第5章 微分方程模型

第5章 微分方程模型

一、讨论题

1. 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？

2. 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。

3. 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果已知了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。

4. 两棵不同类别的植物种在一起，按比例吸取养料，试建立它们的生长模型。

二、思考题

1、具有什么样特征的数学建模问题需要用微分方程方法建立模型？

2、用微分方程方法建立数学模型的基本步骤是什么？应注意哪些问题？

3、某种细菌的增长率不知道，但假设它是常数，试验开始时估计大约有11500个细菌，一时后有2000个，问四时后大约有多少细菌？

三、习题

1. 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型

)(003.0)

(t p dt

t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速

率是)(001.02

t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平

均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。

（1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数

)(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况？

2. 用具有放射性的14

C 测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子

与氮结合产生14C 。植物吸收二氧化碳时吸收了14C ，动物食用植物从植物中得到14

C 。在

活组织中14C 的吸收速率恰好与14

C 的衰变速率平衡。但一旦动植物死亡，它就停止吸收14C ，于是14C 的浓度随衰变而降低。由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚

死亡时14

C 的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。若测得古生

物标本现在14C 的衰变速率，由于14

C 的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。试建

立用14C 测古生物年代的模型（14

C 的半衰期为5568年）。

3. 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代：

（1）1950年从法国Lascaux 古洞中取出的碳测得放射性计数率为0.97计数（min ⋅g ），而活树木样本测得的计数为6.68计数（min ⋅g ），试确定该洞中绘画的年代；

（2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为4.09计数（min ⋅g ），活数标本为6.68计数（min ⋅g ），试估计该建筑的年代。

4. 一容器用一薄膜分成容积为A V 和B V 的两部分，分别装入同一物质不同浓度的溶液。

设该物质分子能穿透薄膜由高浓度部分向低浓度部分扩散，扩散速度与两部分浓度差成正比，比例系数称为扩散系数。试建立描述容器中溶液浓度变化的数学模型。设0A B V V V ==，每隔100s 测量其中一部分溶液的浓度共10次，具体数据为454，499，535，565，590，610，626，650，659，单位为3/m mol 。试建立扩散系数，并决定2h 后两部分中溶液的浓度各为多少。

5. 根据经验当一种新产品投入市场后，随着人们对它拥有量的增加，其销售量)(t s 的下降速度与)(t s 成正比。广告宣传可给销售量添加一个增长速度，它与广告费)(t a 成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为M ）。建立销量)(t s 的模型。若广告宣传只进行有限时间t ，且广告费为常数a ，问)(t s 如何变化？

6. 对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型

（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术的人数成正比，推广是无限的。

（2）总人数有限，因而推广速度随着尚未采用的新技术人数的减少而降低。 （3）在（2）的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。

7. 假设某生物种群的增长率不是常数，它以某种的方式依赖于环境的温度。如果已知温度是时间的函数，试给出初始为0N 的生物种群的增长模型。证明种群以指数增长系数

)(t R E 而增长或衰减，即t t R E e t N )()(µ，这个增长系数等于时间依赖增长的平均值。

8. 一群体的增长受自限规律制约。设在一定环境下该群体的生存极限数为8

105⨯，当

群体中生物很少时，每40mm 增加一倍。若开始时动物分别为710和8

10，求2h 后群体中动

物的总数。

9. 某地有一池塘，其水面面积约为2

100100m ⨯，用来养殖某种鱼类。在如下的假设下，设计能获取较大利润的三年的养鱼方案。

（1）鱼的存活空间为2/1m kg ；

（2）每kg 1鱼每需要的饲料为kg 05.0，市场上鱼饲料的价格为kg /2.0元； （3）鱼苗的价格忽略不计，每kg 1鱼苗大约有500条鱼；

（4）鱼可四季生长，每天的生长重量与鱼的自重成正比，365天长成为鱼，成鱼的重量为kg 2；

（5）池内鱼的繁殖与死亡均忽略；

（6）若q 为鱼重，则此种鱼的售价为 ïïîïïí죣<£<£<=25.1/105.175.0/875.02.0/62.0/0q kg q kg q kg q kg Q ¡¡Ôª

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（7）该池内只能投放鱼苗。

10. 人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置，它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通．如下图，人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物透过薄膜进入人工肾．