第12章(2)2数项级数的绝对收敛与条件收敛资料

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un1 n (n 1)!
2) 1 1 1 1 (u1n)n1 1 1
2! 3! 4!
n! n!
收敛
1 n 收1 敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1) 1 ; n1 n
2) 1 ; n1 n!
发散
收敛
三、两类收敛——绝对收敛与条件收敛
定义1: 若
收敛 , 则称原级数 绝对收敛 ；
练习：1、
证明：
lim
n
2n n! nn
0
2、判别级数的敛散性
(1)
an
(a 0)敛散性
n1 1 a2n
练习：
1、证明：lim n
2n n
n!
n
0
证明：设
un
2n n nn
!
,
lim un1 u n
n
lim
n
2n1(n 1)! (n 1)n1
/
2n n! nn
lim
n
(1
2 1
)n
2 e
1
n
由比值审敛法知：
1 2
(
un
un
)
( n 1, 2 , )
显然 vn 0 , 且 vn un , 根据比较审敛法 vn 收敛,
un 2vn un
n1
un , 2 vn 收敛
n1
n1
un 也收敛
n1
注:（1）若级数 un 发散，级数 un 不一定发散；
n1
n1
（2）若用达朗贝尔比值法或柯西根值法判定级数 un 发散， n1
定义2: 若
发散 ,但
收敛 ;
则称原级数
例如
：
(1)n1
1
为条件收敛
.
n1
n
为绝对收敛.
条件收敛 ；
例 3
判定级数 (1)n1
1
的敛散性．
n1
n
解 因为
(1)n1
1
1 为 p 1 的 p—级数，
n1
n n1 n
2
所以级数
(1)n1
1
发散，即级数非绝对收敛．
n1
n
又因为 (1)n1
1
为交错级数，且满足：
n0
n0
n0
分析 由题设证明 unvn 绝对收敛，其关键是确定un2、vn2与
n0
unvn 之间的关系，注意到由(un vn )2 0可推得
un2 vn2 2 unvn unvn 从而可推得结论．
证明 由(un vn )2 0得un2 vn2 2 | unvn |，
因级数 un2 和 vn2 收敛，必有级数 (un2 vn2 )收敛，
则级数 un 一定发散． n1
定理3：
设
un
是数项级数,如果
lim
n
un1 un
(或 )
n1
则 1时级数收敛;且为绝对收敛； 1时级数发散;
例5：判别
（
n1
1）n
1 np
敛散性
解：1当p
0时，lim n
un不存在，故级数发散
2当p 0时，则级数为(1)n发散
3当0
p
1时，
n1
n1
n0
n0
n0
由比较判别法知，级数 unvn 收敛， n0
从而级数 unvn 绝对收敛． n0
思考与练习
设正项级数 un 收敛, 能否推出 un2 收敛 ?
n1
n1
提示: lim un2 n un
lim
n
un
0
由比较判敛法可知
u
2 n
收敛
.
n1
注意: 反之不成立. 例如,
1
n 1 n 2
n4
收敛
因此 sin n 绝对收敛 . n1 n4
(2) 令
(n 1)2
lim un1 lim en1 n un n n2
en
lim
n
1 e
n
n
12
1 e
1
n1
(1)n
n2 en
收敛,
因此
(1)n
n1
n2 en
绝对收敛.
定理2. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设
收敛 , 令
vn
小结：. 正项级数审敛法
必要条件
lim
n
un
0
满足
不满足 发 散
比值审敛法
lim
n
un1 un
1 不定
部分和极限
根值审敛法 lim n
n
un
用它法判别 比较审敛法
1
1
收敛
发散
二、交错级数及其审敛法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
n1
2n n!收敛。 nn
再由级数收敛的必要条件知：lim n
2n n
n!
n
0
2(1)判别
an n1 1 a2n
(a
0)敛散性
解： 1当a=1时，则级数为
1发散
n1 2
2当0 a 1时，级数 an收敛；
an
n1
lim
n
1
a2n an
=
lim
n
an
1
1 a2
n
1,故原级数收敛。
3当a
1时, lim 1 a2n n 1
=
lim
n
1
a
2n
a2n
1,
而此时级数
1
an
是收敛的几何级数，故原级数收敛
an
n1
(2)判别级数的敛散性
解：
令un
cos2 n
6
n!
1, n!
1
设vn
1 n!
lim
n
vn1 vn
lim
n
(n 1)! 1
lim
n
1 n 1
0
1
n!
由比值审敛法知级数 1 收敛.
n1 n!
再由比较收敛法知原级数也是收敛的。
收敛 ,
1 发散 . n 1 n
小结： 任意项级数审敛法
为收敛级数，且
收敛 , 称
绝对收敛
为收敛级数，但
发散 ,称
条件收敛
注:（1）正项级数收敛则为绝对收敛；简称收敛；
（2）若级数 un 发散，级数 un 不一定发散；
1 发散 np
但 lim 1 0且 1 1
n n p
n p (n 1) p
故
（
n1
1）n
1 np
条件收敛
4当p 1时，
n1
1 收敛 np
故
（ 1）n
1
绝对收敛
n1
np
（
n1
1）n
1 np
1当p 0时，发散 2当0 p 1时，条件收敛 3当p 1时，绝对收敛
例 6 设级数 un2 及 vn2 都收敛，证明级数 unvn 绝对收敛．
定理5. *根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项级 数,
且
lim n
n
un
,
则
例如, 设级数
1,
nn
n1
n
un
n
1 nn
1 n
0 (n )
级数收敛.
例11：讨论级数
n1
n 2n
1
n
的敛散性
解：设un
=
n 2n
1
n
lim
n
n
un
lim n n 2n 1
1 2
1
由根值审敛法 知，原级数收敛。
n1
n
①
lim
n
un
lim
n
1 0 n
②un1
1 n1
1 n
un
所以
由莱布尼兹定理知，级数 (1)n1
1
收敛，
n1
n
且为条件收敛．
例4. 证明下列级数绝对收敛 :
(1) n1sinn4n ;
(2)
(1)n
n1
n2 en
.
证: (1)
sin n
n4
1 n4
,
而
1 n1 n4
收敛,n1 Nhomakorabeasin n
n1
n1
定理1 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2, );
2) lim un 0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 且其和 S u1,
n1
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 1