函数定义域求法

函数定义域求法总结

一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。

（1）分母不为零

（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1

（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠

二、抽象函数的定义域

1.已知的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中b x g a <<)(的解的范围，即为的定义域。

2.已知复合函数的定义域，求的定义域

方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得的定义域，再由的定义域求得()][x h f 的定义域。

4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域

)(x f )(x f ()b a x ,∈)]([x g f x )]([x g f ()][x g f )(x f ()x f ()x f

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

函数值域求法四种

在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下，供参考。

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数的值域。

解：∵

∴

显然函数的值域是：

例2. 求函数的值域。 解：∵

故函数的值域是：

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数的值域。

x 1

y =0x ≠0x 1≠),0()0,(+∞-∞ x 3y -=0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴]3,[-∞]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=

解：将函数配方得：

∵

由二次函数的性质可知：当x=1时，，当时，

故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例4. 求函数

的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程

（1）当时，

解得： （2）当y=1时，，而

故函数的值域为

例5. 求函数的值域。

解：两边平方整理得：

（1） ∵

∴

解得：

但此时的函数的定义域由，得

4)1x (y 2+-=]2,1[x -∈4y min =1x -=8y max =22

x 1x x 1y +++=0x )1y (x )1y (2=-+-1y ≠R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆23y 2

1≤≤0x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211⎥⎦⎤⎢⎣

⎡23,21)x 2(x x y -+=0y x )1y (2x 222=++-R x ∈0y 8)1y (42≥-+=∆21y 21+≤≤-0)x 2(x ≥-2x 0≤≤

由，仅保证关于x 的方程：

在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比y 的实际

范围大，故不能确定此函数的值域为。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵

代入方程（1）

解得：

即当时，

原函数的值域为：

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定

义域，将扩大的部分剔除。

4. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数

公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例6. 求函数的值域。

解：令，

则

∵

又，由二次函数的性质可知

当时，

0≥∆0y x )1y (2x 222=++-0≥∆⎥⎦⎤⎢⎣

⎡23,212x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴]

2,0[22

222x 41∈-+=22222x 41-+=]21,0[+1x x y -+=t 1x =-)0t (≥1t x 2+=43)21t (1t t y 22++=++=0t ≥0t =1y min =

当时，

故函数的值域为

课堂练习

求函数的定义域

1、求下列函数的定义域：

⑴33y x =

+-

⑵y =

⑶01

(21)1

11y x x =+-+-

2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数

f x ()-2的定义域为________；

3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数

1(2)f x

+的定义域为 。

4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，

求实数m 的取值范围。

0t →+∞→y ),1[+∞