第11讲：第三章第七节：超静定结构(二)(2013年新版)

三、对称结构的计算

1．对称结构与对称荷载

如果结构的几何形状、支承情况、构件刚度及截面尺寸均关于某一坐标轴对称，这种结构称为对称结构，平分结构的坐标轴称为对称轴（图3-62a、图3-63a、图3-65a）。

作用在对称结构上的荷载，如果在对称轴的两边大小相等，绕对称轴对折后其作用点和作用线均重合且指向相同，这种荷载称为正对称荷载（简称对称荷载）（图3-62a、3-63a、3-65a）；如果在对称轴的两边大小相等，绕对称轴对折后其作用点和作用线均重合但指向相反，这种荷载称为反对称荷载（图3-64、图3-66a）。

对称结构在正对称荷载作用下，其反力、内力、变形和位移都是正对称的，而在反对称荷载作用下，其反力、内力、变形和位移都是反对称的。利用对称结构这一特性可以简化结构计算。

实际上，如果结构对称，荷载对称，则轴力图、弯矩图对称，剪力图反对称，在对称轴上剪力为零。如果结构对称，荷载反对称，则轴力图、弯矩图反对称，剪力图对称，在对称轴上，轴力、弯矩为零。

【例3一24】利用对称性计算图3一62（a）所示结构，作出内力图。

该结构是一个对称的静定结构。因受对称荷载作用，故其内力必然是对称的。

注意到截面D处于对称轴上，故该截面上只有水平轴力，而剪力为零（否则该截面上的竖向力不对称）。于是取出半边结构ABCD如图3-62（b）所示，该半边结构的弯矩图无需计算支座反力即可快

速绘出。

因D处水平反力对CD杆的弯矩没有影响，据此可直接求得M CD=M CB=Pa/2（外侧受拉）。又因ABC 区段的弯矩图为一直线，故连接C、B两点的弯矩竖标并延伸至A点，即可得到该区段的弯矩图（3-62c）。

整体结构的弯矩、剪力和轴力图如图3-62（d）、（e）、（f）所示。

由上例计算结果可以看到，对称结构作用对称荷载，其内力是对称的，表现在内力图上则是：轴力图和弯矩图是正对称的，而剪力图是反对称的。实际上，在任意两个对称截面上，剪力本身的大小和指向仍是正对称的，只是由于剪力的符号规定（绕隔离体顺时针转为正）使得剪力图为反对称。

类似地，对称结构在反对称荷载作用下，轴力图和弯矩图是反对称的，而剪力图是正对称的（剪力的大小和指向仍是反对称的）。

2．取半边结构简化计算

对称结构在对称或反对称荷载作用下，一种较有效的简化分析方法是根据对称性取出半边结构进行计算，再由对称性作出整体结构的内力图。

例如图3-63（a）所示对称结构（奇数跨）作用正对称荷载，与对称轴重合的截面C上将只有对称的轴力和弯矩，而剪力为零；若从变形上看，则截面C只有竖向位移，而水平和转角位移必为零。这样，如果取半边结构分析，则截面C处可用一竖向滑动支承代替（图3-63b）。

对于图3-64（a）所示作用反对称荷载的情形，与对称轴重合的截面C上的轴力和弯矩必为零，截面C的竖向位移也必为零；如果取半边结构分析，则截面C处可用一竖向链杆支承代替（图3-64b）。

图3-65（a）所示对称结构（偶数跨），杆件CD位于对称轴上。在正对称荷载作用下，杆件CD 只有轴力和轴向变形（否则不对称）。由于刚架计算中通常忽略杆件的轴向变形，这样截面C将没有任何位移，即与固定支座相当，如图3-66（a）所示为作用反对称荷载的情形，取出半边结构如图3-65（b）所示。

与对称轴重合的杆件CD上的轴力和轴向变形为零（其他内力和变形一般不为零）。如果取半边结构分析，则需将杆件CD的刚度折半，其计算简图如图3-66（b）所示。在半边结构计算中，杆件CD 的轴力虽不为零，但由于该半边的内力与另半边反对称，因此叠加后杆件CD上的轴力仍为零。

【例3一25】判断图3 67（a）所示刚架的变形形状，作出位移轮廓图。

后如图3-67（b）、（c）所示。

图（b）为作用对称荷载的情况，若不计轴向变形的影响，则该情况不产生弯矩（由水平杆件独立承担轴力P/2）。

图（c）为作用反对称荷载的情况，取半边结构计算如图（d）所示。在水平向右荷载作用下，容易判断支座A附近为左侧受拉，支座C将产生竖直向上的反力，即结点D附近为内侧受拉，这样可作出弯矩图轮廓如图（d）所示。整体结构的弯矩图见图（e）。

根据弯矩图的受拉侧可绘出结构的位移轮廓图如图3-67（a）所示。

四、超静定结构的特性

（l）超静定结构是具有多余约束的几何不变体系，在多余约束被破坏后，一般仍能进一步承受荷载，因此与相应的静定结构相比，超静定结构具有更强的防护能力。

（2）超静定结构的内力分布一般比相应的静定结构更为均匀，内力峰值更小些，结构的刚度也有一定提高。

（3）超静定结构的内力状态与结构的材料性质及截面尺寸有关。在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆刚度的相对比值有关，而与其绝对值无关。

（4）在超静定结构中，温度改变、支座位移、材料收缩、制造误差等均会引起反力和内力；内力的大小与各杆刚度的绝对值有关，并且一般与各杆刚度的绝对值成正比。

例题：

1．图示析架中零杆的个数是

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：D

2．图示析架有（）根杆件为零杆。

A.2；

B.3

C.4；

D.5

答案：C

3．图示结构中，CD杆的轴力是（）。

A.P，压力；

B.P，拉力

C.0；

D.0.3P，压力

提示：取结点D，用零杆判别法即得。答案：C

4．确定图中所示结构的超静定次数：

A.一次；

B.二次

C.三次

D.四次

【答案】B

【说明】该结构的计算自由度W=3×5-(2×4+9)=-2；自由度S=0，多余约束n=S-W=2，故超静定次数为2。

5．如图所示结构超静定次数为：

A.5；

B.6；

C.7；

D.8

【答案】D

【说明】划分成如图3-221所示的4个钢片，计算自由度w=3×4-(3×2+2×2+10)=-8。

6如图所示结构被均匀加热t℃，产生A、B支座内力为：

A.水平力、坚向力均不为零

B.水平力为零，竖向力不为零

C.水平力不为零、竖向力为零

D.水平力、竖向力均为零

【答案】D

【说明】右图所示结构为静定结构，温度变化不产生内力变化。

7．如下图所示结构在荷载作用下的各弯矩图中哪个图是正确的(图中弯矩图画于构件的下侧)?