纠错码PPT
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➢ 共有6种方法
3
扩展(Expanded)码
基本原理：对[n, k, d]线性分组码中的每一个码字，
增加一个校验元 ，c 0满足： c n - 1 c n -2 L c 0 c 0 0
c0 称为全校验位
➢ 若d为偶数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d]
➢ 若d为奇数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d+1]
0 1 1 1 1 0 0 H 1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 0 0 1
增加一个全校验位后得到的[8, 4 , 4]扩展 Hamming码的校验矩阵
1 1 1 1 1 1 1 1
) H
0
1
1 0
1 1
1 1
1 0
0 1
0 0
0 0
1 1 1 0 0 0 1 0
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删余(Punctured)码
➢ 若[n, k, d]码的最小汉明距离d为奇数，则挑选所有偶 数重量的码字，即可构成[n, k-1, d+1]增余删信码
➢ [Recall: 任何[n, k, d]线性分组码，码字的重量或全部 为偶数，或者奇数重量的码字数等于偶数重量的码字 数]
10
延长(Lengthened)码与RM码
延长码
➢ 对增广码再填加一个全校验位得到[n+1, k+1]码，此时 码率R=(k+1)/(n+1)>k/n。和缩短(Shortened) 码的构 造过程相反
Ga 1
1
G
1
CaCU 1C i
i1,2,2k
且da=min{d, n-dmax(C)}
8
增广(Augmented)码
生成矩阵
Ca ma MGa
0 M1
1
L G
1U1 M1
1
L G
1
MGU 1MG , i 1,2,L ,2k i
CU1Ci , i 1,2,L ,2k
最小Hamming重量
基本原理：在原码基础上删去一个校验元，得到[n-1, k] 码。是扩展码的逆过程 在软判决译码和纠错纠删码中，将删去的符号看作不可靠 符号 最小汉明距离可能比原码小1，也可能不变 例如把上例中的[8, 4, 4]码的最后一个校验位后，便得到 了[7, 4, 3]Hamming码。此时删余码的校验矩阵可直接从 原码的校验矩阵上删去第1行和最后1列得到 一般的，若删掉的校验位只参与了其中一个校验方程，则 在原码校验矩阵中删掉上述校验位对应的行和列，即可得 到新码的校验矩阵
m m m
m m m
k 1 1 2 L r ; n k 1 1 2 L m r 1
➢ 其对偶码为RM(m-r-1, m)码
11
RM码
Hadamard变换 H2m H2m
1 1
H
2
0
1
1 1 1 1
H
4
da min d, dmin(1Ci), i1,2,L,2k
min d, dmin(Ci), i1,2,L,2k
mind, n-dmax(C)
9
增余删信(Expurgated)码
基本原理
➢ 在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。和 增广码构造过程相反
基本实现方法
➢ 删掉原码生成矩阵G中的一行，得到新矩阵Ge，该矩 阵有n列，k-1行，即得到一个[n, k-1, de]码
State Key Laboratory of Integrated Services Networks
Lecture 4 线性分组码(II)
1
wenku.baidu.com
内容
修正的线性码
➢ 扩展码，删余码 ➢ 增广码，增余删信码 ➢ 延长码，Reed-Muller码
线性码的重量分布 线性码的纠错性能
➢ Singleton bound ➢ Hamming (sphere packing) bound ➢ Varshamov-Gilbert bound ➢ McEliece-Rodemich-Rumsey-Welch upper
0
0
1 0
0 1
1
1
0
0
0
1
1 1 1 1 1 1 1 1
0
1
0
1
0
1
0
1
0 0 1 1 0 0 1 1
H
8
0
0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 1
0 1
1
1
0 0 0 0 0 1 0 1
0
0
0
0
0
0
1
1
0 0 0 0 0 0 0 1
码长为2m ，最小距离为d=2m-r的RM(r, m)码的生 成矩阵由 H 2 m 中的那些重量大于等于d的行构成
7
增广(Augmented)码
基本原理
➢ 在原码基础上，增加一个信息元，删去一个校验元得 到 [n, k+1, da]码
基本实现方法
➢ 在原码生成矩阵G的基础上，再选择一个与G中各行都 不相关的n维向量，得到新矩阵Ga，该矩阵有n列， k+1行，即得到一个[n, k+1, da]码
➢ 若原码中没有全1码，可在其G矩阵上增加一组全为1 的行，得到增广码的生成矩阵为：
bound
2
修正的线性码
纠错码的设计码长通常由矩阵或多项式的代数和 组合特性决定 线性分组码的设计码长通常不等于理想码长 例如：
➢ 二进制Hamming码的设计码长为2m-1(7, 15, 31,…)
修正方法
➢ 线性分组码三个参数(n, k, n-k): 增大一个参数，降低 另一个参数，保持第三个参数不变。
RM码
➢ 如果把(2m-1, 2m-1 -m, 3)Hamming码的对偶码，即单 纯码(2m-1, m, 2m-1)进行延长，就得到一个(2m, m+1, 2m-1)码，称之为一阶Reed-Muller码，用RM(1, m)表 示。
➢ 一般，r阶RM码RM(r, m)是[2m, k, 2m-r]，其中
校验矩阵
1 1 L 1
) H
0
H
M
0
4
扩展(Expanded)码
校验矩阵
1 1 L
1
T
) )
CH T
C
c
' 0
H
0
M
0
1
C
c
' 0
1
M
HT
M
1 0
L
0
0
ci
+
c
' 0
,
C
H
T
i= n -1
0
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扩展(Expanded)码
例子： [7,4,3]Hamming码的校验矩阵
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RM码
例子：m=3
V0 (11111111) V3 (00001111) V2 (00110011) V1 (01010101) V3V2 (00000011) V3V1 (00000101) V2V1 (00010001) V3V2V1 (00000001) ➢ 如果以V0到V3的4行作为G矩阵的行，则得到一个RM(1, 3)码的生成矩阵 ➢ 若以V0到V2 V1的7个矢量作为G矩阵的行，则得到一个 RM(2, 3)码的生成矩阵
3
扩展(Expanded)码
基本原理：对[n, k, d]线性分组码中的每一个码字，
增加一个校验元 ，c 0满足： c n - 1 c n -2 L c 0 c 0 0
c0 称为全校验位
➢ 若d为偶数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d]
➢ 若d为奇数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d+1]
0 1 1 1 1 0 0 H 1 0 1 1 0 1 0
1 1 1 0 0 0 1
增加一个全校验位后得到的[8, 4 , 4]扩展 Hamming码的校验矩阵
1 1 1 1 1 1 1 1
) H
0
1
1 0
1 1
1 1
1 0
0 1
0 0
0 0
1 1 1 0 0 0 1 0
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删余(Punctured)码
➢ 若[n, k, d]码的最小汉明距离d为奇数，则挑选所有偶 数重量的码字，即可构成[n, k-1, d+1]增余删信码
➢ [Recall: 任何[n, k, d]线性分组码，码字的重量或全部 为偶数，或者奇数重量的码字数等于偶数重量的码字 数]
10
延长(Lengthened)码与RM码
延长码
➢ 对增广码再填加一个全校验位得到[n+1, k+1]码，此时 码率R=(k+1)/(n+1)>k/n。和缩短(Shortened) 码的构 造过程相反
Ga 1
1
G
1
CaCU 1C i
i1,2,2k
且da=min{d, n-dmax(C)}
8
增广(Augmented)码
生成矩阵
Ca ma MGa
0 M1
1
L G
1U1 M1
1
L G
1
MGU 1MG , i 1,2,L ,2k i
CU1Ci , i 1,2,L ,2k
最小Hamming重量
基本原理：在原码基础上删去一个校验元，得到[n-1, k] 码。是扩展码的逆过程 在软判决译码和纠错纠删码中，将删去的符号看作不可靠 符号 最小汉明距离可能比原码小1，也可能不变 例如把上例中的[8, 4, 4]码的最后一个校验位后，便得到 了[7, 4, 3]Hamming码。此时删余码的校验矩阵可直接从 原码的校验矩阵上删去第1行和最后1列得到 一般的，若删掉的校验位只参与了其中一个校验方程，则 在原码校验矩阵中删掉上述校验位对应的行和列，即可得 到新码的校验矩阵
m m m
m m m
k 1 1 2 L r ; n k 1 1 2 L m r 1
➢ 其对偶码为RM(m-r-1, m)码
11
RM码
Hadamard变换 H2m H2m
1 1
H
2
0
1
1 1 1 1
H
4
da min d, dmin(1Ci), i1,2,L,2k
min d, dmin(Ci), i1,2,L,2k
mind, n-dmax(C)
9
增余删信(Expurgated)码
基本原理
➢ 在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。和 增广码构造过程相反
基本实现方法
➢ 删掉原码生成矩阵G中的一行，得到新矩阵Ge，该矩 阵有n列，k-1行，即得到一个[n, k-1, de]码
State Key Laboratory of Integrated Services Networks
Lecture 4 线性分组码(II)
1
wenku.baidu.com
内容
修正的线性码
➢ 扩展码，删余码 ➢ 增广码，增余删信码 ➢ 延长码，Reed-Muller码
线性码的重量分布 线性码的纠错性能
➢ Singleton bound ➢ Hamming (sphere packing) bound ➢ Varshamov-Gilbert bound ➢ McEliece-Rodemich-Rumsey-Welch upper
0
0
1 0
0 1
1
1
0
0
0
1
1 1 1 1 1 1 1 1
0
1
0
1
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1
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1
0 0 1 1 0 0 1 1
H
8
0
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0
0
0
0
0
0
1
1
0 0 0 0 0 0 0 1
码长为2m ，最小距离为d=2m-r的RM(r, m)码的生 成矩阵由 H 2 m 中的那些重量大于等于d的行构成
7
增广(Augmented)码
基本原理
➢ 在原码基础上，增加一个信息元，删去一个校验元得 到 [n, k+1, da]码
基本实现方法
➢ 在原码生成矩阵G的基础上，再选择一个与G中各行都 不相关的n维向量，得到新矩阵Ga，该矩阵有n列， k+1行，即得到一个[n, k+1, da]码
➢ 若原码中没有全1码，可在其G矩阵上增加一组全为1 的行，得到增广码的生成矩阵为：
bound
2
修正的线性码
纠错码的设计码长通常由矩阵或多项式的代数和 组合特性决定 线性分组码的设计码长通常不等于理想码长 例如：
➢ 二进制Hamming码的设计码长为2m-1(7, 15, 31,…)
修正方法
➢ 线性分组码三个参数(n, k, n-k): 增大一个参数，降低 另一个参数，保持第三个参数不变。
RM码
➢ 如果把(2m-1, 2m-1 -m, 3)Hamming码的对偶码，即单 纯码(2m-1, m, 2m-1)进行延长，就得到一个(2m, m+1, 2m-1)码，称之为一阶Reed-Muller码，用RM(1, m)表 示。
➢ 一般，r阶RM码RM(r, m)是[2m, k, 2m-r]，其中
校验矩阵
1 1 L 1
) H
0
H
M
0
4
扩展(Expanded)码
校验矩阵
1 1 L
1
T
) )
CH T
C
c
' 0
H
0
M
0
1
C
c
' 0
1
M
HT
M
1 0
L
0
0
ci
+
c
' 0
,
C
H
T
i= n -1
0
5
扩展(Expanded)码
例子： [7,4,3]Hamming码的校验矩阵
12
RM码
例子：m=3
V0 (11111111) V3 (00001111) V2 (00110011) V1 (01010101) V3V2 (00000011) V3V1 (00000101) V2V1 (00010001) V3V2V1 (00000001) ➢ 如果以V0到V3的4行作为G矩阵的行，则得到一个RM(1, 3)码的生成矩阵 ➢ 若以V0到V2 V1的7个矢量作为G矩阵的行，则得到一个 RM(2, 3)码的生成矩阵