《三角函数的应用》教案

2m

30°

《三角函数的应用》教案

教学目标

（一）教学知识点

1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用．

2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明．

（二）能力训练要求

发展学生的数学应用意识和解决问题的能力．

（三）情感与价值观要求

1．在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气．

2．选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望．

教学重点

1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用．

2．发展学生数学应用意识和解决问题的能力．

教学难点

根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图．

教学过程

（一）复习旧知，引入新课

1．一物体沿坡度为1∶8

，则物体升高了

m ． 答案：1

2．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，再向塔底前进a m ，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔的高为

m ．

答案：1(32 a

3．如图所示，在高2m ，坡角为30°的楼梯

表面铺地毯，地毯的长度至少需要_______m ．

答案：223

4．创设问题，引入新课

海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．

（二）讲授新课

1．思路点拔

（1）我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的？

应该是“上北下南，左西右东”．

（2）请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的．

首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处．示意图如下．

（3）货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？

根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险．A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度．我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较．

（4）下面我们就来看AD如何求．根据题意，有哪些已知条件呢？

已知BC=20海里，∠BAD=55°，∠CAD=25°．

（5）在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD．你能在哪一个三角形中求出AD呢？

在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD．

在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC=20海里，但它不是Rt△ABD的边，

2020.79tan 55tan 25AD =≈︒-︒

也不能求出AD ．

（6）那该如何是好？是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑？

这两个三角形有联系，AD 是它们的公共直角边．而且BC 是这两个直角三角形BD 与CD 的差，即BC =BD -CD ．BD 、CD 的对角是已知的，BD 、CD 和边AD 都有联系．

（7）有何联系呢？

在Rt △ABD 中，tan 55BD AD ︒=，tan55BD AD =︒；在Rt △ACD 中，tan 25CD AD ︒=，tan 25CD AD =︒．

利用BC =BD -CD 就可以列出关于AD 的一元一次方程，即AD tan55°-AD tan25°=20． 总结：其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一．

解：过A 作BC 的垂线，交BC 于点D 得到Rt △ABD 和Rt △ACD ，从而

BD =AD tan55°，CD =AD tan25°，由BD -CD =BC ，又BC =20海里．得

AD tan55°-AD tan25°=20．

AD （tan55°-tan25°）=20，

（海里）．

这样AD ≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险．

2．小组合作，探索问题

（1）想一想你会更聪明：

接下来，我们再来研究一个问题．还记得本章开头小明要测塔的高度吗？现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度．

如图，小明想测量塔CD 的高度．他在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m 至B 处．测得仰角为60°．那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m ）

（2）思路点拔：

①我想请一位同学告诉我什么是仰角？在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪

两个角？

当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．30°的仰角指 ∠DAC ，60°的仰角指∠DBC ．

②很好！请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答．

首先，我们可以注意到CD 是两个直角三角形Rt △ADC 和Rt △BDC 的公共边，在 Rt △ADC 中，tan 30CD AC ︒=， 即tan 30CD AC =︒，在Rt △BDC 中，tan 60CD BC

︒=， 即tan 60CD BC =︒

，又∵AB =AC -BC =50 m ，得 50tan 30tan 60CD CD -=︒︒

． 解得CD ≈43（m ），

即塔CD 的高度约为43 m ．

③提出质疑，再探新知：

小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD 的高度时是否应考虑小明的身高？

在实际测量时，的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离．

④如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m ，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？

示意图如图所示，由前面的

解答过程可知CC ′≈43 m ，则CD =43+1.6=44.6 m ．即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m ．

3．巩固新知、解决问题：

现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下．