汽车的刹车距离模型及黄灯持续时间分析模型

二、问题分析
问题一： 汽车的刹车距离大致可分为反应距离和制动距离。 反应距离由反应时间和车速决定，反应时间取决于司机个人状况(灵巧、机警、视野等)和制 动系统的灵敏性(从司机脚踏刹车板到制动器真正起作用的时间)， 对于一般规则可以视反应时间 为常数，且在这段时间内车速尚未改变。这里，我们取多数人的平均反应时间为 0.75 秒。 制动距离与制动器作用力(制动力)、车重、车速以及道路、气候等因素有关，制动器是一个 能量耗散装置，制动力作的功被汽车动能的改变所抵消．设计制动器的一个合理原则是，最大 制动力大体上与车的质量成正比，使汽车的减速度基本上是常数，这样，司机和乘客少受剧烈 的冲击．至于道路、气候等因素，对于一般规则又可以看作是固定的。
问题二： 设汽车行驶速度为法定速度 v 0 ，一定的刹车距离为 S1 ，通过十字路口的距离为 S 2 ，车身 的长度为 L ， 则黄灯的时间应 t 使距停车线 S1 之内的汽车能通过路口， 即 t (S1 S 2 L) / v0 ， 如果考虑到司机有一定的反应时间，则黄灯持续的状态就也包括驾驶员的反应时间。根据分析， 下面建立十字路口黄灯亮的时间的数学模型。
五、模型求解
（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果） (1)计算 k 的程序代码： v=[29.3000 44.0000 58.7000 73.3000 88.0000 102.7000 117.3000] d=[42 73.5 116 173 248 343 464] fun=inline(‘0.75*v+k1*v.^2’,’k’,’v’) k=lsqcurvefit(fun,0,v,d) fprintf(‘0,75*v+k*v.^2 的参数 k=%.4f\n’,k) jsd=0.75*v+0.0255*v.^2 hold on plot(v,d) plot(v,jsd,’r+’)
车速 实际刹车距离 29.3 42 44 73.5 58.7 116 73.3 173 88 248 102.7 343 117.3 464
分析刹车距离与车速之间具有怎样的关系，利用以上数据，求出具体的数学模型。并在同 一幅图中画图，对计算出的刹车距离与实际刹车距离进行比较。 问题二： （2）在城市道路的十字路口，都会设置红绿交通灯。为了让那些正行驶在交叉路口或离交 叉路口太近而又无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。试建立 十字路口黄灯亮的时间的数学模型。
m
初始条件为： s1 (0) 0,
d 2 s1 um g dt 2
（1）
ds1 |t 0 v0 dt ds1 ds |t 0 v0 得 1 ugt v0 dt dt
对该微分方程积分一次，并代入条件 另末速度为零，得刹车时间为 t1
v0 ，对上式再积分一次，并代入条件 s1 (0) 0 ，得 ug
佛山科学技术学院
上
课程名称 上机项目 专业班级 一、问题提出
问题一：
wk.baidu.com
机
报
告
数学建模 汽车的刹车距离模型及黄灯持续时间分析模型 姓 名 学 号
司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶的距 离称为刹车距离，车速越快，刹车距离越长。 （1）已知交通部门提供的一组汽车的刹车距离数据如下：
hold off 解得 k=0.0255 方程 d=0.75*v+k*v.^2 的参数 k,k=0.0255 拟合后的曲线数据为 jsd= 43.8665 82.3680 131.8901 191.9837 263.4720 345.9809 438.8369
问题二： 由牛顿第二定律，刹车过程满足下述运动方程：
三、模型假设
问题一： （1） 假设道路、天气和驾驶员等条件相同，汽车没有超载，也没有故障。 （2） 假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹 车过程没有转方向。 （3） 假设驾驶员的反应时间为常数，汽车在反应时间做匀速直线运动。 （4） 假设汽车在制动过程做匀减速直线运动，减速度 a 是常数，制动力所做的功等于汽 车动能的损失。 符号说明： 引入一下符号，并说明单位：
四、模型建立
（显示模型函数的构造过程） 问题一： 由 d d1 d 2 和 d1 v * t1 \,又因为 umgd 2 0.5m(v2 ) ,所以 d 2 (v2 ) / 2 gu ,所以可得
d t1v kv 2
问题二： 由 t T1 T2 T3 为黄灯反应时间，利用 t (S1 S 2 L) / v0 进行进一步求解即可。
v ~车速(m/s);
d1 ~反应距离(m); d2 ~制动距离(m).
d ~刹车距离(m);
k1 ~反应时间(s);
于是用文字表达的数量关系式(2.2.1)可以用数学符号表示为：
d d1 d2
问题二：
(2.2.2)
（1）不考虑在人行道中的行人对来往车辆通行的影响； （2）驾驶员在通过交叉路口时，匀速驾驶车辆； （3）驾驶员在刹车制动的过程中，将刹车踏板踩到底直到车辆停止； （4）车辆未安装防抱死系统（ABS） ，在刹车制动过程中主动轮抱死； （5）仅考虑车辆直行的情况，不考虑转弯和掉头中的一些特殊情况的干扰； 符号说明：
（2）
2
1 s1 (t ) gt 2 v0t 2
故停车距离为
v v 1 1 v0 ， s1 (t1 ) ug( 0 ) 2 v0 0 2 ug ug 2 ug
所以 T3
s1 (t1 ) 1 v0 v0 2 ug
由驾驶员的反应时间为 0.75 秒， 这样，求得黄灯应亮的时间为
t T1
s2 L v0 v0 2ug 1
错误！未找到引用源。~驾驶员的反应时间； 通过十字路口的时间； 错误！未找到引用源。~停车距离的驾驶时间；
错误！未找到引用源。~汽车
v 0 ~汽车行驶速度为法定速度
S1 ~一定的刹车距离
S 2 ~通过十字路口的距离
错误！未找到引用源。~黄灯的时间
L ~车身的长度
u ~摩擦系数
umg ~刹车制动力
m ~汽车的质量