最小多项式

第 62、63 讲

§8 最小多项式

教学目的和要求 1 理解矩阵或有限维空间上线性变换的最小多项式的定义及其唯一性，熟

练掌握求最小多项式的两种基本方法；

2 了解最小多项式在矩阵理论上的初步应用，会仿照定理2的证明方法证

明每个有限维线性空间均可按线性变换的零化多项式的标准分解式作直和分解。

重 点 最小多项式及其求法。 难 点 最小多项式的应用。 教 学 过 程

定义 1 设方阵n n

A P ´Î，我们称[]P l 中能使()g A O =的次数最低的首一多项式()

g l 为A 的最小多项式。

注意 最小多项式一定不是零多项式，也不是零次多项式，它的次数至少在一次及其以上。

我们把最小多项式的性质列为下述七个引理。

引理1 A 的最小多项式是唯一的。

证明 设1()g l 和2()g l 都是A 的最小多项式，由带余除法得

12()()()()g q g r l l l l =+，其中()0r l =或

()()()2()r g l l ??.

我们说()0r l =，即()()21g g l l .否则由12()()()()g A q A g A r A =+得()r A O =，这与

2()g l 是A 的最小多项式矛盾。因此21()()g g l l .

同理可证

12()()

g g l l . 所以11()()g g l l =. ▎

用同样的方法可证，当()f A O =时，A 的最小多项式()()

g f l l .于是得 引理2 设()g l 是A 的最小多项式，则()f A O =()()g f l l Û. ▎ 由Hamilton Cayley -定理又得

引理3 A 的最小多项式()g l 是它的特征多项式()f E A

l l =-的一个因式。▎

引理 4 A 的最小多项式()g l 与它的特征多项式()f l 在P 中有相同的根（重数可能不

同）。

证明 由引理3知，()g l

在P 中的根一定是()f l 的根。下面证明()f l 在P 中的任一个

根0l 也一定是()g l

在P 中的根：

设X 是A 的属于0l 的特征向量，则它也是()g A

的属于特征值()0g l 的特征向量，由()g A O

=得

()()0O g A X g X

l ==.

因为X O ¹,所以()00g l =，即0l 也一定是()g l

在P 中的根。▌

求最小多项式的方法1：

（1）先将A 的特征多项式()f l

在P 中作标准分解，找到中A 的全部特征值12,,,s l l l ；

（2）对

()f l 的标准分解式中含有()()()12s l l l l l l ---的因式按次数从低到高的

顺序进行检测，第一个能零化A 的多项式就是最小多项式。

例1 零方阵的最小多项式是()g l l =；数量矩阵kE 的最小多项式是()g k l l =-，从而单位矩阵的最小多项式是()1g l l =-.

例2 求1111A 骣÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫的最小多项式。

解 A 的特征多项式3

()(1)f l l =-，特征值只有1λ=，()f λ的含有1λ-的因式有：

23

1,(1),(1)l l l ---.

经检验，A E O -?，2()A E O -=，所以A 的最小多项式是2

()(1)g l l =-.

引理5 相似的方阵阵具有相同的最小多项式。

证明 设1

B T AT -=，则对于任何多项式()g l 有

1()()g B T g A T -=，由此得 ： ()()g A O g B O =?.

由引理2知,A B 的最小多项式互相整除，它们是相等的。▎

但是，本性质的逆命题不成立（请看例3）.

由本引理知，给定有限维线性空间V 的一个线性变换A ，则A 在任何一组基下的矩阵

的最小多项式都相同，因此我们也可以称这个多项式为A 的最小多项式。

引理6 准对角矩阵1

2A A A 骣÷ç÷=ç÷ç÷桫()112212,n n n n A P A P 创挝的最小多项式等于1A 的最小

多项式1()g l 与2A 的最小多项式2()g l 的最小公倍式

12()[(),()]g g g l l l =。

证明 根据

12m m

m A A A 骣÷ç÷ç=÷ç÷

ç桫

和

1

2

aA aA aA 骣÷ç÷=ç÷ç÷ç桫知，

[]01()n n f a a a P l l l l "=++

+?有

01()n

n f A a E a A a A =+++

120111120122()()n n n n n n a E a A a A f A f A a E a A a A 骣骣+++÷ç÷ç÷ç÷

==

ç÷÷

çç÷

÷珑÷+++ç桫

桫L L

（1）

由12()(),()()g g g g l l l l 和引理2得

12

()()()g A g A O g A 骣÷ç÷==ç÷ç÷ç桫，即()g l

是A 的零化多项式。 下面只要证明对A 的任一个零化多项式()f l 有()()g f l l 就可断定()g l

是A 的最小多

项式。

事实上，由（1）得12(),()f A O f A O ==，再由性质2得12()(),()()g f g f l l l l ，即()f l 是1()g l 与2()g l 的一个公倍式。而()g l 是1()g l 与2()g l 的最小公倍式，所以()()

g f l l 。▎

本性质的结论可以进一步推广：