证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分

三、证线段或角的和差
方法 1、在长者上截一短者，证明余者等于另一短者。 方法 2、延长一短者，使其等于二短者之和。证明延长后与长者 相等。 例 1 △ABC 是圆内接正三角形，P 是 BC 弧上任一点。求证： PA=PB+PC。 证明：在 AP 上截 AE=PC，连接 BE ∵∠1=∠2 AB=AC PC=AE
例 5 若圆内接四边形的对角线互相垂直，则圆心到四边形一边 的距离等于这边的对边的一半。 分析：从图上看，OE 与 AD 之间没 有任何关系，这时我们就要想法找一个 量与他们俩都有关系的量。借助这个量 进行等量传递。但这个量也找不到。于 是我们就想法造这个量。 1 证明：过 B 作直径 BF，连接 CF。则 OE= CF 2 在△DHC 和△FCB 中 ∠DHC=∠FCB ∠BDC=∠F ∴∠1=∠2 ∴AD=CF ∴AD=2OE 例 6 E 是正方形 ABCD 的 CD 边的中点。F 是 EC 的中点。求证： 1 ∠DAE= ∠FAB 2 证明：作∠FAD 的平分线交 BC 于 H，交 DC 的延长线于 G 则∠1=∠2=∠G ∴FA=FG
四、证线段或角的和差倍分
方法：1、先作出和差，再证明倍分。 方法：2、先证明倍分，再计算和差。 （此法多用于证线段） 方法：3、用计算的方法——纯代数法—— 证明和差倍分。 （此 法多用于证角，便于计算。 ）注意：在证明角的和差倍分时，涉及到 的量比较多，往往用单一字母表示角进行计算。 例 1 △ABC 中，AB＞AC，AD 是角平分线，M 是 BC 的中点， 1 EM⊥AD 交 AB 于 E，求证：BE=2 （AB-AC） 证明：在 AB 上截 AF=AC 则 FC⊥AD ∴EM∥FC BF=AB-AC ∵BM=MC ∴BE=EF
证法 2 延长 BD 至 E， 使 DE=AD。
在 BC 上截 BF=BA，则△ABD≌△FBD ∴AD=FD=DE ∠ADB=∠BDF=60° ∴∠FDC=60°=∠EDC ∴△CED≌△CFD ∴∠DEC=∠DFC=80°=∠FCE ∴BC=BE=BD+DE=BD+AD 作业 10、在△ABC 中，∠B=2∠C，AD 是角平分线。求证：AB+BD=AC。 11、△ABC 中，CE 是高，AB=AC，D 是 BC 延长线上一点，DF⊥AB 于 F，DM⊥AC 交 AC 延长线于 M。求证：DM=DF-CE。 12、E、F 分别是正方形 ABCD 边 BC 和 CD 上的点且∠EAF=45°。 求证：EF=BE+DF 方法 3、利用三角形的面积。判断：当结论中的三条线段分别是 底边相等的三个三角形的高时，考虑利用三角形的面积进行证明。 例3 的高。 已知：如图 AB=AC PE⊥AB PD⊥AC CF⊥AB 求证：CF=PE+PD 1 证明：S△APB= AB·PE 2 1 S△APC= AC·PD 2 1 1 1 S△ABC=S△APB+S△APC ∴ AB·CF= AB·PE+ AB·PD 2 2 2 CF=PE+PD 求证：等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰上
证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分
一、证明线段或角的倍分 1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍 2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问 题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。 3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或 利于利用已知条件而添。 4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与 被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。此时，添 线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。参考例 4、例 5、例 6。 例 1 AD 是△ABC 的中线，ABEF 和 ACGH 是分别以 AB 和 AC 为边向形外作的正方形。求证：FH=2AD 证明：延长 AD 至 N 使 AD=DN 则 ABNC 是平行四边形 ∴CN=AB=FA AC=AH
例 4 从平行四边形的钝角顶点 A 向 BC 边作垂线，垂足为 E，
BD 交 AE 于 F 且 FD=2AB。求证：∠ABD=2∠DBC 证明：取 FD 的中点 M，连接 AM，则 AB=FM=MD=AM ∴∠1=∠2 ∠3=∠4 ∠3=∠1+∠2=2∠2 ∠2=∠5 ∠3=2∠5 ∴∠4=2∠5 即∠ABD=2∠DBC
又∠FAH+∠BAC=180° ∠BAC+∠ACN=180° ∴△FAH≌△NCA ∴FH=AN 例 2、△ABC 中，∠B=2∠C， AD 是高，M 是 BC 边上的中点。 ∴FH=2AD
1 求证：DM=2 AB 证明：取 AB 的中点 N，连接 MN、DN 则 MN∥AC ∠1=∠C ∠2=∠B ∴∠2=2∠1 ∴∠1=∠DNM ∴DM=DN
定理： 直角三角形内切圆的直径等于
两条直角边的和减斜边的差。 已知： 如图 Rt△ABC 中∠C=90°⊙O 分别切 BC、CA、AB 于 D、E、F，设⊙O 的直径是 d 求证：d=AC+BC-AB 证明：连接 OE、OD 则 CD+CE=d ∵DC=BC-BD=BC-BF CE=AC-AE=AC-AF ∴DC+CE=BC+AC-(BF+AF)=BC+AC-AB
1 1 ∴BE=2 BF=2 (AB-AC) 例 2 梯形 ABCD 的腰 CD⊥BA。E、F 是 AD、BC 的中点。求 1 证：EF=2 （BC-AD） 证明： 作 EM∥AB 交 BC 于 M， EN∥CD 交 BC 于 N， 则 AE=BM， ED= FN ∴MN=BC-AD ∵CD⊥BA ∴EF=MF=FN 1 ∴ EF=2 （BC-AD） 证法二：延长 BA、CD 相交于 O，连接 OF 交 AD 于 E BF:FC=A E : E D ∵BF=FC 的中点，∴E 和 E 重合。 1 1 ∴OE=2 AD OF=2 BC 1 1 ∴EF=OF-OE=2 BC-2 AD 1 ∴ EF=2 （BC-AD） 例 3 四边形 ABCD 中，∠DAB 和∠ABC 的角平分线相交于点 1 O。求证：∠ O=2 （∠C+∠D） 证明：设∠DAB=α ∠ABC=β ∠C=θ ∠D=φ
方法 4：利用等量传递 例4 如图 Rt△ABC 中，∠A=90°AB=AC，MN 过 A，BD⊥MN 于 D，
CE⊥MN 于 E。求证：DE=BD+CE 证明：∠1+∠2=90°∠2+∠3=90° ∴∠1=∠3 AB=AC ∴△ADB≌△CEA ∴DA=CE BD=AE ∴DE=DA+AE=BD+CE 例 5 如图 G 是△ABC 的重心，直线 MN 过 G。AD⊥MN 于 D，BE⊥ MN 于 E，CF⊥MN 于 F。求证：AD=BE+CF 证明：连接 AG 并延长交 BC 于 H， 1 作 HI⊥MN 于 I，则 HI= (BE+CF) 2 ∵△ADG∽△HIG ∴ 例6 AG AD 2 = = GH HI 1 ∴AD=2HI AD=BE+CF
1 又 AN=DN=ND ∴DM=2 AB 例 3 △ABC 中，AB=AC，E 是 AB 的中点，D 在 AB 的延长线上，且 DB=AC。求证：CD=2CE 证明：过 B 作 CD 的中线 BF 则 1 BF∥2 AC ∠A=∠DBF ∵AB=AC，E 是 AB 的中点 ∴BF=AE 又 DB=AC ∴△AEC≌△BFD 作业： 1、在△ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点，BE 的延长 1 线交 AC 于 F，求证：AF=2 FC 2、AB 和 AC 分别切⊙O 于 B 和 C，BD 是直径。求证∠BAC=2∠CBD 3、圆内接△ABC 的 AB=AC，过 C 作切线交 AB 的延长线于 D， DE 垂直于 AC 的延长线于 E。求证：BD=2CE ∴DF=CE ∴CD=2CE
△GEF≌△DCF 1 ∴FD=4 BE 例 2 △ABC 中， ∠C 是钝角， EC 垂直于 BC 交 AB 于 E 且 BE=2AC。 求证：外角∠ACD=3∠B 证明：作 CF∥AB 则∠1=∠B 取 BE 中点 G,连接 CG 则∠B=∠4 ∠A=∠3 ∴∠3=2∠4=∠2 ∴∠ACD=∠2+∠1=3∠B 1 例 3 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点， F 在 AD 上， 且 AF= 3 1 AD，FE 交 AC 于 G。求证：AG= AC 5 证明：延长 FE 交 CB 的延长线于 H 则△AFE≌△BHE ∴AF=BH ∵AD=3AF ∴CH=4AF ∠2=∠A
∴d=AC+BC-AB 作业： 13、求证：正三角形内任一点到三边的距离之和等于高。 14、在△ABC 中，角平分线 BD、CE 相交于 O。过 O 作 MN∥BC， 分别交 AB、AC 于 M、N。求证：MN=BM+CN。 15、MN 是平行四边形 ABCD 形外任一条直线。求证：一对角线上 两顶点到 MN 的距离之和等于另一条对角线上两顶点到 MN 的距离之 和。 16、CD 是 Rt△ABC 斜边上的高。求证：内切于△ABC、△CAD、 △CBD 的三个圆的半径的和等于 CD。
二、证明三倍以外的倍分问题
1、方法：①当是偶数倍时，采取折半再折半或折半传递。
②当是奇数倍时采用传递或减一传递。 1 例 1 △ABC 中，E 是 AB 的中点。D 是 AC 上一点，且 CD=2 1 DA。BD 交 CE 于 F。求证：FD=4 BE 1 证明：作 EG∥2 AD
∴EG=CD
BG=GD
作业： 7、△ABC 中，AC 垂直 2 BC，AD∥BC 交 BD 于 D，BD 交 AC 于 E 且 ED=2AB。求证：∠ABE= ∠ 3 ABC 8、延长⊙O 的半径 OA 到 B，使 AB=OA，CD 切⊙O 于 D，且 CD 不 经过 AB 之间。BC⊥CD 于 C。求证：∠ABC=∠CAD 9、AB 弧=120°，PA、PB 切⊙O 于 A、B。⊙O，分别切 AB 弧、PA、 1 PB 于 C、D、F。求证：⊙O，的周长= ⊙O 的周长。 3
∵△AFG∽△CHG ∴CG=4AG 1 ∴ AG= AC 5 例 4 AB 是⊙O 的直径。弦 CD 交 AB 于
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⌒ 1 ⌒ P，且 PC=PO。求证： AC= BD 3
证明：连接 OC、OD 则∠1=∠C=∠D ∠3=∠1+∠C=2∠1 ∠BOD=∠3+∠D=3∠1
⌒ 1 ∴ AC= ⌒ 3 BD
∴△ABE≌△CBP
∴BE=BP
∵∠3=∠4=60°∴BP=BE=EP ∴PA=PB+PE 证法 2：在 AP 上截 AE=PB 连接 CE 则△ACE≌△BCP 根据∠APC=60°可证 PEC 是正三角形，从而命题得证。 证法 3、延长 BP 交 AC 的延长线于 E，则 ∠BPA+∠APC+∠CPE=180° ∠ACB+∠BCP+∠ PCE=180°， 可证△PCE 是正三角形。继而 可证△BEC≌△APC，从而命题得证。 证法 4、延长 BP 至 E，使 PE=PC。连接 CE。从而可证△PCE 是正三角形。继而可证△BEC≌△APC，从而命题 得证。 （右图可用于证法 3 和证法 4） 例2 BD+AD=BC 证明：在 BC 上截 BE=BD。则∠3=∠4 ∠A=100° AB=AC ∴∠ABC=∠C=40° ∴∠1=∠2=20°∠3=∠4=80°∠5=180°-∠ADB-∠3=40°=∠C ∴DE=EC 又 A、B、E、D 四点共圆 ∴AD=ED ∴BD+AD=BC △ABC 中，AB=AC，∠A=100°,BD 是角平分线。求证：
设正方形的边长为 a 5 AF= a=FG 4 ∴△ABH≌△GCH≌△ADE ∴∠3=∠2 1 ∴∠DAE= ∠FAB 2 作业：
则 AF2=AD2+DF2
CG=FG-FC=a
4、ABCD 是正方形，P 是 CD 上一点，AP=PC+BC。M 是 CD 的中点。 求证：∠BAP=2∠MAD 5、△ABC 中，AB=AC。D 是 AC 的中点，DE 平分∠ADB，交 AB 于 E。 圆 ADE 交 BD 于 F。求证：①BF=2EF②BF=2AE 6、求证：三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的 2 倍。