,0B a a ，()0,0,0D ，()10,0,D a ，则1,,2a B E a a ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，(),,0DB a a =，()1,0,DA a a =，
()1,,BD a a a =--，设面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，所以0
0ax az ax ay +=⎧⎨+=⎩
，取1x =，
则1y z ==-，所以()1,1,1n =--，所以
()()()()11111122
a a
B E n a =⨯-+-⨯-+-⨯
=-，当2a ≠时10B E n ≠，故1B E 不一定平行面1A BD ，故A 错误；
因为()()()()2
115022
a B E BD a a a a a a =-⨯-+-⨯-+⨯=≠，所以1B E 与1BD 不垂直，故B 错误； 111113111
1
3
6
C B CE B C EC C EC
V V S
B C a --===，故C 错误；
面11CDD C 的法向量为()1,0,0m =，设直线B 1E 与平面CDD 1C 1所成的角为θ，则
112
sin
31m B E
m B E
θ=
=
=
⨯
，所以cos 3
θ== 所以2
sin tan cos θθθ===D 正确； 故选：D
11.B
【解析】11.
设()11,A x y ，()22,B x y ，根据四边形1OF AB 为平行四边形可得12y y =，利用椭圆方程可得21x x =-，利用1//F A OB ，且直线1F A 的倾斜角为60°可得121,1x x =-=，
12y y ==(A -，代入椭圆方程并结合2224a b c -==可得1a =+，
从而可得结果.
依题意可知，2c =，设()()1122,,,A x y B x y ， 因为四边形1 OF AB 为平行四边形，所以12 y y =， 又2211221x y a b +=，2
2
2222
1x y a b
+=， 所以21 x x =-，
又1/ /F A OB ，且直线1F A 的倾斜角为60︒，
所以
12
122y y x x ==+ 因为12
y y =，21x x =-，
所以11x =-，21x =，12y y ==
所以(A -，将其代入22
221x y a b
+=，
得
22
13
1a b +=➀ 又2c =，
所以2224a b c -==②
所以联立①②解得24a =+2b =故选：B.
12.2
0000,20200x x x ∀>+-≤
【解析】12.
利用含有一个量词的否定的定义求解即可．
命题“2
0000,20200x x x ∃>+->”的否定是“2
0000,20200x x x ∀>+-≤” 故答案为：2
0000,20200x x x ∀>+-≤ 13.460x y +-=或3270x y +-=
【解析】13.
分所求直线与直线AB 平行或所求直线过线段AB 的中点，结合点斜式可得出所求直线的方程.
直线AB 的斜率为35
424
AB k +=
=--，线段AB 的中点坐标为()3,1-. ①若所求直线与直线AB 平行时，则所求直线的方程为()241y x -=--，即
460x y +-=；
②若所求直线过AB 的中点时，则所求直线的斜率为213
132
+=--， 故所求直线方程为()3
212
y x -=-
-，即3270x y +-=. 综上所述，所求直线方程为460x y +-=或3270x y +-=. 故答案为：460x y +-=或3270x y +-=.
【解析】14.
设(D x ，y ，)z ，根据AB DC =，求出点D 的坐标，可的(5BD =，1，4)，即可求出
||BD
解：空间三点(0A ，2，3)，(2B -，1，1)，(1C ，1-，3)，四边形ABCD 是平行四边形， 设(D x ，y ，)z ，
(2AB =-，1-，2)-，(1DC x =-，1y --，3)z -，AB DC =，
21x ∴-=-，11y -=--，23z -=-，
解得3x =，0y =，5z =，
(3D ∴，0，5)，
∴(5BD =，1，4)，
||BD ∴=
15.
43
【解析】15.
根据椭圆定义，可得|PF 1|＋|PF 2|＝4，利用余弦定理，变形整理，即可求得结果.
由椭圆定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝4，利用余弦定理可得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 60°＝
|F 1F 2|2， 所以22121212
()312PF PF PF PF F F +-⋅==， 解得3|PF 1|·
|PF 2|＝4，即12PF PF ⋅=43， 故答案为：43
16.22(3)25x y +-=
【解析】16.
设圆C 的圆心为()0,C b ，半径为()0r r >，分别求出圆心C 到直线1l 和2l 的距离，利用直线与圆的位置关系列出方程组，可得圆的方程．
设圆C 的圆心为()0,C b ，半径为()0r r >
圆心C 到直线1l
的距离为1435b d +==，
圆心C 到直线2l 的距离为
24375
b d -== 则2221282r d r d ⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=⎩，即()()222243162543725b r b r ⎧+=+⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
，解得35b r =⎧⎨=⎩ 则圆C 的方程为22
(3)25x y +-=
故答案为：22(3)25x y +-=
17.（1）答案见解析；（2）4cm .
【解析】17.
（1）直接画出三棱锥S ABC -即可；
（2）作SE ⊥面ABC ，取线段AC 中点为D ，分别在等腰ABC ，Rt SEA △，Rt SEC △，Rt BDE △和Rt SEB △中，求出线段长度，得到该几何体最长的棱长． （1）
（2）如下图，SE ⊥面ABC ，线段AC 中点为D
2,3,1,4,2,=1SE cm AE cm CE cm AC cm AD DC cm DE cm ======，BD AC ⊥，3BD cm =，
在等腰ABC 中，AB AC ==
在Rt SEA △中，SA ==
在Rt SEC △中，SC =
==
在Rt BDE △中，BE ==
SE ⊥面ABC ，SE BE ∴⊥
在Rt SEB △中，SB ===
在三梭锥S-ABC 中，SC AB AC SA SB AC <==<<，
所以最长的棱为AC ，长为4cm
18.（1）(1,2)-；（2）[
2,)+∞.
【解析】18.
（1）分解因式化简命题p ，将1a =代入，由p q ∧为真，可得m 的取值范围；
（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴p 是q 的必要不充分条件，利用集合的包含关系列出
不等式组，可得a 的取值范围．
依题意变形，得:()(3)0p m a m a +-<，即3(0)a m a a -<<>.
由题意得2:4q m <，22m ∴-<<.
（1）当1a =时，:13p m -<<，p q ∧为真，,p q ∴都为真，(1,2)m ∴∈-.
（2）p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即 p 是q 的必要不充分条件，
(2,2)∴- (,3)a a -
结合数轴得，>0223a a a ⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩
，即2a ≥，
经检验2a =时满足p 是q 的必要不充分条件，[
2,)a ∴∈+∞.
19.（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】19.
（1）取MD 中点为F ，连接EF ，CF ，四边形BCFE 为平行四边形，所以//BE CF ，利用线面平行的性质定理即可证明；
（2）利用勾股定理证明AC CD ⊥，设点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上设为点H ，再利用已知条件证明MH CD ⊥，利用线面垂直的判断定理即可证明.
（1）取MD 中点为F ，连接EF ，CF ，
则EF 为△MAD 中位线，∴ 1//
2EF AD 且1=2EF AD ， 又四边形ABCD 是直角梯形，22AD AB BC ==
1//2BC AD ∴，1=2
BC AD //BC EF ∴且=BC EF ，
∴四边形BCFE 为平行四边形，所以//BE CF ，
因为BE ⊄面MCD ，CF ⊂面 MCD ，所以//BE 面MCD .
（2）在四棱锥M ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，222AD AB BC ===，90ABC BAD ∠=∠=，
AC CD ∴===222AC CD AD ∴+=，AC CD ∴⊥，
设点M 在面ABCD 上投影在线段AC 上，设为点H ，
MH ∴⊥面ABCD ，CD ⊂面ABCD ，
MH CD ∴⊥，
又AC CD ⊥，AC MH H ⋂=， CD 面MAC .
20.（1）22
142
x y +=；（2）证明见解析.
【解析】20.
（1）由已知得到关于,a b 的方程组，解方程组即得解；
（2）设直线l
的方程为x my =+理化简12
k k 即得解. （1）椭圆D
的离心率2
e a ==
，a ∴=
，又点1)-在椭圆D 上， 22211a b
∴+=，得2a =
，b = ∴椭圆D 的标准方程22142
x y +=. （2）由题意得，直线l
的方程为x my =
由22
142x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=⎩
消元可得(
)22220m y ++-=， 设())()1122,,,A x y B x y ，
则1222y y m
+=-+，12222y y m =-+，
()(
)1212121212222()4(2(4x x x x x x my my my my ++=+++=++++
221212(2()2)m y y m y y =+++
22222212(22222)m m m m m ⎛⎫+⎛⎫=-++-+= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ ()()(
)2112122121222212121212222223222422x k y x y y x y y y y k x y x y x x x x ----∴=⋅=⋅=⋅==-+++-++(定值).。