_恒成立问题_与_有解问题_的区分及解题策略

f ( x) 最小值为 m ⇔ f ( x) ≥ m 恒成立．
故满足条件的直线 l 存在，其方程为 y =
p ． 2 ③对称问题．其求解策略为利用以下结论：
f ( x) 关于 (a ， b) 对称 ⇔ f ( x) + f (2a − x) = 2b 恒成立； f ( x) 关于 x = a 对称 ⇔ f ( x) = f (2a − x) ． 1 例 7 设函数 f ( x) = ax + (a ， b ∈ Z) ．若曲线 x+b y = f ( x) 为中心对称图形， 且在点 (2 ， f (2)) 处的切线
参考文献 [1]严士健等．数学课程标准（实验）解读．南京：江苏教育出版社，2004 [2]郑菊萍．反思性学习简论．上海教育科研，2002（8），43
“恒成立问题”与“有解问题”的区分及解题策略
邱春来 福建省厦门第一中学（361003） 方法 2（ 构造函数法）即先构造关于变量的函 数，然后利用函数知识和方法解决．
∵ −1 ≤ a ≤ 1 ， ∴| x1 − x2 |= a 2 + 8 ≤ 3 ．
1] 恒成立， 所以 m 2 + tm + 1 ≥ 3 对任意 t ∈ [−1， 此时
采用“分离参数法”，即先把参数（所求的那个字母） 分离出来，然后利用下列原理： a > f ( x) 有解 ⇔ a > f ( x) min ；
都不小于 k ⇔
y2 − y1 ≥k x2 − x1
⇔ y2 − y1 ≥ kx2 − kx1 ⇔ y2 − kx2 ≥ y1 − kx1 ⇔ g ( x2 ) − kx2 ≥ g ( x1 ) − kx1 ，
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构造 h( x) = g ( x) − kx ， 则 h( x2 ) ≥ h( x1 ) ⇔ h( x) 为增 函数 ⇔ h′( x) ≥ 0 恒成立． ⑤函数最值的逆运用问题．其求解策略为利用 以下结论： f ( x) 最大值为 M ⇔ f ( x) ≤ M 恒成立；
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上述解题过程可知，当 a = 1 ， b = 0 时，才取等号， 而此时 2 ≤ a + b ≤ 4 不能成立．同理 4a + 2b ≤ 16 等号 也无法取到． 反思 2 为什么会出现这样的错误呢？原因是 “同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同 向 ” 这一性质是单向的，用它来做变形为非同解变 形．以上解法为了求得 a ， b 范围，多次应用这一性 质，必然使所求范围扩大，从而揭示问题的隐蔽性． 反思 3 那什么时候可以多次应用同向不等式相 加这一性质呢？还有其他解法吗？ 笔者认为解题后，不能停留在所得出的结论上， 而应把对象的本质抽取出来，再进一步推广为这一 类对象所具有的普通属性，提高思维的广阔性． 首先应反思解题思路，根据题目的基本特征， 进行多角度观察、联想，找到更多的思维通道，去 探索更简便的解题途径．通过一题多解训练发散性
⎛x y + p⎞ ． 且 O′ 点的坐标为 ⎜ 1 ， 1 2 ⎟ ⎝2 ⎠ 1 1 1 2 ∵| O ′P |= | AC |= x12 + ( y1 − p ) = y12 + p 2 ， 2 2 2 y +p 1 = | 2a − y1 − p | ， | O ′H |= a − 1 2 2
a < f ( x) 有解 ⇔ a < f ( x) max ； a = f ( x) 有解 ⇔ a ∈ f ( x) 值域． 2) 有解， 求实 例 3 已知方程 − x 2 + x + a = 0 在 (1 ，
变量只剩“ t ”，考察“ t ”的函数． 设 g (t ) = m 2 + tm − 2 = mt + (m 2 − 2) 是关于 t 的一 次函数， 观察一次函数图形知道 g(−1) = m2 − m − 2 ≥ 0 ，
例 9 设 a ∈ R ，函数 f ( x) = ax3 − 3 x 2 ，若函数
b) 内有零点可以得到 调，若单调，则 f ( x) 在 (a ， f (a) ⋅ f (b) < 0 ，若不明确 f ( x) 在 (a ， b) 的单调性，则
容易求 A = {a | −1 ≤ a ≤ 1} ， 而 | x1 − x2 |=
( x1 + x2 )
2
− 4 x1 x2 = a 2 + 8 ，
x2 + 2x + a > 0 恒成立，只 x
+ ∞) 时恒成立， 考虑二次函数 需 a > − x 2 − 2 x 在 x ∈ [1 ， g ( x) = − x 2 − 2 x 在 x ∈ [1 ， + ∞) 的最大值 g max ( x) = g (1) = −3 ，得 a > −3 ．
2．“恒成立问题”与“有解问题”的解题策略 （1） “恒成立问题”的解题策略 “恒成立问题”中一般有 2 个以上未知量， 通常把 所求的未知量定义为“参数”，其余未知量定义为“变 量”． 方法 1（分离参数法） ，即先把参数（分离出来， 然后利用下面原理： a > f ( x) 恒成立 ⇔ a > f ( x) max ；
f ( x) 在 D 上单调递减 ⇔ f ′( x) ≤ 0 在 D 上恒成立．
数 a 的取值范围． 解析 “ a ”是参数， “ x ”是变量． 函数 f ( x) = − x 2
+ x + a 在 (1 ， 2) 单 调 ， 故 f ( x) = 0 在 (1 ， 2) 有 解
⇔ f (1) ⋅ f (2) < 0 ，解得 a ∈ (0 ， 2) ．
构造关于 m 的一次函数 f ( m) = m( x2 −1) − ( 2x −1) ，
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2 ⎧ ⎧ ⎪ f ( −2 ) < 0， ⎪−2 ( x − 1) − ( 2 x − 1) < 0， ∴⎨ ∴⎨ 2 ⎪ ⎩ f ( 2 ) < 0， ⎪ ⎩2 ( x − 1) − ( 2 x − 1) < 0．
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∴| PH |2 =| O′P |2 − | O ′H |2
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x1 < x2 ， 函数 g ( x) 的图象上任意不同两点连线的斜率
1 2 1 ( y1 + p 2 ) − (2a − y1 − p) 2 4 4 p⎞ ⎛ = ⎜ a − ⎟ y1 + a( p − a ) ， 2⎠ ⎝ ⎡⎛ p⎞ ⎤ ∴| PQ |2 = (2 | PH |) 2 = 4 ⎢⎜ a − ⎟ y1 + a ( p − a ) ⎥ ． 2⎠ ⎣⎝ ⎦ = p p 令 a − = 0 ，得 a = ， 2 2 此时 | PQ |= p 为定值，
a < f ( x) 恒成立 ⇔ a < f ( x) min ； a > f ( x) 有解 ⇔ a > f ( x) min ， a < f ( x) 有解 ⇔ a < f ( x) max ， a = f ( x) 有解 ⇔ a ∈ f ( x) 值域．
例 1 函数 f ( x) =
解析 “ a ”是参数，“ x ”是变量．显然“ a ”很好分 离，所以选用“分离参数法”． 对 x ∈ [1 ， + ∞) ， f ( x) =
a < f ( x) 恒成立 ⇔ a < f ( x) min ．
例 2 若不等式 2 x − 1 > m ( x 2 − 1) 对满足 m ≤ 2 的
所有 m 都成立，求 x 的取值范围． 解析 “ x ”是参数， “ m ”是变量． 显然“ x ”不好分 离，所以选用“构造函数法” ． 所以对满足 m ≤ 2 的 m ， f ( m ) < 0 恒成立，
x2 + 2 x + a x ∈ [1 ， ， + ∞) 对任意 x x ∈ [1 ， + ∞) ， f ( x) > 0 恒成立，求 a 的取值范围．
1．恒成立问题与有解问题的区分 （1）两者在“量词”上有区别 任意、 恒成立中使用的量词是全称量词， 如“ ∀ 、 所有、全部、均、恒、总、都”等；而有解问题中使 用的量词是特称量词，如“ ∃ 、存在、有、至少一个、 有解”等． （2）两者在等价转换上有区别 a > f ( x) 恒成立 ⇔ a > f ( x) max ，
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解得
1+ 3 −1 + 7 ． <x< 2 2
“ x ”与“ t ”均是变量． 先把“ t ” 解析 “ m ”是参数， 2 当作参数，则 m + tm + 1 为参数， 所 以 m 2 + tm + 1 ≥| x1 − x2 | 对 任 意 a ∈ A 恒 成 立
思维，优化思维品质． 其次，在解题后进行反思，归纳解题规律．通 过多题同解、一题多变，做到举一反三，触类旁通． 最后，思考解题中涉及到哪些知识要点和数学 思想方法，解题方法能否推广，解题过程有没有漏 洞，解题结果是否正确、合理？通过解题反思，巩 固所学的知识，重构自己的认知结构，从而发展思 维，提高探索能力，引发再创造． 数学教育家弗赖登塔尔认为：反思是数学创造 性思维的重要表现，它是一种高层次的数学创新活 动，是数学活动的动力，必须教育学生对自己的判 断与活动进行思考并加以证实，以便他们学会反 思．教学实践表明：反思是学好数学的关键之一．
y
轴的直线 l ， 使得 l 被以 AC 为直径的 B 圆截得的弦长恒为 C O′ 定值？若存在，求 A l 出 l 的方程；若不 O x 存在，说明理由． N x 解析 假设满 足条件的直线 l 存在，其方程为 y = a ，设 AC 的中点 为 O′ ， l 与 AC 为直径的圆相交于点 P ， Q ， PQ 的 中点为 H ，则 O′H ⊥ PQ ，
1] 恒成立？ a ∈ A 及 t ∈ [ −1 ，
②定值问题．其求解策略为利用以下结论： f ( x) = an x n +an −1 xn −1 + … + a1 x1 + a0 为定值
⇔ an = an −1 = ⋅⋅⋅ = a1 = 0 ．
例 6 在平面直角坐标系 xOy 中， 过定点 C ( 0 ， p) 作直线与抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0 ) 相交于 A ， B 两点， 是否存在垂直于 y
g (1) = m 2 + m − 2 ≥ 0 ，解得 m ≥ 2 或 m ≤ −2 ．
4．一些较为隐蔽的“恒成立问题、有解问题” （1）一些较为隐蔽的“恒成立问题”及求解策略 ①与“ f ( x) 在区间 D 上单调递增（递减）” 有关 的问题．其求解策略为利用以下结论： f ( x) 在 D 上单调递增 ⇔ f ′( x) ≥ 0 在 D 上恒成立；
求实数 例 4 已知方程 − sin 2 x + sin x + a = 0 有解， a 的取值范围． 解析 “ a ”是参数， “ x ”是变量．f ( x) = − x 2 + x + a 在 [−1 ， 1] 不单调， 而“ a ”很好分离， 所以选用“分离参 数 法 ” ． a = sin 2 x − sin x 有 解 ⇔ a ∈ (sin 2 x − sin x) 范 ⎡ 1 ⎤ 2 ⎥ ，所以 围．容易求得 (sin 2 x − sin x) 的范围是 ⎢ − ， ⎣ 4 ⎦ ⎡ 1 ⎤ a ∈ ⎢− ， 2⎥ ． ⎣ 4 ⎦ 3．“多变量恒成立问题”与“多变量有解问题”的 解题策略 求解这类问题时，可以对变量逐一考虑，即先 考虑把一个变量当作主元，把另外变量当作参数， 在分析完一个变量后再考虑剩下的变量． 2x − a 1] 上是 例 5 已知 f ( x) = 2 ( x ∈ R ) 在区间 [−1 ， x +2 增函数，实数 a 的值组成的集合 A ；设关于 x 的方程 1 f ( x) = 的两个非零实根为 x1 ， x2 ．试问：是否存 x 在实数 m ，使得不等式 m2 + tm + 1 ≥| x1 − x2 | 对任意
⇔ m 2 + tm + 1 ≥ x2 − x1 max ，
（2） “有解问题”的解题策略 “ f (a) ⋅ f (b) < 0 ” 是 f ( x) 在 (a ， b) 内有零点的充 分非必要，只有 f ( x) 在 (a ， b) 上单调时是充要条件， 所以在解“有解问题”时， 首先看 f ( x) 在 (a ， b) 是否单