历年导数压轴经典题目

⑦ 1 ≥e^X (1-X )

P(m, f (m)), x 1 m X 2,请仔细观察曲线f (x)在点P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势，并解释

以下问题：

(I) 若对任意的m (t, X 2 ),线段MP 与曲线f(x)均有异于M,P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你 的结论； (II)

若存在点Q(n ,f(n)), X n< m,使得线段PQ 与曲线f(x)有异于P 、Q 的公共点，请

直接写出 m 的取值 范围(不必给岀求解过程)

/(X)=

2.本小题满分14分)已知函数 I 此

5 ，^ω = eln(-A)^ ,且

X 二—J2是函数y = f{y)的极值点。 (I)求实数冈的值； (∏)若方程 I

'有两个不相等的实数根，求实数 ’的取值范围；

(川)若直线/是函数y = f^的图象在点(-2J(-2))处的切线，且直线'与函数VPg

证题中常用的不等式 历年导数压轴经典题目

① InX X 1 (X 0)

X

② x+1

≤ln(x+1) X (X 1)

⑤ln X 1

(X 1)

④

e

X

1 X

⑥ In X 2

X 1 2 1

2X 2

(X 0)

1•已知函数f (X )

1

X 3 aX 2 bx ,且 f'( 1)

(1)试用含a 的代数式表示 b,并求f(x)的单调区间;

(2)令 a

1,设函数 f (X)在 x 1,x 2(x 1

x 2)处取得极值，记点 M (X 1, f (X 1) )，N( X 2, f (X 2))，

的图象相切于点

,求实数力 的取值范围。

3.已知函数f X ax2 bx C e x且f O 1, f 1 0.

(I)若f X在区间0,1上单调递减，求实数a的取值范围；

(II)当a=0时，是否存在实数m使不等式2f X 4xe x mx 1 χ2 4x 1对任意

X R恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由

4. 已知：二次函数g(x)是偶函数，且g (1) 0 ,对X R,有g (x) X 1恒成立，令

1

f (x) g(x) mlnx ,(m R)

(I)求g(x)的表达式；

(II)当m 0时，若x>0,使f(x) 0成立，求m的最大值;

(III)设1 m 2, H (x) f (x) (m 1)x,证明：对捲必[1,m]，恒有

IH(X I) H(X2)| 1.

5. 已知函数fx ax ln x a > 0 , g x .

X 2

(I)求证f x 1 ln a;

1 2 1

(II)若对任意的x1—,—,总存在唯一的x2—2 , e (e为自然对数的底数)，使得

2 3 e

g x1 f X2,求实数a的取值范围.

2

6. 已知函数f(x) X 8x,g(x) 6ln X m.

(I)求f (X)在区间t,t 1上的最大值h(t);

(II)是否存在实数m,使得y f (X)的图象与y g(x)的图象有且只有三个不同的交

点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。

_ X

7.已知函数f(x) e kx , X ∈R

(I)若k=e，试确定函数f (X)的单调区间；

(∏)若k>0 ,且对于任意X R, f(x) 0恒成立，试求实数k的取值范围；

n (川)设函数F(x) =f(x)+f(x)+f(-x),求证：F(1)F(2) F(n) (e n 12尸(n N* )

8. (1)已知函数f(x)=x 3=x ,其图像记为曲线C.

(i)求函数f(x)的单调区间；

(ii)证明：若对于任意非零实数xι,曲线C与其在点P i (xι,f(xι)处的切线交于另一点P2

(X2,f(X2).曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 ( X3f(X3)),线段P1P2,P2P3与曲线C

所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2,则虫为定值：

S

(∏)对于一般的三次函数g (X) =ax3+bx2+cx+d(a 0),请给出类似于(I )(ii)的正确命题，

并予以证明。

X 2

9.已知函数f (x) e ax ex,a R

(I)若曲线y f (X)在点(1, f(1))处的切线平行于X轴，求函数f(x)的单调区间;

(∏)试确定a的取值范围，使得曲线y f(x)上存在唯一的点P ,曲线在该点处的

切线与曲线只有一个公共点P o

2x a

10. 已知f(x)=r (x∈R)在区间［-1 , 1］上是增函数.

X 2

(I)求实数a的值组成的集合A;

1

(∏)设关于X的方程f(x)= —的两个非零实根为X1、X2.试问：是否存在实数m,使得不

X

等式m2+tm+1 ≥X1-x2对任意a ∈A及t ∈［-1 , 1］恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

1

11. 已知函数f(x) = lnx, g(x)= ax2+ bx, a≠0.

2

(I)若b= 2,且h(x) = f(x)- g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

(∏)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作X轴的垂线分别交C1, C2于点M、N ,证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.